程?？?章建躍

(1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 050024; 2.人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

4.4 二項(xiàng)分布與超幾何分布

二項(xiàng)分布是最常見(jiàn)的一種離散型分布，19世紀(jì)以前的概率統(tǒng)計(jì)可以說(shuō)就是二項(xiàng)分布的天下.我們知道，保險(xiǎn)業(yè)是最早應(yīng)用概率論的領(lǐng)域，在有關(guān)保險(xiǎn)的問(wèn)題中涉及大量的二項(xiàng)分布計(jì)算問(wèn)題.另外，在很長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)，統(tǒng)計(jì)方法在社會(huì)問(wèn)題中的應(yīng)用主要限于人口統(tǒng)計(jì)，特別是出生的男、女嬰兒的性別比例問(wèn)題，這是一個(gè)典型的二項(xiàng)分布問(wèn)題.

就像函數(shù)中的基本初等函數(shù)一樣，二項(xiàng)分布是離散型概率模型的代表，其研究的整體架構(gòu)是：

背景——n重伯努利試驗(yàn)的特征——二項(xiàng)分布模型——應(yīng)用.

超幾何分布的研究也有類似的架構(gòu).

4.4.1 抽象 n重伯努利試驗(yàn)的特征

在抽象n重伯努利試驗(yàn)的特征時(shí)，要特別關(guān)注“重復(fù)”和“獨(dú)立”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義.“重復(fù)”是指每次試驗(yàn)的條件完全相同，且事件A的概率保持不變；“獨(dú)立”指的是各次試驗(yàn)的結(jié)果互相不受影響.

教學(xué)中，應(yīng)通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展n重伯努利試驗(yàn)特征的抽象活動(dòng)：每個(gè)問(wèn)題中的伯努利試驗(yàn)是什么？定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大？重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)是多少？各次試驗(yàn)的結(jié)果是否獨(dú)立，如何判斷？關(guān)注的隨機(jī)變量是什么？下面通過(guò)5個(gè)實(shí)際問(wèn)題情境的分析，討論如何引導(dǎo)學(xué)生思考的問(wèn)題.

(1)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次, 恰好有4次正面朝上的概率是多少？

(2)圖2是高爾頓板的示意圖.將小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.求小球落入從左到右第3號(hào)格子內(nèi)的概率.

圖2

(3)(隨機(jī)游動(dòng)問(wèn)題)如圖3，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)8次.求質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn)的概率.

圖3

(4)1000名中學(xué)生購(gòu)買了“意外傷害保險(xiǎn)”，假設(shè)一年內(nèi)出險(xiǎn)的概率為0.001，那么一年內(nèi)恰好2人發(fā)生意外傷害事故的概率是多少？

(5)袋子中有4個(gè)紅球，6個(gè)白球，從中不放回地抽取4個(gè)，那么其中有2個(gè)紅球的概率是多少？

將問(wèn)題的思考結(jié)果列表如下：

問(wèn)題編號(hào)伯努利試驗(yàn)事件AP(A)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n各次試驗(yàn)是否獨(dú)立關(guān)注的隨機(jī)變量X1擲硬幣正面朝上0.510是正面朝上的次數(shù)2小球下落的方向向右下落0.510是小球向右下落的次數(shù)3質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)方向向右移動(dòng)0.58是質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)的次數(shù)4觀察個(gè)人是否出險(xiǎn)發(fā)生意外0.0011000是發(fā)生意外的人數(shù)5摸球試驗(yàn)摸到紅球0.45否摸到紅球的個(gè)數(shù)

其中問(wèn)題1，2，3雖然情境不同，但試驗(yàn)的本質(zhì)特征完全相同，都可以歸為重復(fù)擲硬幣試驗(yàn).關(guān)于試驗(yàn)獨(dú)立性的判斷，有時(shí)是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情境來(lái)判斷(問(wèn)題1和問(wèn)題4)，有時(shí)是合理的假定(問(wèn)題2和問(wèn)題3)，問(wèn)題5由于是不放回摸球，所以各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，不滿足n重伯努利試驗(yàn)的特征.

