沈 俊

（南京市江寧區(qū)秣陵中心小學(xué)，江蘇 南京 211111）

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師布置作業(yè)的目的通常有三：一是鞏固知識(shí)技能；二是延續(xù)數(shù)學(xué)課程；三是補(bǔ)充評(píng)價(jià)方式。學(xué)生在完成作業(yè)的過(guò)程中，總會(huì)出現(xiàn)偏差或錯(cuò)失，其中具有代表性的錯(cuò)例可稱為“典型錯(cuò)例”。對(duì)“典型錯(cuò)例”的研究，將有助于教師診斷學(xué)情，改善教學(xué)，從而提升自主執(zhí)行數(shù)學(xué)課程的能力。

一、“典型錯(cuò)例”的迷思與溯源

學(xué)生數(shù)學(xué)作業(yè)中錯(cuò)題何其多，教師的迷思在于：那些“易錯(cuò)的”“總錯(cuò)的”的典型錯(cuò)例，不會(huì)隨著時(shí)間的推移或教學(xué)對(duì)象的更替而“變得好一些”。這讓我們?cè)诿运贾袑?duì)“為什么總是錯(cuò)”追根溯源。

（一）知識(shí)與方法的緣由

學(xué)習(xí)者在知識(shí)結(jié)構(gòu)或程序方法上有缺失和疏漏。這通常會(huì)被教師歸結(jié)為“學(xué)生上課注意力不集中”“做題不細(xì)致不檢查”，并因此苦口婆心地勸誡學(xué)生“上課好好聽(tīng)”“認(rèn)真讀題”等。比如：“4元買(mǎi)了5 支鉛筆。每支鉛筆多少元？1 元可以買(mǎi)幾支鉛筆？”如此淺白的一段話，學(xué)生自然讀得通順，但解答時(shí)卻常?！胺嚒?，到底是“4÷5”還是“5÷4”？

有的教師“絕望”后，就會(huì)“套路”學(xué)生：“仔細(xì)看問(wèn)題啊！問(wèn)‘每支’就把5當(dāng)作除數(shù)，問(wèn)‘1 元（每元）就把4 當(dāng)作除數(shù)’。記住了吧？”可是換了問(wèn)題情境或描述形式后，學(xué)生還是不會(huì)。

這種方式不管用，是教師單方造成的。溯源學(xué)生“總是錯(cuò)”的緣由，是根植于教師心中的“效率論”，總想多快好省地把更多的知識(shí)與技能傳授給學(xué)生，總想通過(guò)更多的作業(yè)進(jìn)行鞏固和熟練，學(xué)生卻“無(wú)福消受”。

課程的參與度和學(xué)生的注意力等問(wèn)題本質(zhì)上是教師的問(wèn)題，好的課程設(shè)計(jì)自然會(huì)吸引眼球。簡(jiǎn)單的糾錯(cuò)方法表面看起來(lái)有效率，卻常常不為學(xué)生所接受與消化。

（二）心理與情感的因素

教師也常將錯(cuò)例的形成原因歸結(jié)為“不喜歡數(shù)學(xué)”“沒(méi)有良好的習(xí)慣”“沒(méi)有挑戰(zhàn)難題的決心和勇氣”，即學(xué)生認(rèn)識(shí)不到數(shù)學(xué)學(xué)科的價(jià)值，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏應(yīng)有的良好態(tài)度。其實(shí)，教育學(xué)首先是一種關(guān)系學(xué)，良好的教育發(fā)生在良好的師生關(guān)系上。小學(xué)階段的學(xué)生尤其如此。正所謂“親其師信其道”。

