齊曉宇，王赫瑩，郭忠峰

(1.沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870；2.沈陽工業(yè)大學(xué)遼寧省智能制造與工業(yè)機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 沈陽 110870)

0 引言

與更適應(yīng)平整地面運(yùn)動(dòng)的輪式移動(dòng)機(jī)器人以及履帶式移動(dòng)機(jī)器人相比，腿足式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)更靈活，具備能通過復(fù)雜崎嶇地形的能力[1]，其中四足機(jī)器人已經(jīng)成為國(guó)內(nèi)外機(jī)器人研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)，更強(qiáng)的地形適應(yīng)能力是四足機(jī)器人未來的發(fā)展大趨勢(shì)[2]。合理的足端運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃不僅能保證四足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)效率，還能提高機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性[3]，因此針對(duì)四足機(jī)器人足端軌跡規(guī)劃和運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行研究，具有十分重要意義。

國(guó)內(nèi)外對(duì)四足機(jī)器人的足端軌跡規(guī)劃研究，基于機(jī)器人在平地運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性上考慮多選用簡(jiǎn)單的擺線函數(shù)[4]、多項(xiàng)式函數(shù)[5]、橢圓函數(shù)[6]等完整統(tǒng)一的曲線規(guī)劃足端軌跡。本文將綜合考慮機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性、運(yùn)動(dòng)效率、地形適應(yīng)能力等方面因素，對(duì)機(jī)器人足端軌跡進(jìn)行設(shè)計(jì)，以運(yùn)動(dòng)效率較高的對(duì)角步態(tài)運(yùn)動(dòng)方式在Adams和matlab/simulink仿真環(huán)境搭建機(jī)器人模型和虛擬模型控制系統(tǒng)，研究機(jī)器人在該足端軌跡規(guī)劃下的運(yùn)動(dòng)特性。

1 四足機(jī)器人模型介紹

1.1 四足機(jī)器人模型結(jié)構(gòu)

本文以前肘后膝式的四足機(jī)器人為對(duì)象，機(jī)器人每條腿具有髖關(guān)節(jié)前擺、側(cè)擺和膝關(guān)節(jié)前擺3個(gè)主動(dòng)自由度，整體共有12個(gè)自由度，機(jī)器人的控制方法采用虛擬模型控制方法，研究機(jī)器人以運(yùn)動(dòng)效率較高的對(duì)角步態(tài)在平地和崎嶇地形的運(yùn)動(dòng)特性。

如圖1所示，機(jī)器人大腿長(zhǎng)度為l1，小腿長(zhǎng)度為l2，機(jī)器人前后髖關(guān)節(jié)距離的一半為A，左右髖關(guān)節(jié)距離的一半為B，設(shè)機(jī)器人質(zhì)心坐標(biāo)為{O}，以右前腿為例設(shè)其髖關(guān)節(jié)坐標(biāo)為{A}，右前腿足端坐標(biāo)系為{Q}，髖關(guān)節(jié)側(cè)擺角度為θ0，前擺角度為θ1，膝關(guān)節(jié)前擺角度為θ2。足端在髖關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系{A}下的位置表示為P(x，y，z)，其中x代表前進(jìn)方向，y代表側(cè)向，z代表豎直方向，則方程式如下：

x=-l1cosθ1-l2cos(θ2+θ1)

y=l1cosθ0sinθ1+l2cosθ0sin(θ2+θ1)

z=-l1sinθ1cosθ1-l2sinθ0sin(θ2+θ1)

(1)

圖1 四足機(jī)器人模型和單腿模型

通過對(duì)式(1)中的髖關(guān)節(jié)前擺角度和側(cè)擺角度以及膝關(guān)節(jié)的前擺角度進(jìn)行求導(dǎo)并轉(zhuǎn)置可得到力雅可比矩陣：

(2)