4.4.2 二項(xiàng)分布分布列的推導(dǎo)

人教A版采用由特殊到一般的方法，推導(dǎo)二項(xiàng)分布的分布列.先設(shè)計(jì)探究欄目，引導(dǎo)學(xué)生考慮特殊情形，以3次射擊為例，求中靶次數(shù)X的分布列.借助樹(shù)狀圖，表示事件{X=k}，利用概率的加法公式及獨(dú)立事件的乘法公式求P{X=k}.接著思考射擊次數(shù)為4時(shí)，如何表示事件{X=k}？如何求P{X=k}? 最后由特殊到一般地得到X的分布列.

在這個(gè)過(guò)程中，用到了事件的表示、概率的運(yùn)算法則、組合計(jì)數(shù)等知識(shí)，以及由特殊到一般的推理方法.教學(xué)中要讓學(xué)生充分經(jīng)歷這個(gè)探究過(guò)程.

我們還可以類比二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程，直接從一般情形推導(dǎo)X的分布列：

設(shè)每次試驗(yàn)，“成功”用1表示，“失敗”用0表示，則n重伯努利試驗(yàn)的樣本空間為

Ω={x1x2…xn|xi=0，1；i=1，2，…，n}.

可以得到如下結(jié)果：

求a+b()n的展開(kāi)式求P(X=k),k=0,1,…,n根據(jù)多項(xiàng)式乘法,展開(kāi)式共有2n項(xiàng),每一項(xiàng)都是一些a與b的乘積,次數(shù)為n.樣本空間包含2n個(gè)樣本點(diǎn)(基本事件),每個(gè)樣本點(diǎn)都是長(zhǎng)度為n的由1和0構(gòu)成的數(shù)組.根據(jù)組合計(jì)數(shù)原理,包含k個(gè)a、n-k個(gè)b的項(xiàng)akbn-k共Ckn項(xiàng),合并同類項(xiàng)得展開(kāi)式的一般項(xiàng)為Cknakbn-k.事件X=k{}包含所有的有k個(gè)1、n-k個(gè)0的樣本點(diǎn),共有Ckn個(gè).由獨(dú)立性條件,每個(gè)樣本點(diǎn)的概率均為pk(1-p)n-k,由概率的加法公式得P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k.a+b()n=∑nk=0Cknakbn-k.∑nk=0Cknak(1-p)n-k=(p+(1-p))n=1.

4.4.3 二項(xiàng)分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別

超幾何分布主要用于不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中概率的計(jì)算，其中對(duì)抽取的每個(gè)個(gè)體只考慮是否具有某種特征.例如，抽取的產(chǎn)品是否合格，選擇的學(xué)生代表是男生還是女生，觀察某電子產(chǎn)品的使用壽命是否超過(guò)5000小時(shí)等等.對(duì)于不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，每次抽取時(shí)條件不同，且各次抽取的結(jié)果不獨(dú)立，不滿足n重伯努利試驗(yàn)的特征.

我們可以用摸球試驗(yàn)來(lái)描述超幾何分布模型特征.

袋子中有大小相同的N個(gè)球，其中有M個(gè)紅球，N-M個(gè)白球，不放回隨機(jī)摸出n個(gè)球，設(shè)X表示摸出的n個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則X所服從的分布稱為超幾何分布.

問(wèn)題100個(gè)球中有40個(gè)紅球，60個(gè)白球，采用有放回和不放回兩種方式隨機(jī)抽樣，分別抽取20個(gè)球，設(shè)X為這20個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù).采用有放回隨機(jī)抽樣，顯然X服從二項(xiàng)分布B(20, 0.6)；采用不放回抽樣，由于各次抽樣結(jié)果之間不相互獨(dú)立，不符合n重伯努利試驗(yàn)的特征，可以根據(jù)古典概型求X的分布列.

無(wú)論采用有放回抽樣還是不放回抽樣，每次抽取一個(gè)個(gè)體，都是一個(gè)伯努利試驗(yàn)，區(qū)別在于有放回抽樣時(shí)各次試驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，而不放回抽樣各次試驗(yàn)結(jié)果不獨(dú)立.

摸球方式X的分布E(X)D(X)有放回摸球二項(xiàng)分布 B(n,p)npnp(1-p)不放回摸球超幾何分布h(N,M,n)npnp(1-p)N-nN-1

(1)對(duì)應(yīng)同一個(gè)摸球模型，兩個(gè)分布的均值相同，但超幾何分布的方差較小，反映超幾何分布概率更集中于均值附近.