教師不能忽略典型錯(cuò)例形成的情感因素和心理機(jī)制。比如：作業(yè)中的規(guī)范意識(shí)，克服困難的勇氣，自我調(diào)控的心理，培植耐心、細(xì)心和責(zé)任心等。為此，教師在設(shè)計(jì)矯正教學(xué)流程時(shí)，應(yīng)充分考量學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)和心理機(jī)制，營(yíng)造安全的錯(cuò)例分享氛圍。譬如：作業(yè)對(duì)了不浮躁、錯(cuò)了不可恥、糾錯(cuò)了不起、傾聽(tīng)是好品質(zhì)、分享自己的錯(cuò)更值得大力表彰等。如此，學(xué)生在矯正錯(cuò)例時(shí)，將由被動(dòng)到主動(dòng)，由消極到積極，其參與度與獲得感會(huì)大大提升。教師可常常設(shè)計(jì)這樣的矯正問(wèn)題：說(shuō)說(shuō)你是怎么錯(cuò)的；他的方法錯(cuò)在哪里；他說(shuō)的糾錯(cuò)方法好在哪里；還有更簡(jiǎn)潔的思路嗎；你來(lái)出一道類似的題給大家做。

二、重塑“矯正方法”的認(rèn)知與策略

認(rèn)識(shí)到典型錯(cuò)例產(chǎn)生的原因，教師糾錯(cuò)時(shí)設(shè)計(jì)的矯正方法就不會(huì)短視，一味地追求效率，而是要奉行長(zhǎng)期主義，葆有長(zhǎng)程視域，把每一個(gè)錯(cuò)“點(diǎn)”聯(lián)結(jié)成“線”，系統(tǒng)地看待錯(cuò)失與疏漏。這里的“長(zhǎng)程視域”有三方面的意蘊(yùn)：一是將點(diǎn)狀斷裂的錯(cuò)誤進(jìn)行系統(tǒng)分析，使其成為一個(gè)結(jié)構(gòu)化的整體，并與學(xué)習(xí)者的經(jīng)驗(yàn)有效對(duì)接；二是在實(shí)施矯正教學(xué)時(shí)，既重視補(bǔ)償缺漏的知識(shí)技能，也要養(yǎng)育良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情感；三是要拉長(zhǎng)矯正時(shí)間。從錯(cuò)例的這個(gè)“點(diǎn)”散發(fā)開(kāi)去，整體考量錯(cuò)例，即：怎樣錯(cuò)的、為什么錯(cuò)、怎樣糾錯(cuò)、這樣矯正對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有什么影響。下面，筆者試舉一例，以說(shuō)明長(zhǎng)程考量矯正方法的意義與策略。

案例1：以“4 元買(mǎi)了5 支鉛筆。每支鉛筆多少元？1元可買(mǎi)幾支鉛筆？”為例。筆者任教的班級(jí)有46 名學(xué)生，首次練習(xí)此題共計(jì)有15 人混淆，不明白到底是“4÷5 還是5÷4”，錯(cuò)誤率達(dá)三分之一，且平行班存有大量錯(cuò)誤，歷屆學(xué)生皆會(huì)如此，此可謂“典型錯(cuò)例”。如何矯正？只有體認(rèn)、觀照到兒童學(xué)習(xí)難處，才有可能設(shè)計(jì)出針對(duì)性較強(qiáng)的矯正流程。

1.分析錯(cuò)誤原因

一是難在讀不懂?！?元買(mǎi)了5支鉛筆”這句話文字上淺白易懂，但這個(gè)“懂”缺乏數(shù)學(xué)意義的支撐。讀不懂則無(wú)法調(diào)用合適的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題。

二是難在不好區(qū)分。五年級(jí)的學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂里正式初始學(xué)習(xí)小數(shù)除法，原有的整數(shù)除法“大數(shù)÷小數(shù)”的經(jīng)驗(yàn)會(huì)阻礙新知的遷移。何況把“4÷5”和“5÷4”混雜在一起，還要區(qū)分其不同的數(shù)學(xué)意義呢？

三是難在無(wú)法適時(shí)地進(jìn)行心理調(diào)節(jié)。結(jié)論無(wú)法確認(rèn)怎么辦？隨便寫(xiě)一個(gè)交差嗎？學(xué)生尚不能自覺(jué)追問(wèn)結(jié)果的邏輯自洽。