其中，c0=cosθ0，s0=sinθ0；

c1=cosθ1，s1=sinθ1；

c2=cosθ2，s2=sinθ2；

c12=cos(θ1+θ2)，s12=sin(θ1+θ2)。

1.2 四足機(jī)器人控制方法

虛擬模型控制方法(VMC，Virtual model control)是直覺控制方法的一種，其控制原理為在機(jī)器人上的作用點(diǎn)與外部期望運(yùn)動(dòng)軌跡之間通過虛擬假想的彈簧、阻尼器等構(gòu)件連接，使其產(chǎn)生好像真實(shí)構(gòu)件存在產(chǎn)生的虛擬力實(shí)現(xiàn)類似實(shí)際構(gòu)件驅(qū)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)[8]。

對(duì)于四足機(jī)器人的控制來說就是足端和髖關(guān)節(jié)之間建立虛擬的彈簧元件和阻尼元件，生成機(jī)器人各腿部關(guān)節(jié)所需的力矩驅(qū)動(dòng)機(jī)器人腿部運(yùn)動(dòng)從而達(dá)到跟隨期望速度和位移的目的。

設(shè)控制膝關(guān)節(jié)和髖關(guān)節(jié)的力矩為：

τ=JTf

(3)

代入(2)式可得：

(4)

其中，τh1、τh2、τh3分別代表髖關(guān)節(jié)側(cè)擺和前擺力矩和膝關(guān)節(jié)力矩，F(xiàn)hx、Fhy、Fhz分別代表虛擬的彈簧和阻尼構(gòu)件牽引機(jī)器人足端按照期望的足端軌跡運(yùn)動(dòng)的XQ、YQ、ZQ三個(gè)方向上的虛擬力[9]，其本構(gòu)方程為：

(5)

2 四足機(jī)器人足端軌跡規(guī)劃

2.1 足端軌跡規(guī)劃要求

不考慮機(jī)器人的視覺處理系統(tǒng)，對(duì)四足機(jī)器人在崎嶇地形行走設(shè)計(jì)一種足端軌跡，設(shè)計(jì)目標(biāo)主要有：

①機(jī)器人能順利越過高度不超過足端最大抬腿高度80%的不規(guī)則障礙物。

②機(jī)器人能夠適應(yīng)由地面高度變化引起機(jī)身翻轉(zhuǎn)，即質(zhì)心處的橫滾角、俯仰角以及偏移角±0.1 rad內(nèi)的波動(dòng)，并在完全通過障礙后恢復(fù)平衡。

③機(jī)器人通過障礙時(shí)側(cè)向偏移位移不應(yīng)超過前進(jìn)位移的7%，以保證機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)效率。

將機(jī)器人的足端運(yùn)動(dòng)軌跡分為起步、跨步、落地三個(gè)階段進(jìn)行設(shè)計(jì)，整體的運(yùn)動(dòng)軌跡為：機(jī)器人足端收腿運(yùn)動(dòng)從P0到P1，然后豎直抬腿到P2，再從P2跨步運(yùn)動(dòng)經(jīng)過抬腿最高點(diǎn)P3后到P4完成跨步運(yùn)動(dòng)，從P4運(yùn)動(dòng)到P6完成豎直落地運(yùn)動(dòng)，機(jī)器人的足端行走軌跡如圖2所示。

圖2 足端行走軌跡

2.2 足端軌跡規(guī)劃起步階段

足端軌跡在擺動(dòng)相起步時(shí)，模仿生物狗的足端運(yùn)動(dòng)軌跡，先向后收腿再豎直抬起然后進(jìn)行跨步，可在起步階段繞過未知突出障礙物；向后收腿并豎直抬起一定高度后再進(jìn)行跨步向前，可防止機(jī)器人足端在起步階段就碰到障礙，導(dǎo)致機(jī)器人足端運(yùn)動(dòng)突變引起機(jī)器人傾覆，如圖3所示。

圖3 起步階段繞過凸出障礙的足端軌跡示意圖

因此添加以下約束：

(6)