樣本容量有放回抽樣P|Xn-0.4|≤0.1()不放回抽樣P|Xn-0.4|≤0.1()n=200.74690.7988n=400.85470.9399n=600.91420.9936n=800.94841

可以發(fā)現(xiàn)：用樣本中紅球的比例估計(jì)總體中紅球的比例，在相同的樣本容量誤差限定下，不放回抽樣估計(jì)的可信度要高；同時(shí)，兩種抽樣方式，樣本容量越大估計(jì)的可信度越高.

4.5 由誤差模型構(gòu)建正態(tài)分布模型

正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.一方面，正態(tài)分布是自然界最常見(jiàn)的一種分布，例如，測(cè)量誤差，射擊時(shí)彈落點(diǎn)的分布，人的生理特征的尺寸(身高、體重等)，自動(dòng)流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)(如零件的尺寸、袋裝食品的質(zhì)量)等，都近似服從正態(tài)分布.一般地，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的因素很多，而每個(gè)單一因素影響又非常微小時(shí)，則這個(gè)指標(biāo)近似服從正態(tài)分布.另一方面，正態(tài)分布有許多優(yōu)良性質(zhì)，許多分布可用正態(tài)分布來(lái)近似，統(tǒng)計(jì)中的一些重要分布可以通過(guò)正態(tài)分布來(lái)導(dǎo)出.因此在理論研究中，正態(tài)分布十分重要.

4.5.1 如何刻畫連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

現(xiàn)實(shí)世界中多數(shù)隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.我們知道，一維幾何概型是一個(gè)連續(xù)型分布模型.考慮到學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，課程標(biāo)準(zhǔn)不再要求學(xué)生學(xué)習(xí)幾何概型，而且不要求對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量做一般研究，只要求通過(guò)誤差模型，借助于直方圖的直觀，了解服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，知道連續(xù)型隨機(jī)變量.

由于對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量不進(jìn)行嚴(yán)格定義，所以教學(xué)中通過(guò)典型隨機(jī)試驗(yàn)，直觀認(rèn)識(shí)連續(xù)型隨機(jī)變量的特征很有必要.這類變量的主要特征有：

(1)取值不能一一列舉；

(2)取值充滿某個(gè)區(qū)間(整個(gè)實(shí)軸)；

(3)取每個(gè)單點(diǎn)值的概率都為0；

(4)不能使用分布列來(lái)描述其概率分布規(guī)律，在實(shí)際應(yīng)用中，主要關(guān)注的是變量的取值落在任意區(qū)間內(nèi)的概率.

4.5.2 如何建立正態(tài)分布模型

必修課程中，我們用頻率分布表整理數(shù)據(jù)，用頻率直方圖直觀描述連續(xù)數(shù)據(jù)的分布，這給構(gòu)建連續(xù)分布模型提供了重要的思路.人教A版建立正態(tài)分布模型的過(guò)程如下：

(1)對(duì)誤差隨機(jī)變量X進(jìn)行觀測(cè)，獲得誤差樣本數(shù)據(jù)；

(2)借助直方圖的直觀，描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律；

(3)根據(jù)頻率與概率的關(guān)系進(jìn)行直觀想象，得到一條鐘形曲線；

(4)對(duì)這條曲線的特征作出描述：在x軸上方，具有對(duì)稱性且曲線與x軸圍成的面積為1.

上述過(guò)程可以用圖4表示.由此就可用任意區(qū)間[a,b]上對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積表示概率P(a≤X≤b)，只要給出曲線對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式(密度函數(shù))，就完成模型的構(gòu)建過(guò)程.這是由經(jīng)驗(yàn)分布模型過(guò)渡到理論模型的數(shù)學(xué)建模過(guò)程.

圖4

接著考察密度曲線的特征，參數(shù)對(duì)密度曲線的影響及意義，通過(guò)正態(tài)分布的3σ原則，加深對(duì)正態(tài)分布的認(rèn)識(shí).

必須注意的是：

(1)由于中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的限制，正態(tài)分布的許多結(jié)論無(wú)法嚴(yán)格證明或直接計(jì)算.例如，密度曲線與x軸圍成的面積為1，概率P(a≤X≤b)的計(jì)算，3σ原則的證明，連續(xù)型隨機(jī)變量的均值和方差的嚴(yán)格定義等.教學(xué)中可以借助數(shù)學(xué)軟件加以彌補(bǔ).

