關(guān)廣嚴(yán)

摘要：立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)并且是高考必考點(diǎn).立體幾何題型靈活多變，解題時(shí)不僅需要牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，而且需要靈活應(yīng)用相關(guān)的解題技巧才能迅速破題，提高解題效率.本文結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，圍繞相關(guān)習(xí)題探討分類討論法、向量法、轉(zhuǎn)化法、割補(bǔ)法、函數(shù)法解題技巧.

關(guān)鍵詞：立體幾何;向量法;分類討論法

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）16-0018-04

解答高中數(shù)學(xué)立體幾何習(xí)題時(shí)注重相關(guān)解題技巧的應(yīng)用可少走彎路，有效地提升解題能力，因此教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)注重為學(xué)生講解相關(guān)的解題技巧，尤其應(yīng)展示相關(guān)解題技巧在解題中的具體應(yīng)用.

1 分類討論法解題

解答立體幾何習(xí)題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，充分理解題意，認(rèn)真考慮滿足題干的所有可能，畫(huà)出相關(guān)的草圖輔助分析，尤其注重分類討論法的應(yīng)用，確保考慮問(wèn)題的全面性.

例1已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，∠BAC=90°，且BC1⊥AC，AB=AC=2，BC1=26，側(cè)棱和底面呈60°，則其體積為.

分析根據(jù)題干描述無(wú)法判斷點(diǎn)C1在直線AB上的具體位置，因此，需要進(jìn)行分類討論.

因?yàn)椤螧AC=90°，所以AC⊥AB.

而AC⊥BC1，且AB∩BC1=B，則AC⊥平面ABC1.

所以平面ABC⊥平面ABC1.

故點(diǎn)C1在平面ABC上的射影在直線AB上.

過(guò)點(diǎn)C1作C1H⊥BA于點(diǎn)H，設(shè)C1H=x.

①若點(diǎn)H在線段BA的延長(zhǎng)線上，連接CH，BC1，則∠C1CH=60°，CH=33x.

在Rt△ACH中，易得AH=13x2-4.

在Rt△BC1H中，由BH2+C1H2=BC21，得x=15.則V三棱柱ABC-A1B1C1=15×12×2×2=215.

②若點(diǎn)H在AB上，在△BC1H中由勾股定理可解得x=26，此時(shí)點(diǎn)H和點(diǎn)B重合.

則V三棱柱ABC-A1B1C1=26×12×2×2=46.

③若點(diǎn)H在線段AB的延長(zhǎng)線上，在Rt△BC1H中，由勾股定理可解得x=26，不符合題意.

綜上可知三棱柱ABC-A1B1C1的體積為215或46.

2 向量法解題

運(yùn)用向量法將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，能彌補(bǔ)空間想象力不足的缺陷.運(yùn)用向量法解答立體幾何習(xí)題時(shí)為降低計(jì)算復(fù)雜度應(yīng)注重構(gòu)建合理的空間直角坐標(biāo)系.

例2如圖1，四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，底面為矩形，平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且CC1=CD=DD1=12C1D1=1.

（1）證明：AD⊥平面CC1D1D;

（2）若A1C和平面CC1D1D所成的角為π3，求二面角C-AA1-D的余弦值.

分析（1）作DH⊥C1D1于點(diǎn)H，連接DC1，因?yàn)镃C1=CD=DD1=12C1D1=1，所以D1H=12.所以∠D1DH=30°.

則DH=D1Dcos30°=32，HC1=32.

則DC1=DH2+HC21=3.

則在△D1DC1中可知DD21+DC21=D1C21.

則△D1DC1為直角三角形，DC1⊥DD1.

而平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且DD1為兩平面的交線，因此，DC1⊥平面AA1D1D，則AD⊥DC1.

又因?yàn)锳D⊥CD，所以AD⊥平面CC1D1D.

（2）連接A1C1，以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.

由A1D1⊥平面CC1D1D，

則A1C在平面CC1D1D內(nèi)的射影為D1C.

則A1C和平面CC1D1D所成的角為∠A1CD1.

即∠A1CD1=π3.

在Rt△A1CD1中，易得A1D1=3.

則D1（0，0，0），A1（3，0，0），D（0，12，32），C（0，32，32），C1（0，2，0）.則

D1D=（0，12，32），D1A1=（3，0，0），A1C1=（-3，2，0），A1C=（-3，32，32）.

設(shè)m=（x，y，z）為平面AA1D1D的法向量，

則m·D1D=0，m·D1A1=0.

整理，得12y+32z=0，3x=0.

令y=3，可求得m=（0，3，-3）.

設(shè)n=（a，b，c）為平面AA1C1C的法向量，

則n·A1C1=0，n·A1C=0.

整理，得-3a+2b=0，-3a+32b+32c=0.

令a=2，則n=（2，3，3）.

由圖2可知，二面角C-AA1-D為銳二面角，

則cos<m，n>=|m·n||m|·|n|=623×4=34.

則二面角C-AA1-D的余弦值為34.

3 轉(zhuǎn)化法解題

解答立體幾何習(xí)題無(wú)法采用正向思路進(jìn)行推理時(shí)可采用轉(zhuǎn)化法間接求解相關(guān)參數(shù)，尤其在求解點(diǎn)到平面之間的距離問(wèn)題時(shí)可通過(guò)等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解平面圖形的面積問(wèn)題.

