摘要：電磁感應(yīng)中的“滑桿”模型是高中物理?？寄Ｐ?，該模型中導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)往往為非勻變速運(yùn)動(dòng)，本文對(duì)該模型中導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行定量計(jì)算，并對(duì)該類試題命題做了思考.

關(guān)鍵詞：“滑桿”模型;收尾狀態(tài);雙桿

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）16-0100-03

收稿日期：2022-03-05

作者簡(jiǎn)介：李啟國(guó)（1987.12-），男，安徽省利辛人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中物理教學(xué)研究.[FQ）]

“滑桿”模型是高中物理電磁感應(yīng)問題中常規(guī)模型，在各類電磁感應(yīng)試題中頻頻出現(xiàn)，此類問題中對(duì)滑桿運(yùn)動(dòng)的定量分析往往只停留在收尾狀態(tài)上，一般回避從力與運(yùn)動(dòng)角度對(duì)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行定量分析，現(xiàn)對(duì)以下四種模型中導(dǎo)體棒的速度、位移隨時(shí)間變化的規(guī)律進(jìn)行定量計(jì)算.

1 “含阻式”單桿模型的定量計(jì)算如圖1所示，導(dǎo)軌光滑，導(dǎo)體棒初速度為v0，質(zhì)量為m，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，現(xiàn)定量計(jì)算其速度及位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.

任一時(shí)刻，對(duì)導(dǎo)體棒由牛頓第二定律可得：-B2L2vR=ma，將a=dvdt代入得：-B2L2vR=mdvdt，整理得：1vdv=-B2L2mRdt，

對(duì)上式積分得：lnv=-B2L2mRt+A，

進(jìn)一步得到：v=e-B2L2mRt+A=A1e-B2L2mRt，

當(dāng)t=0時(shí)，v=v0，可得上式中A1= v0，

則上式為：v=e-B2L2mRt+A=v0e-B2L2mRt（1）

由（1）式可知，當(dāng)v=0時(shí)，t=+∞

將v=dxdt代入（1）式得：dxdt=v0e-B2L2mRt，

對(duì)上式積分得：x=-mRv0B2L2e-B2L2mRt+A，

當(dāng)t=0時(shí)，x=0，可得上式中A=mRv0B2L2，

則上式為x=-mRv0B2L2e-B2L2mRt+mRv0B2L2（2）

由（2）式可知，當(dāng)v=0，即t=+∞時(shí)，x=mRv0B2L2.

由以上計(jì)算可知，該模型中導(dǎo)體棒速度減為零的時(shí)間趨近于無窮大，而位移趨近于一定值.

2 “含容式”單桿模型的定量計(jì)算如圖2所示，導(dǎo)軌光滑，導(dǎo)體棒初速度為v0，質(zhì)量為m，電阻為R，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電容為C，現(xiàn)定量計(jì)算其速度及位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.

導(dǎo)體棒向右運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，對(duì)電容器充電，充電過程中有電流通過導(dǎo)體棒，導(dǎo)體棒在安培力的作用下減速，電容器上不斷積累電荷，當(dāng)其電壓等于導(dǎo)體棒電動(dòng)勢(shì)時(shí)，不再充電，電路中無電流，導(dǎo)體棒勻速.

充電過程，對(duì)導(dǎo)體棒由動(dòng)量定理可得：-∑BIiLΔt=∑mΔv，

結(jié)合初始條件解得：

v=B2L2v0B2L2C+me-B2L2C+mRmCt+mv0B2L2C+m（3）

將v=dxdt代入上式并進(jìn)一步解微分方程得：

x=-B2L2v0mRC2（B2L2C+m）2e-B2L2C+mRmCt+mv0B2L2C+mt+B2L2v0mRC2（B2L2C+m）2（4）

由（3）可知，當(dāng)v=vm時(shí)，t=+

SymboleB@

，由（4）式知，此時(shí)x=+

SymboleB@

由以上計(jì)算可知，該模型中導(dǎo)體棒進(jìn)入收尾狀態(tài)的時(shí)間趨近于無窮大，位移也趨近于無窮大.

3 “含源式”單桿模型的定量計(jì)算如圖3所示，導(dǎo)軌光滑，導(dǎo)體棒初速度為v0，質(zhì)量為m，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電動(dòng)勢(shì)為E，現(xiàn)定量計(jì)算其速度及位移隨時(shí)間變化的規(guī)律.

導(dǎo)體棒在安培力作用下向右運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，當(dāng)BLv=E時(shí)，電流為0，導(dǎo)體棒勻速，勻速速度為vm=EBL

任一時(shí)刻，對(duì)導(dǎo)體棒由牛頓第二定律可得：v=EBL（1-e-BLmRt）（5）

由（5）式可知，當(dāng)v=vm時(shí)，-BLmRt=0時(shí)，t=+∞

由（5）式得：dxdt=EBL（1-e-BLmRt），

對(duì)上式積分得：x=EBLt+mREB2L2e-BLmRt+A2，

當(dāng)t=0時(shí)，x=0，可得上式中A2=-mREB2L2，

則上式為x=EBLt+mREB2L2e-BLmRt-mREB2L2（6）

由（6）式可知，當(dāng)v=vm，即t=+∞時(shí)，x=+

SymboleB@

由以上計(jì)算可知，該模型中導(dǎo)體棒進(jìn)入收尾狀態(tài)的時(shí)間趨近于無窮大，位移也趨近于無窮大.