(2)就像各種基本初等函數(shù)一樣，正態(tài)分布也是一個(gè)理論模型，現(xiàn)實(shí)中的一些變量一般只是近似服從正態(tài)分布.對(duì)于有的隨機(jī)變量，可以通過(guò)觀測(cè)獲得樣本數(shù)據(jù)，根據(jù)直方圖的形狀大致判斷是否服從正態(tài)分布.例如，人教A版統(tǒng)計(jì)必修中給出的100戶城市居民家庭月用水量數(shù)據(jù)，其直方圖明顯不符合正態(tài)分布；又如，我們經(jīng)常假設(shè)學(xué)生的考試成績(jī)服從正態(tài)分布，這需要試卷試題數(shù)目、難度系數(shù)的分布、各題的區(qū)分度等都符合一定要求的條件下，這個(gè)假定才合理.

下面舉一個(gè)不服從正態(tài)分布的連續(xù)型隨機(jī)變量的例子.

例在近似計(jì)算中，需要按規(guī)定的精度對(duì)實(shí)數(shù)進(jìn)行四舍五入，如果對(duì)任意取得的一個(gè)實(shí)數(shù)四舍五入保留整數(shù)，那么舍入誤差X是連續(xù)型隨機(jī)變量.請(qǐng)問(wèn)，X服從怎樣的分布？

對(duì)任意得到的n個(gè)實(shí)數(shù)，四舍五入保留到整數(shù)，誤差的取值范圍為[-0.5,0.5]，直方圖如圖5所示：

圖5

觀察直方圖，可以發(fā)現(xiàn)，隨著樣本容量的增大，X的取值落在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)的頻率(小矩形的面積)都在0.1附近波動(dòng).所以推測(cè)X取值于任何長(zhǎng)度為0.1的區(qū)間內(nèi)的概率為0.1，稱X服從區(qū)間上[-0.5,0.5]的均勻分布.可以用密度函數(shù)

描述X的概率分布.如圖6所示，我們有

圖6

5 在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中滲透隨機(jī)思想

概率研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，為人們從不確定性的角度認(rèn)識(shí)客觀世界提供重要的思維模式和解決問(wèn)題的方法.所以概率教學(xué)應(yīng)以理論聯(lián)系實(shí)際為導(dǎo)向，利用概率知識(shí)解釋客觀事實(shí)，解釋某些規(guī)則的合理性，進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)決策，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中領(lǐng)悟隨機(jī)思想，提高數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng).下面舉例說(shuō)明概率的實(shí)際應(yīng)用.

例1為了比較甲、乙兩種新藥哪種更有效，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)方案如下：每一輪選擇兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，隨機(jī)選取一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)，當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈，則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈，則甲藥得-1分，乙藥得1分；若都治愈或都未治愈，則兩種藥都得0分.

設(shè)甲、乙兩藥的治愈率分別為0.5和0.8，若甲藥和乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4分，pi表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥更有效的概率”, 求p4并根據(jù)p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

從直觀分析，甲藥的治愈率明顯低于乙藥，但經(jīng)過(guò)多輪試驗(yàn)，事件A=“甲藥比乙藥多治愈4個(gè)”是有可能發(fā)生的，如果A的概率很小，說(shuō)明試驗(yàn)方案合理，如果事件A的概率較大，則說(shuō)明試驗(yàn)方案不合理.概率決策不可能做到百分之百正確，只要發(fā)生錯(cuò)誤的概率可控制在一個(gè)較小的范圍內(nèi)就是合理的.

容易計(jì)算，每輪試驗(yàn)甲藥得分X的分布列為

X-101P0.40.50.1

.

由全概率公式得

pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，

i=1，2，…，7，p0=0,p8=1.

例2設(shè)某種疾病的自然痊愈率為20%.在有關(guān)部門批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把一種新藥給患有這種疾病的10位病人服用，試驗(yàn)方案為：若這10個(gè)病人中至少有6個(gè)治愈了，則認(rèn)為這種藥有效，提高了治愈率；否則認(rèn)為這種藥無(wú)效.

如果新藥的確有效，把治愈率提高到了80%，求通過(guò)試驗(yàn)卻認(rèn)定該藥無(wú)效的概率p，并根據(jù)p值的大小解釋試驗(yàn)方案是否合理．

將10人服用新藥視為10重伯努利試驗(yàn).在每次試驗(yàn)中，每位病人痊愈的概率為0.8，且每個(gè)人是否痊愈是相互獨(dú)立的.設(shè)X表示這10個(gè)人中痊愈的人數(shù)，則X～B(10,0.8).設(shè)事件B=“經(jīng)過(guò)試驗(yàn)該藥被認(rèn)定無(wú)效”，事件B發(fā)生等價(jià)于{X≤4}.