2.長(zhǎng)程設(shè)計(jì)流程

環(huán)節(jié)（1）：達(dá)成基本理解。

師：你怎么理解“4元買(mǎi)了5支鉛筆”？

生1：如果是“4 元買(mǎi)了4 支鉛筆”，那么每支鉛筆1元。這里“4元買(mǎi)了5支鉛筆”，說(shuō)明每支鉛筆不到1元。

生2：也就是說(shuō)1 元買(mǎi)一支鉛筆，還要找零。1元可以買(mǎi)到一支多鉛筆。

師：這兩種方法至少能告訴我們是不是“算反了”。

生3：“4元”是總價(jià)，“5支”是數(shù)量，用“總價(jià)÷數(shù)量，4÷5”能算出單價(jià)“每支鉛筆多少元”。反過(guò)來(lái)“5÷4”就是求“1元可買(mǎi)幾支鉛筆”。

師：能用前面學(xué)過(guò)的“數(shù)量關(guān)系”來(lái)解決新問(wèn)題。真好！

生4：可以畫(huà)圖理解（如下，學(xué)生的闡釋略去）。

師：畫(huà)圖既能幫助我們直觀地理解題意，也能從結(jié)果上看出是否符合題意。

環(huán)節(jié)（2）：呈現(xiàn)個(gè)性方法。

生5：老師，我受畫(huà)圖法的啟發(fā)，想到一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，永遠(yuǎn)不會(huì)錯(cuò)！（請(qǐng)他上黑板邊畫(huà)邊講解）先寫(xiě)出“4 元=5 支”，再把“4”移到右邊來(lái)，就寫(xiě)成“5÷4”，算的就是1 元能買(mǎi)幾支鉛筆；如果把“5”移到左邊去，就寫(xiě)成“4÷5”，算的就是1支鉛筆多少元。

師：真有創(chuàng)意，很直觀，此處應(yīng)該有掌聲！

環(huán)節(jié)⑶：學(xué)生模仿出題。

師：誰(shuí)能模仿“4 元買(mǎi)了5 支鉛筆”，出一道題給大家做？

生6：東東6分鐘寫(xiě)了8個(gè)毛筆字。每分鐘寫(xiě)幾個(gè)毛筆字？寫(xiě)1個(gè)毛筆字要用幾分鐘？

生7：把2米長(zhǎng)的繩子截成5段?？梢蕴崮男﹩?wèn)題？怎樣解答？

……

分析上述案例，我們可以進(jìn)一步明晰長(zhǎng)程設(shè)計(jì)“典型錯(cuò)例”矯正方法的意義與策略。

（一）長(zhǎng)程設(shè)計(jì)矯正方法的意義

葉瀾教授認(rèn)為，課堂教學(xué)要“將結(jié)構(gòu)化后的以符號(hào)為主要載體的書(shū)本知識(shí)重新‘激活’，實(shí)現(xiàn)與三方面的溝通：書(shū)本知識(shí)與人類生活世界溝通，與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)世界、成長(zhǎng)需要溝通，與發(fā)現(xiàn)、發(fā)展知識(shí)的人和歷史溝通。用通俗的話來(lái)說(shuō)，就是使知識(shí)恢復(fù)到鮮活的狀態(tài)，與人的生命、生活重新息息相關(guān)，使它呈現(xiàn)出生命態(tài)。”［1］這就是一種長(zhǎng)程視域，要將教學(xué)從“碎片化”轉(zhuǎn)向“結(jié)構(gòu)化”，從“知識(shí)態(tài)”轉(zhuǎn)向“育人態(tài)”，從“效率化”轉(zhuǎn)向“生命化”。

