摘要：本文介紹幾種求三角函數(shù)中參數(shù)的取值范圍的方法：構(gòu)造函數(shù)解不等式、雙變量問(wèn)題先確定主變量、利用函數(shù)單調(diào)性求解、利用換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題、數(shù)形結(jié)合求解.

關(guān)鍵詞：構(gòu)造函數(shù);確定主變量;函數(shù)單調(diào)性;換元法;數(shù)形結(jié)合

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）16-0040-03

收稿日期：2022-03-05

作者簡(jiǎn)介：田素偉，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

?？汲Ｐ碌娜呛瘮?shù)問(wèn)題，一直是高考的一個(gè)重點(diǎn)，近年來(lái)，數(shù)學(xué)高考中出現(xiàn)了一些重視基礎(chǔ)，考查能力的新型試題，特別是在三角函數(shù)中含參數(shù)的問(wèn)題更是精彩紛呈，如何求這類三角函數(shù)中參數(shù)的取值范圍？下面就常見的幾種題型分別舉例說(shuō)明.

1 構(gòu)造函數(shù)解不等式

例1已知實(shí)數(shù)a滿足sina2+sina>a2+a，則a的取值范圍是.

解析將sina2+sina>a2+a變形為

sina2-a2>-（sina-a）.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=sinx-x，

所以sina2-a2>-（sina-a）可化為

f（a2）>-f（a）.

又因?yàn)閒（-x）=sin（-x）-（-x）=-（sinx-x）=-f（x），

所以f（x）為奇函數(shù).

所以f（-a）=-f（a）.

所以f（a2）>f（-a）.

由f ′（x）=cosx-1≤0知，f（x）在R上為減函數(shù).所以a2<-a.解得-1<a<0.

所以a的取值范圍是-1<a<0.

評(píng)析本題是通過(guò)觀察題中式子特征構(gòu)造函數(shù)f（x）=sinx-x，然后利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式.

變式1已知α，β∈（0，π2），α≠β，若eα-eβ=cosα-2cosβ，比較α與β的大小.

解析把eα-eβ=cosα-2cosβ變形為

eα-cosα=eβ-cosβ-cosβ，

構(gòu)造函數(shù)f（x）=ex-cosx，x∈（0，π2），

所以eα-cosα=eβ-cosβ-cosβ可化為

f（α）=f（β）-cosβ.

因?yàn)閒（x）=ex-cosx，則f ′（x）=ex+sinx>0.

所以函數(shù)f（x）在（0，π2）上單調(diào)遞增.

當(dāng)α，β∈（0，π2）時(shí)，cosβ>0，

所以f（β）-f（α）=cosβ>0.

所以f（β）>f（α）.

所以β>α.

2 雙變量問(wèn)題先確定主變量

例2設(shè)函數(shù)f（x）=x2021+x，x∈R，若當(dāng)θ∈0，π2時(shí)，f（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，求m的取值范圍.

解析由f（x）=x2021+x，顯然f（x）為奇函數(shù)，且單調(diào)遞增.

因?yàn)閒（msinθ）+f（1-m）>0恒成立，

即f（msinθ）>f（m-1）恒成立.

所以msinθ>m-1恒成立.

當(dāng)θ∈0，π2時(shí)，sinθ∈0，1 ，

設(shè)t=sinθ，則t∈0，1.

所以msinθ>m-1可化為mt>m-1.

所以mt-m+1>0.

這里有兩個(gè)變量m和t，因?yàn)閠的取值范圍已經(jīng)確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù).

設(shè)f（t）=mt-m+1，

（1）當(dāng)m=0時(shí)，此時(shí)f（t）=1>0符合題意;

（2）當(dāng)m≠0時(shí)，函數(shù)f（t）=mt-m+1是關(guān)于t的一次函數(shù)，

所以f（0）=-m+1>0，f（1）=m-m+1>0.

解得m<1且m≠0.

綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-

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，1）.

評(píng)析本題利用函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為關(guān)于兩個(gè)變量m和t的不等式，因?yàn)閠的取值范圍已經(jīng)確定，所以確定以t為主變量，把不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，一般情況下含兩個(gè)變量m和t的不等式，如果其中一個(gè)變量的取值范圍能確定，那么就以這個(gè)變量為主變量，另外一個(gè)變量作為參數(shù).

3 利用函數(shù)單調(diào)性求解

例3已知函數(shù)f（x）=tanx+3sinx，若對(duì)任意x∈-π6，π6，f（x）>a恒成立，則a的取值范圍是

.