≈0.0064.

由題意，新藥有效.當(dāng)痊愈的人數(shù)不超過(guò)4人時(shí)，認(rèn)定新藥無(wú)效，此時(shí)做出了錯(cuò)誤的判斷.因?yàn)楦怕蕄很小，所以試驗(yàn)方案合理.

思考：在問(wèn)題2中，如果給100位病人服用，結(jié)果至少有40人痊愈了，這種新藥是否有效？

假設(shè)新藥無(wú)效，由于該疾病的自愈率只有20%，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，100人大約有20人左右痊愈.現(xiàn)在至少有40人痊愈了，因此直觀判斷新藥是有效的.

對(duì)這個(gè)問(wèn)題，應(yīng)該如何進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述呢？

設(shè)100個(gè)人服藥后治愈的人數(shù)為X，假設(shè)新藥無(wú)效，則X～B(100,0.2).那么100個(gè)人至少有40人痊愈的概率為

≈3.61×10-6.

依據(jù)小概率原理，這么小概率的事件認(rèn)為是不會(huì)發(fā)生的，一旦發(fā)生了，則認(rèn)定假設(shè)“新藥無(wú)效”是一個(gè)錯(cuò)誤的判斷，所以認(rèn)為新藥有效.

6 教學(xué)建議

6.1 通過(guò)典型實(shí)例幫助學(xué)生理解概念, 培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

在本單元中，條件概率、隨機(jī)變量、隨機(jī)變量的均值和方差等都是不容易理解的概念，教學(xué)中要通過(guò)典型的、豐富的、學(xué)生熟悉的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體實(shí)例的分析到共性特征的歸納再到本質(zhì)特征的抽象的完整過(guò)程，使抽象概念建立在具體背景的基礎(chǔ)上.

(1)對(duì)于條件概率的概念，可以按如下步驟展開(kāi)教學(xué)：

先選擇從2×2分類的總體中抽樣的問(wèn)題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到附加事件A發(fā)生的條件下，試驗(yàn)的樣本空間縮小了，即事件A發(fā)生的條件下，事件B的條件概率本質(zhì)上是在縮小的樣本空間A上求事件B發(fā)生的概率；

再引導(dǎo)學(xué)生考慮一般的古典概型，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)條件概率的意義；

最后從特殊到一般，歸納出條件概率的定義.

從這個(gè)抽象過(guò)程中，可歸納出求條件概率的兩種方法.

對(duì)隨機(jī)事件的獨(dú)立性與條件概率之間的關(guān)系，也要采用先直觀描述再進(jìn)行數(shù)學(xué)推理的方法.

(2)引入隨機(jī)變量概念，將隨機(jī)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)數(shù)量化，建立樣本空間到實(shí)數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的進(jìn)一步抽象，為利用豐富的數(shù)學(xué)工具全面、系統(tǒng)地研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性提供了新方法．對(duì)離散型隨機(jī)變量概念的教學(xué)，應(yīng)結(jié)合典型的隨機(jī)試驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生建立樣本空間，根據(jù)需要建立樣本點(diǎn)到實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，在共性分析的基礎(chǔ)上歸納概括出隨機(jī)變量的定義．同時(shí)，要讓學(xué)生通過(guò)用隨機(jī)變量的關(guān)系式表示隨機(jī)事件，用分布列描述變量的概率取值規(guī)律，充分理解基于隨機(jī)變量及其分布解決實(shí)際問(wèn)題的一般方法．

(3)隨機(jī)變量的均值與方差都是度量性概念，度量性概念一般因比較而產(chǎn)生.教學(xué)中可選擇有關(guān)比較的問(wèn)題情境，例如為比較兩名運(yùn)動(dòng)員的射箭水平，從n次射箭命中環(huán)數(shù)的均值出發(fā)，根據(jù)頻率穩(wěn)定到概率的原理，引入隨機(jī)變量均值的概念．

總之，對(duì)于隨機(jī)變量這樣抽象程度高的概念，多舉例子，通過(guò)例子幫助學(xué)生理解，這是基本的教學(xué)策略.