長(zhǎng)程視域相對(duì)于急功近利的短視，具有課程視界和單元視角的整體性、系統(tǒng)性，教師要舍得在錯(cuò)誤原因分析和矯正流程設(shè)計(jì)上花時(shí)間、下功夫，以期學(xué)生真正能從知識(shí)技能、思想方法、情感態(tài)度上獲得新認(rèn)知。

1.達(dá)成長(zhǎng)程理解

學(xué)生將語(yǔ)言描述或文本呈現(xiàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)意義上的理解，不是一件容易的事。此過(guò)程需要學(xué)生適當(dāng)提取已有的經(jīng)驗(yàn)，也需要在與同伴對(duì)話中獲得啟迪，更需要教師在思維“憤悱”處加以點(diǎn)撥。如上述案例中，學(xué)生能提取常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”，自然能理解“4÷5”和“5÷4”所蘊(yùn)含的不同數(shù)學(xué)意義。推而廣之，舉一反三，這一類題都將得以解決。另外，學(xué)生畫(huà)圖“把4 從左邊移到右邊”“把5從右邊移到左邊”，既符合直觀性的操作原則，易于學(xué)生理解“4÷5和5÷4”，也為理解分?jǐn)?shù)意義“4/5和5/4”作了鋪墊，同時(shí)也是方程移項(xiàng)方法的雛形。

2.積淀個(gè)性經(jīng)驗(yàn)

課堂上有充分的時(shí)間展示、討論和辯駁，師生均卷入其中，不再存有“局外人”，不同水平的學(xué)生將獲得“屬于自己的句子”，錯(cuò)誤得以糾正，認(rèn)知得以更新。這是一種“難教之法”——“難教之法”不是故作高深，刻意作難，而是指教師要探明學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，理解其學(xué)習(xí)的“痛點(diǎn)”，精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程和補(bǔ)償策略，科學(xué)施教，精準(zhǔn)干預(yù)?！敖獭睉?yīng)該盡可能走在“學(xué)”的前面［2］。如此，學(xué)生才會(huì)迷途知返，不再重蹈覆轍，積淀具有個(gè)體標(biāo)簽的錯(cuò)題矯正經(jīng)驗(yàn)。

（二）長(zhǎng)程設(shè)計(jì)矯正方法的策略

從上述案例中，我們可以得出有效矯正“典型錯(cuò)例”，教師要舍得投入時(shí)間與精力成本：一是單元備課時(shí)精心提前預(yù)判；二是有專屬時(shí)間進(jìn)行矯正。把原本較短的錯(cuò)題矯正時(shí)間，拓展成二十分鐘甚至一節(jié)課，長(zhǎng)程考量，保障矯正時(shí)間，科學(xué)施教，才有可能避免走進(jìn)同一條犯錯(cuò)的河。為此，筆者建議在實(shí)施矯正課程時(shí)要找準(zhǔn)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，比如可每周安排一次，可在單元課程結(jié)束時(shí)安排，可在某個(gè)知識(shí)點(diǎn)診斷后安排，可根據(jù)需要適時(shí)靈活安排等。

根據(jù)個(gè)人教學(xué)實(shí)踐，筆者初擬出矯正“典型錯(cuò)例”的基本流程與策略，以資批判與借鑒。

1.預(yù)判錯(cuò)誤原因

教師至少在執(zhí)行單元課程時(shí)，要對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行梳理，對(duì)“重難點(diǎn)”“易錯(cuò)點(diǎn)”有預(yù)判，特別是對(duì)“典型錯(cuò)例”有詳盡分析——可能錯(cuò)在哪里、會(huì)有幾類錯(cuò)誤、有哪些知識(shí)缺欠、經(jīng)驗(yàn)的斷裂點(diǎn)在哪里等。

2.引領(lǐng)課堂討論

錯(cuò)題是重要的教學(xué)資源，化錯(cuò)為寶是為教學(xué)智慧。學(xué)生也只有理解錯(cuò)例的“然和所以然”后，才有可能避免二次犯錯(cuò)。所以，置身其中，身臨其境，才能有所感悟。教師為此需要發(fā)揮引導(dǎo)者的作用，在憤悱處點(diǎn)撥，在迷失地指明，在關(guān)鍵點(diǎn)導(dǎo)引。

