康曉蓉 鮮大權(quán) 鮮驪珠

(1.西南科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院 四川綿陽(yáng) 621010；2.成都理工大學(xué)中英合作辦學(xué) 成都 610059)

非線性現(xiàn)象在等離子體物理、固體物理、流體力學(xué)及化學(xué)動(dòng)力學(xué)等科學(xué)和工程領(lǐng)域廣泛存在，尋求這類非線性方程的精確解是理解這些復(fù)雜非線性物理現(xiàn)象的重要科學(xué)途徑。Boussinesq方程是Boussinesq于1871年導(dǎo)出的非線性淺水波模型[1]，可以用于描繪淺水波、等離子體、非線性晶格等眾多物理現(xiàn)象，模擬淺水非線性波相互作用、波流相互作用等[2-3]。隨著這類模型應(yīng)用的日益增加，相關(guān)研究不斷深入，有了各種改進(jìn)的Boussinesq方程，其中廣義Boussinesq方程是重力波在地球表面?zhèn)鞑サ臄?shù)學(xué)模型，是模擬波浪在海岸和海洋地區(qū)傳播的有效科學(xué)工具。

本文研究如下形式的廣義(2+1)維Boussinesq 方程[4]：

utt+α(u2)xx+βuxxxx+γuxx-uyy=0

(1)

其中：u=u(x,y,t)；α,β和γ均是任意實(shí)數(shù)。當(dāng)α,β和γ取不同的值時(shí),方程(1)可化為(1+1)維的Boussinesq方程和Benjamin-Ono方程[5-6]以及(2+1)維的Benjamin-Ono方程和Boussinesq方程[7-8]。

方程(1)的已有研究成果包括高階呼吸波和lump解[4]、呼吸波解和一階怪波解[9-10]、當(dāng)α=3β或α=γ=-1,β=-3時(shí)的一階lump解[11]、復(fù)怪波解[12]等。作為一個(gè)高維非線性數(shù)學(xué)物理模型，其動(dòng)力學(xué)內(nèi)涵是很豐富的，可用研究方法很多[13-15]。本文應(yīng)用初值擾動(dòng)雙線性法研究該模型的lump解和怪波解的初值擾動(dòng)行為。首先尋求方程的初值擾動(dòng)雙線性方程，再通過(guò)函數(shù)擬設(shè)法求解初值擾動(dòng)雙線性方程得到方程(1)的初值擾動(dòng)lump解和擾動(dòng)怪波解，最后應(yīng)用計(jì)算機(jī)數(shù)值圖像技術(shù)分析方程lump解的初值擾動(dòng)行為局域激發(fā)模式。

1 方程(1)的初值擾動(dòng)雙線性結(jié)構(gòu)

依據(jù)Painleve分析思想[16],選擇方程(1)的初值擾動(dòng)變換如下：

(2)

其中u0是方程(1)的初始常數(shù)解。

將式(2)代入方程(1),方程(1)化為如下帶初值u0擾動(dòng)的Hirota雙線性形式[17-18]：

(3)

(4)

2 方程(1)的初值擾動(dòng)lump解

為得到方程(1)的初值擾動(dòng)lump解，取擬設(shè)函數(shù)φ為如下形式[19]：

(5)

其中，k0,ai,bi,ci,di(i=1,2)是待定參數(shù)，aibici≠0。將式(5)代入方程(3)并取積分常數(shù)B=0,可得關(guān)于待定參數(shù)的非線性超定代數(shù)方程組：

(6)

上述方程組有解：

(7)

u1=u0+

(8)

3 方程(1)的初值擾動(dòng)怪波解

為得到方程(1)的初值擾動(dòng)怪波解，對(duì)函數(shù)φ取如下擬設(shè)[20]：

φ2=a1t+b1x+c1y+d1+k1eη+k2e-η

(9)

其中：η=a2t+b2x+c2y+d2；ki,ai,bi,ci,di(i=1,2)為待定實(shí)數(shù)。將式(9)代入方程(3),取積分常數(shù)B及各次冪enη的系數(shù)為0,得到待定參數(shù)滿足的非線性超定代數(shù)方程組：

(10)

上述方程組的解為：

(11)

令d1=d2=0,將式(11)代入式(9)，有:

(12)

其中η=a2t+b2x+θy。

(13)

(14)

將式(13)和式(14)分別代入式(2),得方程(1)的兩個(gè)初值擾動(dòng)怪波解如下：

(15)

(16)

4 方程(1)初值擾動(dòng)解的局域激發(fā)模式

本節(jié)作出方程(1)的初值擾動(dòng)lump解u1在以下6種參數(shù)環(huán)境下的局域激發(fā)模式(見(jiàn)圖1-圖6，左為三維波面結(jié)構(gòu)，右為等高線)。

(1)當(dāng)a1=1,b1=1,d1=1,β=3,α=1,u0=-2,y=x時(shí)，記u1=u1a，u1a的局域激發(fā)模式如圖1所示。

圖1 u1a 的局域激發(fā)模式Fig.1 Local excitation mode of u1a

(2)當(dāng)a1=1,b1=1,d1=1，β=3,α=-1,u0=2,y=x時(shí)，記u1=u1b，u1b的局域激發(fā)模式如圖2所示。

圖2 u1b 的局域激發(fā)模式Fig.2 Local excitation mode of u1b

(3)當(dāng)a1=1,b1=1,d1=1,β=3，α=1,u0=-2,y=t時(shí)，記u1=u1c，u1c的局域激發(fā)模式如圖3所示。

圖3 u1c 的局域激發(fā)模式Fig.3 Local excitation mode of u1c

(4)當(dāng)a1=1,b1=1,d1=1,β=3，α=-1,u0=2,y=t時(shí)，記u1=u1d，u1d的局域激發(fā)模式如圖4所示。

圖4 u1d 的局域激發(fā)模式Fig.4 Local excitation mode of u1d

(5)當(dāng)a1=1,b1=1,d1=1,β=3，α=1,u0=-2,x=t時(shí)，記u1=u1e，u1e的局域激發(fā)模式如圖5所示。

圖5 u1e 的局域激發(fā)模式Fig.5 Local excitation mode of u1e

(6) 當(dāng)a1=1,b1=1,d1=1，β=3,α=-1,u0=2,x=t時(shí)，記u1=u1f，u1f的局域激發(fā)模式如圖6所示。

圖6 u1f 的局域激發(fā)模式Fig.6 Local excitation mode of u1f

5 結(jié)論

利用雙線性方法和擬設(shè)函數(shù)法研究廣義(2+1)維 Boussinesq方程，通過(guò)初值擾動(dòng)雙線性法獲得方程的初值擾動(dòng)雙線性結(jié)構(gòu)方程，應(yīng)用擬設(shè)函數(shù)法得到了方程的初值擾動(dòng)lump解和怪波解及其初值擾動(dòng)的分岔點(diǎn)，給出了初值擾動(dòng)lump解在6種參數(shù)環(huán)境下的局域激發(fā)模式。本文所用研究方法和所得的解析結(jié)果豐富了Boussinesq方程的可積意義和動(dòng)力學(xué)內(nèi)涵。