6.2 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象隨機(jī)試驗(yàn)的特征、推導(dǎo)分布列的過(guò)程

在二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布的教學(xué)中，要通過(guò)設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納概括隨機(jī)試驗(yàn)的特征、推導(dǎo)分布列的過(guò)程，從而理解每一種分布的本質(zhì)特征，這對(duì)學(xué)生在面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)能否正確選擇概率模型起著關(guān)鍵作用.

(1)二項(xiàng)分布的教學(xué)

可以通過(guò)不同背景的隨機(jī)試驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生思考：

問(wèn)題中的伯努利試驗(yàn)是什么？

定義“成功”的事件為A，那么A的概率是多大？

重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)是多少？各次試驗(yàn)的結(jié)果是否獨(dú)立？關(guān)注的隨機(jī)變量是什么？

對(duì)于分布列的推導(dǎo)，可以借助樹(shù)狀圖，利用事件的關(guān)系與運(yùn)算、概率的加法公式、獨(dú)立事件的乘法公式、排列組合等知識(shí)，由特殊到一般的方式展開(kāi).

(2)超幾何分布的教學(xué)

要借助有放回抽樣和不放回抽樣的對(duì)比，重點(diǎn)是判斷各次試驗(yàn)結(jié)果是否獨(dú)立.可以讓學(xué)生思考：

建立二項(xiàng)分布和超幾何分布模型的過(guò)程與建立古典概率模型的過(guò)程有什么不同之處？

實(shí)際上，古典概率模型是根據(jù)試驗(yàn)的特征，用定義的方式規(guī)定了事件的概率計(jì)算公式；二項(xiàng)分布是根據(jù)試驗(yàn)的特征，利用概率的加法公式與乘法公式推導(dǎo)出分布列，而超幾何分布是一個(gè)特殊的古典概型.

(3)正態(tài)分布的教學(xué)

從描述誤差數(shù)據(jù)的分布引入，首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)誤差隨機(jī)變量的取值不能一一列舉，不能用分布列描述其概率分布，從而使他們認(rèn)識(shí)到尋找新的工具來(lái)刻畫變量的概率分布的必要性.在問(wèn)題的引導(dǎo)下，從頻率分布直方圖，過(guò)渡到分布密度曲線，根據(jù)密度曲線的特征，建立用分布密度函數(shù)刻畫概率分布的正態(tài)分布，在此過(guò)程中使學(xué)生體會(huì)由經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ徒⒗碚撃Ｐ偷乃枷敕椒?

6.3 在一般觀念指導(dǎo)下研究相關(guān)性質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象和推理能力

本單元內(nèi)容基于隨機(jī)變量描述隨機(jī)現(xiàn)象，側(cè)重概念、模型.在對(duì)相關(guān)性質(zhì)的教學(xué)中，要注意一般觀念的指導(dǎo)作用，運(yùn)用類比、從特殊到一般、直觀想象加計(jì)算驗(yàn)證等方法，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.例如：

(1)對(duì)于條件概率的性質(zhì)，根據(jù) 條件概率是縮小樣本空間上的概率的意義，可得其具有和概率相同的性質(zhì)——非負(fù)性、規(guī)范性、可加性等，再由條件概率的定義進(jìn)行驗(yàn)證．

(3)對(duì)于隨機(jī)變量均值和方差的性質(zhì)，可以先根據(jù)數(shù)字特征的意義以及隨機(jī)變量的實(shí)際意義猜想結(jié)果，再計(jì)算驗(yàn)證.可以引導(dǎo)學(xué)生類比函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)、最值、對(duì)稱)，觀察二項(xiàng)分布的各種不同的概率分布圖，猜想二項(xiàng)分布有哪些性質(zhì)，再進(jìn)行證明.

6.4 加強(qiáng)與信息技術(shù)的融合，加深對(duì)概率分布的理解

二項(xiàng)分布、超幾何分布、正態(tài)分布有關(guān)概率的計(jì)算、概率分布圖或正態(tài)密度曲線的繪制等都需要借助信息技術(shù)工具來(lái)完成.例如，利用電子表格或GeoGebra軟件計(jì)算二項(xiàng)分布和超幾何的分布列，了解二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系；通過(guò)隨機(jī)模擬試驗(yàn)，了解樣本均值(方差)與隨機(jī)變量的均值(方差)的關(guān)系；利用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)函數(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，繪制頻率分布直方圖，了解正態(tài)分布的特征；利用GeoGebra軟件計(jì)算正態(tài)分布相關(guān)概率等等.(續(xù)完)