3.倡導(dǎo)直觀分析

學(xué)生存在認(rèn)知差異，不可能處于同一個(gè)水平上。這對(duì)大班額教學(xué)而言是一種挑戰(zhàn)。但教學(xué)實(shí)驗(yàn)、教具演示、觀摩實(shí)物、觀看動(dòng)畫(huà)、畫(huà)示意圖、畫(huà)線段圖等直觀分析方法有助于學(xué)生激活已有經(jīng)驗(yàn)，走向認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”。直觀分析也有助于學(xué)生重構(gòu)問(wèn)題情境，促使發(fā)生精細(xì)加工。

4.學(xué)生自主出題

學(xué)習(xí)的發(fā)生通常是從觀察和模仿開(kāi)始的。學(xué)生自主出題基于學(xué)習(xí)者既有水平，且需調(diào)用合適的知識(shí)，又能激發(fā)想象力，是促使學(xué)習(xí)者集體參與課堂討論的有效舉措。學(xué)生自主出的題中，有的是“照搬”，有的是“高仿”，有的是“變異”，有的是“超越”，適合各種差異水平的學(xué)習(xí)者參與，豐富了題型題組，拓展了思考邊界。

常使用上述矯正典型錯(cuò)例的基本流程與策略，將會(huì)促使師生逐漸形成一種認(rèn)知圖式。圖式是將大量的信息組織進(jìn)一個(gè)有意義的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，其有助于編碼，因其給新學(xué)習(xí)的內(nèi)容添加了細(xì)節(jié)。圖式幫助我們產(chǎn)生和控制日常序列化的行動(dòng)［3］。長(zhǎng)期有計(jì)劃地執(zhí)行此流程與策略，便會(huì)形成一種范型和框架，其優(yōu)勢(shì)體現(xiàn)在：教學(xué)預(yù)設(shè)更周詳，矯正時(shí)間有保障，教學(xué)方法更優(yōu)化，討論細(xì)節(jié)更豐富，學(xué)生參與更廣泛。矯正課程因長(zhǎng)程視域更具實(shí)效。

三、“典型錯(cuò)例”矯正分類舉隅

為豐富“典型錯(cuò)例”的題型和矯正方法，以下再試舉三例，以供一線教師在具體操作時(shí)參考。

（一）概念理解矯正：讓隱性知識(shí)顯性化

數(shù)學(xué)概念的特征是其表達(dá)的簡(jiǎn)約性和概括的抽象性。正是這種簡(jiǎn)約和抽象，遮蔽了前人實(shí)踐探索的復(fù)雜性、過(guò)程性和豐富性，一句看似平白簡(jiǎn)短的描述，實(shí)則蘊(yùn)含著諸多的數(shù)學(xué)意義。

學(xué)習(xí)完蘇教版教材五上“圓”單元知識(shí)后，有作業(yè)形如：“請(qǐng)畫(huà)一個(gè)半徑2 厘米的半圓，并求出它的周長(zhǎng)。”學(xué)生無(wú)可避免地要在“半圓”類的題型里糾纏不清。教師常常將學(xué)生的錯(cuò)誤原因歸結(jié)于“讀題不清”，多要求學(xué)生圈劃關(guān)鍵詞“半徑”“半圓”“周長(zhǎng)”，如此，便可降低錯(cuò)誤率。此不失為一種強(qiáng)化形式，但更科學(xué)有效的矯正方法是要有“長(zhǎng)程視域”——錯(cuò)例的根本原因是什么？怎樣矯正更有效？

環(huán)節(jié)1.教師出示“圓周長(zhǎng)的一半，半圓的周長(zhǎng)”。要求學(xué)生：讀三遍，讀通順；數(shù)學(xué)上有什么不同？你有什么辦法讓大家都明白。