足端起步階段的軌跡采用五次多項(xiàng)式曲線擬合，設(shè)起步軌跡方程為：

x=ft5+et4+dt3+ct2+bt+a

(7)

z=lt5+kt4+jt3+it2+ht+g

(8)

其中，a、b、c、d、e、f為前進(jìn)方向軌跡方程的系數(shù)，g、h、i、j、k、l為豎直方向軌跡方程系數(shù)，帶入以上約束(6)，解得起步階段足端軌跡方程：

(9)

(10)

2.3 足端軌跡規(guī)劃跨步階段

選擇復(fù)合擺線曲線規(guī)劃作為跨步階段足端軌跡，其主要優(yōu)勢(shì)有以下兩點(diǎn)：

①復(fù)合擺線曲線平滑流暢，可避免機(jī)器人在跨步運(yùn)動(dòng)時(shí)由于規(guī)劃的足端軌跡突變引起運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定。

②復(fù)合擺線曲線規(guī)劃的足端運(yùn)動(dòng)到最大抬腿高度時(shí)曲線變化較平緩，與其他帶尖頂?shù)淖愣塑壽E相比，可以在障礙物不高于規(guī)劃的最大抬腿高度的情況下，盡可能的跨越障礙物，如圖4所示。

圖4 跨步階段越過障礙的足端軌跡對(duì)比示意圖

(11)

設(shè)跨步階段的復(fù)合擺線軌跡曲線前進(jìn)加速度方程為：

(12)

通過積分得出速度方程：

(13)

再次積分得到位移方程：

(14)

分別代入以上約束(11)，可得跨步階段前進(jìn)方向足端軌跡方程為：

(15)

同理，可得跨步階段豎直方向足端軌跡方程：

(16)

2.4 足端軌跡整體規(guī)劃

最后落地部分，規(guī)劃足端以一定高度跨步到要求位置后豎直下落，使其能夠適應(yīng)足端提前落地或者滯后落地的情況，可盡量避免機(jī)器人落地打滑的發(fā)生。從跨步運(yùn)動(dòng)結(jié)束后，機(jī)器人足端的前進(jìn)方向的位移、速度和加速度均為零，豎直方向采用同起步階段對(duì)稱的五次多項(xiàng)式曲線軌跡規(guī)劃。

綜上所述，四足機(jī)器人擺動(dòng)相足端軌跡規(guī)劃前進(jìn)方向和豎直方向的數(shù)學(xué)方程式為：

(17)

(18)

令足端軌跡的步長(zhǎng)L為0.08 m，抬腿高度為0.045 m，擺動(dòng)相運(yùn)動(dòng)周期為1 s，前進(jìn)方向起始位置在距離跨步起點(diǎn)的0.0025 m處，將軌跡方程相關(guān)程序在matlab軟件中運(yùn)行得到前進(jìn)方向和豎直方向位移曲線和速度曲線如圖5(a)、(b)、(c)、(d)所示，位移曲線和速度曲線均平滑流暢無較大突變。

圖5 足端軌跡主要數(shù)據(jù)曲線

由于機(jī)器人在支撐相時(shí)，足端不離開地面，只有一個(gè)足端相對(duì)髖關(guān)節(jié)向后方向的運(yùn)動(dòng)，因此無需對(duì)足端豎直方向軌跡規(guī)劃，前進(jìn)方向的軌跡與擺動(dòng)相的前進(jìn)方向相反，則有：

(19)

zf(t)=0

(20)

其中Th為支撐相周期。

3 四足機(jī)器人仿真試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 四足機(jī)器人仿真環(huán)境介紹

為檢驗(yàn)機(jī)器人以設(shè)計(jì)的足端軌跡規(guī)劃運(yùn)動(dòng)特性，搭建機(jī)器人分別在平地上和崎嶇地形的以目前使用較多的五次多項(xiàng)式曲線規(guī)劃足端軌跡與設(shè)計(jì)的足端軌跡進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)。