4 雙桿模型的定量計(jì)算

如圖4所示，導(dǎo)軌光滑，兩導(dǎo)體棒質(zhì)量均為m，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，回路總電阻為R，現(xiàn)給導(dǎo)體棒a一初速度v0，該模型的收尾狀態(tài)為回路電流為0，a、b勻速且速度相等.現(xiàn)定量計(jì)算導(dǎo)體棒a、b的速度及位移隨時(shí)間變化的規(guī)律并討論其收尾狀態(tài).

設(shè)導(dǎo)體棒a、b的加速度分別為a1和a2，任意瞬間均有a1=-a2，

對(duì)b棒有：

a2=B2L2v0mRe-2B2L2mRt，

x2=mRv04B2L2e-2B2L2mRt+v02t-mRv04B2L2.

由以上兩式可知，當(dāng)t趨近于無窮大時(shí)，v2=v02，x2=+

SymboleB@

.

現(xiàn)在再來研究導(dǎo)體棒a，由前面計(jì)算可知a1=-a2=-B2L2v0mRe-2B2L2mRt，

x1=-mRv04B2L2e-2B2L2mRt+v02t+mRv04B2L2.

可見，當(dāng)t趨近于無窮大時(shí)，v1=v02，x1=+

SymboleB@

.

兩者的位移差Δx=x1-x2=mRv02B2L2-mRv02B2L2e-2B2L2mRt，顯然二者的相對(duì)距離隨著時(shí)間在增大，當(dāng)時(shí)間趨近無窮大時(shí)，Δx=mRv02B2L2，為一定值.

5 對(duì)“滑桿”模型類問題命題的思考

通過以上計(jì)算可知，滑桿達(dá)到最后的收尾狀態(tài)所需時(shí)間均為無窮大，除了“含阻”單桿模型中導(dǎo)體棒的收尾位移趨近于一定值外，其他三個(gè)模型中導(dǎo)體棒的位移均趨近無窮大.也就是說，在該類模型中，若收尾速度趨近于0，則最終位移趨近一定值;若收尾速度趨近于一定值，則最終位移趨近無窮大.因此在收尾狀態(tài)為勻速運(yùn)動(dòng)的滑桿模型的命題中，若限定了其收尾的位移，則均為錯(cuò)題，題目必然會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)不自洽的問題.如下面兩道試題;

試題1（2015年天津高考第11題（題目略））

錯(cuò)因分析由題意知，ef、pq邊進(jìn)入磁場(chǎng)，線框開始做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，由前面的分析方法可知，若線框再次勻速運(yùn)動(dòng)，需用的時(shí)間是無窮大，線框的位移也是無窮大，因此在ab邊進(jìn)入磁場(chǎng)前，線框不可能勻速.

試題2如圖5所示，PQMN與CDEF為兩根足夠長(zhǎng)的固定平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng).PQ、MN、CD、EF為相同的弧形導(dǎo)軌;QM、DE為足夠長(zhǎng)的水平導(dǎo)軌.導(dǎo)軌的水平部分QM和DE處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.a、b為材料相同、長(zhǎng)都為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒，跨接在導(dǎo)軌上.已知a棒的質(zhì)量為m、電阻為R，a棒的橫截面是b的3倍.金屬棒a和b都從距水平面高度為h的弧形導(dǎo)軌上由靜止釋放，分別通過DQ、EM同時(shí)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，a、b棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)相碰.若金屬棒a、b與導(dǎo)軌接觸良好，且不計(jì)導(dǎo)軌的電阻和棒與導(dǎo)軌的摩擦.

通過分析計(jì)算說明，從金屬棒a、b進(jìn)入磁場(chǎng)至某金屬第一次離開磁場(chǎng)的過程中，電路中產(chǎn)生的焦耳熱.

錯(cuò)因分析此題給的標(biāo)準(zhǔn)答案認(rèn)為在其中一個(gè)導(dǎo)體棒離開磁場(chǎng)時(shí)，兩導(dǎo)體棒已經(jīng)共速，由前面的計(jì)算可知，要想實(shí)現(xiàn)二者勻速，導(dǎo)體棒的位移均為無窮大，而導(dǎo)體棒既然能夠離開磁場(chǎng)，則磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)度必是有限的，故當(dāng)導(dǎo)體棒離開磁場(chǎng)時(shí)，二者仍未共速.各自速度為多大，還需由磁場(chǎng)區(qū)域的長(zhǎng)度進(jìn)一步計(jì)算確定.因此，該問中的產(chǎn)生的焦耳熱無法計(jì)算.此題也是一道末考慮到收尾位移的錯(cuò)題.

參考文獻(xiàn)：

[1]?楊榕楠.更高更妙的物理高考高分與自主招生決勝篇

[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2013：283.

[責(zé)任編輯：李璟]