環(huán)節(jié)2.師生討論。引導(dǎo)學(xué)生從語(yǔ)詞上理解，比如：“圓周長(zhǎng)的一半”是以一個(gè)圓周為研究對(duì)象，圓的周長(zhǎng)已經(jīng)存在了，它的一半“用圓周長(zhǎng)除以2”就行；“半圓的周長(zhǎng)”是以半圓為研究對(duì)象，所以需用“圓周長(zhǎng)除以2 加直徑”。如是，“畫(huà)圖法”呼之欲出?！爱?huà)一畫(huà)”既是增加操作細(xì)節(jié)，也是讓隱性的思維顯性化。如下圖：

環(huán)節(jié)3.教師領(lǐng)著學(xué)生描一描，畫(huà)一畫(huà)，指一指，再給出數(shù)據(jù)，請(qǐng)學(xué)生計(jì)算。

環(huán)節(jié)4.呈現(xiàn)作業(yè)中的典型錯(cuò)例，主要有兩類：一是計(jì)算含有半圓的組合圖形的周長(zhǎng)或面積；二是解決實(shí)際問(wèn)題，如“靠墻圍的半圓雞圈”等。

環(huán)節(jié)5.每個(gè)學(xué)生出一道與“半圓”相關(guān)的題，與同學(xué)交流。

“圈劃關(guān)鍵詞”只是一種外在的強(qiáng)化手段，有一定效用，但尚需尋找錯(cuò)誤的內(nèi)在原因，從根本上理解概念?！皥A周長(zhǎng)的一半和半圓的周長(zhǎng)”這句話讀起來(lái)像拗口令，學(xué)生理解起來(lái)比較困難，容易混淆。其內(nèi)在原因是對(duì)“周長(zhǎng)”這一概念理解的缺漏。一個(gè)生活中的圓形物體或數(shù)學(xué)上的幾何圓呈現(xiàn)在眼前時(shí)，人容易感知的是其面積大小，而非其一圈邊線的長(zhǎng)短。所以，學(xué)生很容易受到“面的一半”的負(fù)遷移，產(chǎn)生“線的一半”的錯(cuò)誤結(jié)果。因此，需要在語(yǔ)詞上初步理解后，通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、描一描、指一指、說(shuō)一說(shuō)、算一算等具有數(shù)學(xué)意義的操作后，使隱性的關(guān)聯(lián)顯性化，才能真正為學(xué)生所理解。教師的作用是分析原因、設(shè)計(jì)流程、相機(jī)點(diǎn)撥，讓學(xué)生在對(duì)話中糾偏、鞏固、熟練。

（二）算法算理矯正：使操作序列化

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》指出要發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。運(yùn)算能力主要是指能根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。［4］于是，小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)中常見(jiàn)的要求“下面各題，怎樣算簡(jiǎn)便就怎樣算”便成了學(xué)生計(jì)算時(shí)揮之不去的夢(mèng)魘。譬如，蘇教版教材五上“小數(shù)加法和減法”單元里的題目“12.45-3.6-2.45+4.4”，學(xué)生最常見(jiàn)的錯(cuò)例如下：

教師常用調(diào)侃的語(yǔ)氣訓(xùn)誡學(xué)生“不能對(duì)簡(jiǎn)便計(jì)算上癮”，卻對(duì)錯(cuò)因缺乏系統(tǒng)分析。筆者認(rèn)為至少對(duì)以下幾個(gè)問(wèn)題有了清晰認(rèn)知后，才能較好地矯正錯(cuò)例，如：運(yùn)算順序是運(yùn)算律的基礎(chǔ)、同級(jí)運(yùn)算可靈活應(yīng)用交換律、讀題分析優(yōu)于直接計(jì)算等的欺騙性等。