例3在如圖3所示的四棱錐S-ABCD中，∠ADC=2∠BCD=120°，∠SAB=∠BAD=90°，SA=AD=12BC=1，平面SAB⊥平面ABCD，SC的中點(diǎn)是點(diǎn)E.

（1）求證：DE∥平面SAB;

（2）求點(diǎn)S到平面AEB的距離;

分析（1）取BC的中點(diǎn)為點(diǎn)F，連接DF，EF，因?yàn)椤螦DC=2∠BCD=120°，而∠ADC+∠BCD=180°，所以AD∥BC.

因?yàn)镾A=AD=12BC=1，四邊形ADFB為平行四邊形，所以DF∥AB.

由三角形中位線可得EF∥SB，且EF∩DF=F.

所以平面DEF∥平面SAB.

所以DE∥平面SAB.

（2）如圖4，取SB的中點(diǎn)P，連接EP，

所以PE∥BC，且PE=12BC.

因?yàn)椤蟂AB=∠BAD=90°，平面SAB⊥平面ABCD，

所以AD⊥平面SAB.

因?yàn)锳D∥BC， AD=12BC，

所以EP=AD，PE⊥平面SAB.

即VS-ABE=VE-SAB.

因?yàn)锳B∥DF，∠BDC=60°，

所以AB=DF=FCtan60°=3.

所以在△SAB中，S△SAB=12·SA·AB=32.

則VE-SAB=13×AD×S△SAB=36.

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，則PH∥SA，易得PH=12SA=12.

連接EH，則EH=EP2+PH2=52.

則S△BAE=12×AB×EH=154.

所以36=13×S△BAE×h，解得h=255.

所以點(diǎn)S到平面AEB的距離為255.

4 割補(bǔ)法解題

割補(bǔ)法是解答高中立體幾何題的常用方法.當(dāng)題干中給出的立體幾何圖形是不規(guī)則的，可通過(guò)針對(duì)性地隔開(kāi)或者添加使其成為規(guī)則的圖形，更加直觀地展示點(diǎn)線面之間的關(guān)系，化難為易.

例4已知在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，將其沿中線AD折起得到四面體A-BCD，使得BC=23，則四面體A-BCD的外接球表面積為.

分析由已知條件可知AB=AC=3，BC=4，BC=23，所以BD=CD=2.由勾股定理可得AD=5.

在△BCD中由余弦定理可得cos∠BDC=CD2+BD2-BC22CD·BD=4+4-122×2×2=-12.

則sin∠BDC=32.

設(shè)△BCD外接圓半徑為r，則

r=12·BCsin∠BDC=2.

因?yàn)锽D⊥AD，CD⊥AD，BD∩CD=D，

所以AD⊥面BCD.

將三棱錐補(bǔ)充成直棱柱AB1C1-DBC，如圖5，設(shè)外接球半徑為R，則易得R2=r2+（AD2）2=214.

則外接球的表面積S=4πR2=21π.

5 函數(shù)法解題

求解立體幾何有關(guān)最值問(wèn)題時(shí)運(yùn)用函數(shù)法有時(shí)可獲得事半功倍的良好效果.解題時(shí)需要運(yùn)用所學(xué)的立體幾何知識(shí)構(gòu)建相關(guān)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，確定函數(shù)取得最大值時(shí)某參數(shù)具體的值.

例5如圖6，已知ABCD為矩形，AB=a，BC=2a，AD的中點(diǎn)為點(diǎn)E，將△ABE沿BE翻折到△A′BE的位置，翻折過(guò)程中點(diǎn)A′不在平面BCDE內(nèi)時(shí)，記二面角A′-DC-B的平面角為α，則當(dāng)α最大值時(shí)，cosα的值為.

分析設(shè)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，易得AF⊥BE.翻折期間點(diǎn)A′的射影H在AF上，顯然點(diǎn)A′的軌跡是以AF為直徑的圓.作HG⊥CD于點(diǎn)G，連接A′G.其中二面角A′-DC-B的平面角為∠A′GH，則∠A′GH=α，α∈（0，π2）.

因?yàn)锳B=a，BC=2a，AD的中點(diǎn)為點(diǎn)E，

所以AF⊥BE.則A′O⊥BE.

則二面角A′-BE-C的平面角為∠A′OF.

設(shè)∠A′OF=θ，由對(duì)稱性這里只考慮θ∈（0，π）的情況，由圖可知OA′=22a，A′H=22asinθ，OH=22acosθ，HG=32a-12acosθ.

因?yàn)锳′H⊥面ABCD，則tanα=A′HHG=2sinθ3-cosθ.

令k=2sinθ3-cosθ，則

3k=2sinθ+kcosθ=2+k2sin（θ+φ）.

則3k≤2+k2，解得-12≤k≤12.

顯然tanα的最大值為12，

則cosα=255.

高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧較多，為使學(xué)生更好地掌握，并在解題中靈活應(yīng)用，既要注重解題技巧的講解與展示，要求學(xué)生做好聽(tīng)課總結(jié)，又要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自身學(xué)習(xí)實(shí)際開(kāi)展針對(duì)性地訓(xùn)練活動(dòng)，親身體會(huì)解題技巧的具體應(yīng)用細(xì)節(jié)以及注意事項(xiàng)，積累豐富的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，提升立體幾何解題水平.

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[責(zé)任編輯：李璟]