解析若對(duì)任意x∈-π6，π6，f（x）>a恒成立，則只要f（x）min>a即可.

因?yàn)楹瘮?shù)y=tanx和y=3sinx在-π6，π6上都單調(diào)遞增，所以函數(shù)f（x）=tanx+3sinx在x∈-π6，π6上單調(diào)遞增.

故f（x）>f-π6=tan-π6+3sin-π6=-536.所以a≤-536.

評(píng)析本題是含參數(shù)的三角不等式的恒成立問(wèn)題，不等式的恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.一般方法是不等式同解變形為a>f（x）或者a<f（x）的形式，然后再利用以下命題進(jìn)行求解.a>f（x）恒成立（有解）a>fmax（x）（a>fmin（x））;

a<f（x）恒成立（有解）a<fmin（x）（a<fmax（x））.

4 利用換元轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題

例4已知函數(shù)f（x）=2sin2x-a（sinx+cosx），當(dāng)x∈0，π2時(shí)，不等式f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解法1因?yàn)楫?dāng)x∈0，π2時(shí)，不等式f（x）≤0恒成立，所以在x∈0，π2時(shí)，不等式2sin2x-a（sinx+cosx）≤0恒成立.

設(shè)t=cosx+sinx=2sinx+π4，

由x∈0，π2，知t=2sinx+π4∈1，2.

因?yàn)閠=cosx+sinx，所以t2=（cosx+sinx）2.

所以sin2x=t2-1.

不等式2sin2x-a（sinx+cosx）≤0可化為

2（t2-1）-at≤0.

即當(dāng)t∈1，2時(shí)，不等式2（t2-1）-at≤0恒成立.

所以2（t2-1）≤at.解得a≥2（t-1t）.

所以本題可轉(zhuǎn)化為

當(dāng)t∈1，2時(shí)，a≥2t-1t恒成立.

故在t∈1，2時(shí)，只要a≥2t-1tmax即可.

因?yàn)閥=t-1t在1，2上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)t=2時(shí)，y=t-1t有最大值22.

所以2t-1t的最大值是2.

所以a≥2.

解法2因?yàn)楫?dāng)x∈0，π2時(shí)，不等式f（x）≤0恒成立，

所以在x∈0，π2時(shí)，不等式2sin2x-a（sinx+cosx）≤0恒成立.

因?yàn)樵趚∈0，π2時(shí)，sinx+cosx≥1，

所以a≥2sin2xcosx+sinx=2×（1+sin2x-1cosx+sinx）=2×cosx+sinx2-1cosx+sinx=2×[（cosx+sinx）-1cosx+sinx]恒成立.

以下解法同解法1

評(píng)析本題通過(guò)換元把三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定區(qū)間上的不等式恒成立問(wèn)題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

5 數(shù)形結(jié)合求解

例5設(shè)函數(shù)fx=3cosπ21-x，若關(guān)于x的方程f 2x-afx+1=0在區(qū)間0，3內(nèi)恒有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析fx=3cosπ21-x=3sinπ2x，作出函數(shù)fx的函數(shù)圖象（如圖1）.

當(dāng)x∈0，3時(shí)，f（x）∈0，3.

設(shè)t=fx，所以t∈0，3.

因?yàn)榉匠蘤 2x-afx+1=0在區(qū)間0，3內(nèi)恒有四個(gè)不同的實(shí)根，由t=fx，所以關(guān)于t的一元二次方程t2-at+1=0有兩個(gè)不同的根，設(shè)y=t2-at+1，t∈0，3，所以函數(shù)y=t2-at+1圖象在t∈0，3時(shí)與t軸有兩個(gè)交點(diǎn).

所以Δ=a2-4>0，0<a2<3，f（0）=1>0，f（3）=3-3a+1>0，解得2<a<433.

評(píng)析因?yàn)殛P(guān)于f（x）的一元二次方程f 2（x）-af（x）+1=0最多只能解出2個(gè)f（x），若方程要恰有4個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解，設(shè)f 2（x）-af（x）+1=0的兩個(gè)根分別是f1（x），f2（x），所以兩個(gè)函數(shù)值f1（x），f2（x）共對(duì)應(yīng)4個(gè)不同的x，所以函數(shù)值f1（x）對(duì)應(yīng)2個(gè)不同的x，函數(shù)值f2（x）對(duì)應(yīng)2個(gè)不同的x，設(shè)t=f（x），關(guān)于t的一元二次t2-at+1=0，當(dāng)t∈0，3有兩個(gè)不等的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的分布.

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[責(zé)任編輯：李璟]