為此，筆者設(shè)計(jì)了“朝三暮四猴吃桃”的故事情境，讓學(xué)生在對(duì)話中自悟，舉一反三。

師：聽(tīng)過(guò)“朝三暮四”的故事嗎？有什么數(shù)學(xué)上的啟發(fā)？

生：3+4=4+3；加法交換律a+b=b+a。

師：如果再添1個(gè)桃，你還能想到什么運(yùn)算律？

生：加法結(jié)合律a+b+c=a+（b+c）；3+4+1=3+（4+1）；3+4+1=4+3+1；3+4+1=1+3+4；幾個(gè)數(shù)相加，可以任意交換位置，把其中的兩個(gè)數(shù)先加。

師：我們把故事再改一改：猴媽媽有10個(gè)桃，上午給小猴3 個(gè)桃，下午給小猴4 個(gè)桃，還剩幾個(gè)桃？作為五年級(jí)的孩子，你有幾種不同的方法解決這個(gè)問(wèn)題？具體說(shuō)一說(shuō)其中的數(shù)學(xué)道理。

生：10-3-4=3；10-4-3=3；10-（3+4）=3；10-（4+3）=3。

師：五年級(jí)了，可不能這么“小兒科”，來(lái)點(diǎn)挑戰(zhàn)，增加一個(gè)條件，比如——

生1：晚上又給小猴2 個(gè)，還剩多少個(gè)？可以列式：10-3-4-2；10-3-2-4；10-4-3-2；10-4-3-2；10-2-3-4；10-2-4-3。可以任意調(diào)換3 個(gè)減數(shù)的位置，差不變。

生2：也可以列式：10-（3+4+2）；10-（3+4）-2；10-3-（4+2）；10-3-（4+2）等很多不同的算式。靈活應(yīng)用了“a-b-c=a-c-b=a-（b+c）”的運(yùn)算性質(zhì)。

師：再來(lái)改題：猴媽媽有10 個(gè)桃，上午給小猴3個(gè)桃，下午給小猴4個(gè)桃，晚上猴爸爸又采回來(lái)2個(gè)桃，現(xiàn)在猴媽媽有幾個(gè)桃？挑戰(zhàn)一下自己，看看你能寫(xiě)出多少個(gè)不同的綜合算式。

生：略。

師：（呈現(xiàn)上述錯(cuò)例）下面我們?cè)賮?lái)看看這道題錯(cuò)在哪里？關(guān)于加減混合運(yùn)算和“怎樣算簡(jiǎn)便就怎樣算”，你又有哪些新的收獲？

學(xué)生討論，教師相機(jī)點(diǎn)撥與小結(jié)，形成以下糾錯(cuò)算式：

……

經(jīng)此“刻意訓(xùn)練”后，學(xué)生一般能形成這樣的簡(jiǎn)便計(jì)算策略：先觀察混合運(yùn)算算式的特點(diǎn)，是否能運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算律或運(yùn)算性質(zhì)；再耐心地調(diào)整算式的順序，一步一步用遞等式計(jì)算；若有時(shí)間，可用其他方法進(jìn)行檢驗(yàn)。如此，才能正確、靈活地計(jì)算，形成計(jì)算能力。學(xué)生總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，如“同級(jí)運(yùn)算，先帶著它前面的符號(hào)走”才顯得鮮活生動(dòng)，每個(gè)孩子都能在課堂里擁有自己的話語(yǔ)權(quán)，創(chuàng)造屬于自己的學(xué)習(xí)故事。

（三）問(wèn)題解決矯正：重新表征問(wèn)題情境

如果當(dāng)前狀態(tài)和目標(biāo)之間存在障礙，且這個(gè)障礙無(wú)法排除，問(wèn)題便產(chǎn)生了。界定良好的問(wèn)題通常有一個(gè)正確的答案，當(dāng)調(diào)用某個(gè)流程或序列時(shí)，就能夠找到答案。反之，解決問(wèn)題的思路和方法短期內(nèi)不明晰，就是一個(gè)界定不良問(wèn)題。對(duì)于格式塔心理學(xué)家來(lái)說(shuō)，問(wèn)題解決是：（1）問(wèn)題在人們的頭腦中是如何表征的；（2）如何解決一個(gè)問(wèn)題，包含對(duì)問(wèn)題表征的重組和重構(gòu)［5］。由此，對(duì)問(wèn)題情境再加工與表征方式的重構(gòu)，使結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題轉(zhuǎn)化為界定良好的問(wèn)題，是正確解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