圖6 機(jī)器人模型圖

在Adams軟件完成機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模型搭建，如圖6所示，機(jī)器人的控制系統(tǒng)在matlab/simulink下搭建，并進(jìn)行聯(lián)合仿真。機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，軀干重量分布于四個(gè)髖關(guān)節(jié)位置和軀干幾何中心位置，運(yùn)動(dòng)模式為對(duì)角小跑步態(tài)。

表1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)表

3.2 四足機(jī)器人的平地運(yùn)動(dòng)仿真

在Adams軟件中的平地運(yùn)動(dòng)環(huán)境設(shè)置兩種足端軌跡步長(zhǎng)均為0.07 m，抬腿高度為0.04 m，運(yùn)動(dòng)周期為2 s。以下仿真數(shù)據(jù)中實(shí)線和虛線分別代表設(shè)計(jì)的足端軌跡和五次多項(xiàng)式曲線足端軌跡的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)曲線，如圖7(a)中，兩種足端軌跡規(guī)劃的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)在30 s后前進(jìn)方向的位移幾乎一致；如圖7(b)所示，以五次多項(xiàng)式曲線足端軌跡運(yùn)動(dòng)的機(jī)身質(zhì)心俯仰角的波動(dòng)大致在-0.013～0.015 rad，以設(shè)計(jì)的足端軌跡運(yùn)動(dòng)的機(jī)身質(zhì)心俯仰角的波動(dòng)大致在-0.015～0.022 rad；如圖7(c)所示，以五次多項(xiàng)式曲線足端軌跡運(yùn)動(dòng)的機(jī)身質(zhì)心橫滾角的波動(dòng)在-0.01～0.003 rad，以設(shè)計(jì)足端軌跡運(yùn)動(dòng)的機(jī)身質(zhì)心橫滾角的波動(dòng)在-0.012～0.005 rad。

圖7 機(jī)器人平地行走的仿真實(shí)驗(yàn)主要數(shù)據(jù)曲線

以上仿真數(shù)據(jù)證明，以設(shè)計(jì)的足端軌跡規(guī)劃運(yùn)動(dòng)和五次多項(xiàng)式曲線規(guī)劃運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人在平地上能保證一定運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性，且采用設(shè)計(jì)的足端軌跡并沒有因?yàn)槭欠侄问胶瘮?shù)不如完全使用五次多項(xiàng)式曲線規(guī)劃的行走曲線更平滑，而導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)效率下降，機(jī)器人運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性也沒有受到過大影響。

3.3 四足機(jī)器人的崎嶇地形仿真

崎嶇地形多是由高低不平的地面和未知的可移動(dòng)障礙物組成，因此通過Adams軟件設(shè)置多個(gè)高度不同的凸臺(tái)和可移動(dòng)的球體隨機(jī)分布在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)模擬崎嶇地形，如圖8所示。其中凸臺(tái)高度最大的為0.055 m，最小的為0.03 m，可移動(dòng)球體直徑最高為0.055 m，最小為0.03 m，設(shè)置兩種足端軌跡步長(zhǎng)為0.07 m，抬腿高度為0.06 m，運(yùn)動(dòng)周期為2 s。

圖8 仿真環(huán)境下建立的崎嶇地形

圖9為機(jī)器人通過崎嶇地形時(shí)在0 s、10 s、28 s、44 s時(shí)的仿真截圖，機(jī)器人總共前進(jìn)了約3 m，歷時(shí)50 s，在44 s左右完全通過了仿真環(huán)境中所有障礙物。