蘇教版教材五下“因數(shù)和倍數(shù)”單元里的經(jīng)典題型：“體操隊(duì)訓(xùn)練，排成12人一隊(duì)，缺4人；排成15人一隊(duì)，還是缺4 人。這個(gè)體操隊(duì)最少有多少人？”此題的主要錯(cuò)因有兩點(diǎn)：一是無(wú)法達(dá)成數(shù)學(xué)意義上理解；二是不能正確調(diào)用相關(guān)知識(shí)。所以，教師可倡導(dǎo)學(xué)生使用畫(huà)圖、列舉等方法，對(duì)問(wèn)題情境重新表征，使之為學(xué)生可感知，可觸摸，可理解。筆者設(shè)計(jì)教學(xué)流程如下：

環(huán)節(jié)1：讀題。哪兒不太懂？請(qǐng)“懂”的學(xué)生說(shuō)一說(shuō)自己所理解的題意。

環(huán)節(jié)2：畫(huà)圖（如下左圖）或列舉（如下右圖）。只考慮第一個(gè)條件“排成12 人一隊(duì)，缺4 人”，可能會(huì)是多少人？再考慮第二個(gè)條件“排成15 人一隊(duì)，缺4人”呢？

環(huán)節(jié)3：說(shuō)理。“體操隊(duì)最少有多少人”與什么知識(shí)有關(guān)？怎么辦？

環(huán)節(jié)4：解答。［12，15］=60，60-4=56（人）。

環(huán)節(jié)5：檢驗(yàn)。56÷12=4（隊(duì)）……8（人）。這里的余的8人和缺的4人有什么關(guān)系？

環(huán)節(jié)6：拓展。如果不強(qiáng)調(diào)“最少有多少人”，你還能說(shuō)出一種可能嗎？

環(huán)節(jié)7：出題。出一道類似的題給自己做，次日分享。

如上述案例，教師有經(jīng)驗(yàn)對(duì)典型錯(cuò)例進(jìn)行預(yù)判，可將矯正流程前置，避免學(xué)習(xí)者陷入錯(cuò)誤的泥淖。師生共同將抽象的文字通過(guò)畫(huà)圖、舉例等方法重新表征，使問(wèn)題結(jié)構(gòu)由不良轉(zhuǎn)為良好，各種問(wèn)題解決的方案便水到渠成了。

“我都講了N 遍了，學(xué)生怎么還錯(cuò)”——是的，即使教師再講“N”遍，學(xué)生也還是會(huì)犯錯(cuò)，這是“典型錯(cuò)例”固有的樣態(tài)。即：如果教師總是追求所謂的“效率”，就題講題，就錯(cuò)論錯(cuò)，只是進(jìn)行知識(shí)技能的復(fù)制搬移，不去思考知識(shí)產(chǎn)生背后的邏輯與意義，不去思考由此及彼的認(rèn)知序列，那矯正教學(xué)就會(huì)流于表面，無(wú)法取得實(shí)效。但教師若葆有“長(zhǎng)程視域”，遵循“矯正流程”——預(yù)判錯(cuò)誤原因，引領(lǐng)課堂討論，倡導(dǎo)直觀分析，學(xué)生自主出題，把“錯(cuò)點(diǎn)”放大，將“短線”拉長(zhǎng)，則有可能“連點(diǎn)成線”“化錯(cuò)為寶”，使矯正教學(xué)真正貼緊學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，走進(jìn)學(xué)生的思考，擊中學(xué)生的靈魂。▲