圖9 機(jī)器人通過崎嶇地形的仿真截圖

圖10(a)為四足機(jī)器人在崎嶇地形運(yùn)動(dòng)時(shí)兩種足端軌跡運(yùn)動(dòng)的前進(jìn)方向位移，兩者差距不大。由于機(jī)器人受崎嶇地形中的凸臺(tái)影響，不可避免的發(fā)生側(cè)向運(yùn)動(dòng)的偏移，如圖10(b)所示，機(jī)器人采用設(shè)計(jì)的足端軌跡通過障礙時(shí)的側(cè)向偏移位移約為前進(jìn)位移的6.7%，隨后便保持穩(wěn)定不再增大。而五次多項(xiàng)式足端軌跡通過障礙時(shí)的側(cè)向偏移位移約為前進(jìn)位移的9.0%。如圖10(e)的數(shù)據(jù)曲線顯示五次多項(xiàng)式足端軌跡機(jī)身質(zhì)心偏移角，明顯大于設(shè)計(jì)的足端軌跡的質(zhì)心偏移角，并在完全通過障礙后仍繼續(xù)增大。

如圖10(c)，在機(jī)器人完全通過障礙以后，設(shè)計(jì)的足端軌跡的機(jī)器人整體恢復(fù)平衡質(zhì)心俯仰角逐漸穩(wěn)定在±0.015 rad范圍內(nèi)，而采用五次多項(xiàng)式曲線的足端軌跡的機(jī)器人質(zhì)心俯仰角在-0.02～0.025 rad范圍內(nèi)波動(dòng)。另外觀察圖10(d)的數(shù)據(jù)曲線波動(dòng)情況，采用五次多項(xiàng)式曲線的足端軌跡運(yùn)動(dòng)的機(jī)身質(zhì)心橫滾角在通過崎嶇地面以后仍逐漸變大，容易導(dǎo)致機(jī)器人運(yùn)動(dòng)側(cè)翻，而采用設(shè)計(jì)的足端軌跡運(yùn)動(dòng)的橫滾角在通過崎嶇地面以后則逐漸穩(wěn)定在±0.01 rad附近。

圖10 機(jī)器人崎嶇地面行走的仿真實(shí)驗(yàn)主要數(shù)據(jù)曲線

綜上所述，可以證明機(jī)器人采用設(shè)計(jì)的足端軌跡能更好地抵御崎嶇地形對(duì)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的干擾，保證一定的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性和方向準(zhǔn)確性，達(dá)到了足端軌跡規(guī)劃預(yù)期要求。

4 結(jié)論

本文提出了一種可適應(yīng)崎嶇地形的復(fù)合足端軌跡規(guī)劃方法，對(duì)設(shè)計(jì)的足端軌跡的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行分析研究，并且在matlab/simulink與Adams聯(lián)合仿真環(huán)境下采用設(shè)計(jì)的足端軌跡與五次多項(xiàng)式足端軌跡分別在平地、崎嶇環(huán)境下進(jìn)行運(yùn)動(dòng)情況對(duì)比，仿真結(jié)果顯示采用以五次多項(xiàng)式軌跡運(yùn)動(dòng)和以設(shè)計(jì)的足端軌跡運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人均能順利通過平地和障礙物不超過足端軌跡步長(zhǎng)80%的崎嶇地面，在平地上運(yùn)動(dòng)時(shí)以設(shè)計(jì)的足端軌跡運(yùn)動(dòng)與以五次多項(xiàng)式軌跡運(yùn)動(dòng)相比平穩(wěn)性稍遜，在崎嶇地形上以設(shè)計(jì)的足端軌跡運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人能夠適應(yīng)橫滾角、俯仰角以及偏移角±0.1 rad內(nèi)的波動(dòng)，并在完全通過障礙后恢復(fù)平衡，側(cè)向偏移位移為前進(jìn)位移的6.7%，而以五次多項(xiàng)式軌跡運(yùn)動(dòng)在完全通過障礙后并未恢復(fù)到平衡狀態(tài)，側(cè)向偏移位移為前進(jìn)位移的9.0%，因此可以證明以設(shè)計(jì)的足端軌跡運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人能更好地抵御崎嶇地形的干擾，具有更好的運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性和地形適應(yīng)能力。