應(yīng)佳成

(杭州市富陽區(qū)教育發(fā)展研究中心 311400)

幾何基礎(chǔ)知識(shí)是平面幾何學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是第一次從數(shù)學(xué)內(nèi)部研究幾何圖形，也是第一次學(xué)習(xí)如何對(duì)幾何定理進(jìn)行嚴(yán)格證明，是發(fā)展學(xué)生抽象、推理能力的重要內(nèi)容，將對(duì)學(xué)生幾何研究的方式方法產(chǎn)生根本性的影響．

事實(shí)上，學(xué)生在小學(xué)階段已經(jīng)對(duì)基本圖形甚至對(duì)圖形與圖形間的關(guān)系有了一定的了解，但能力要求僅限于直觀感知，對(duì)于相同的研究對(duì)象，中學(xué)階段要如何展開研究呢？分析義務(wù)教育階段課標(biāo)不難發(fā)現(xiàn)，初中階段幾何基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)的任務(wù)是經(jīng)歷“體、面、線、點(diǎn)”等概念的抽象過程，掌握幾何圖形的基本研究方式，積累研究經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)抽象能力、推理能力等素養(yǎng)[1]．對(duì)于這些基本能力的培養(yǎng)，筆者認(rèn)為需要基于整體視角，為幾何教學(xué)打好基礎(chǔ)，需要解決好四個(gè)根本問題：教好幾何基本事實(shí)、構(gòu)建幾何研究框架、滲透幾何圖形與代數(shù)表達(dá)相互表征的意識(shí)與基本方法、架構(gòu)幾何學(xué)習(xí)的具有一般性的研究邏輯，培育好幾何學(xué)習(xí)的萌芽，讓學(xué)生持續(xù)的學(xué)習(xí)能力得到發(fā)展．

1 教好基本事實(shí)，發(fā)展抽象能力

在幾何基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)階段，集中涉及到幾何內(nèi)容的大部分基本事實(shí)，我們知道，初中階段的幾何學(xué)習(xí)是以基本事實(shí)為前提，在借助幾何直觀理解幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，從幾何基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)圖形的性質(zhì)和定理，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀、邏輯推理、理性思維和分析解決問題的能力．但是一線教學(xué)中，基本事實(shí)的教學(xué)并沒有得到應(yīng)有的重視，如何教好基本事實(shí)是本文闡述的第一個(gè)問題．

1.1 驗(yàn)證基本事實(shí)成立

比如初中階段的第一個(gè)基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”，作為幾何學(xué)習(xí)階段第一條基本事實(shí)，它的驗(yàn)證方式對(duì)今后的幾何教學(xué)起到方向性的作用，首先需要解決的是該如何驗(yàn)證這條基本事實(shí)的正確性，在實(shí)際教學(xué)中老師們往往采取兩種方式，一種是直觀感知，但是這樣的驗(yàn)證方式與小學(xué)并無差異，另一種是“敲釘子釘木條”等實(shí)際驗(yàn)證的方式，這樣的方式不但有“應(yīng)用基本事實(shí)”之嫌，更是沒有脫離實(shí)際背景，沒有抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部．該如何用數(shù)學(xué)的方法呢？可以采取“畫一畫”等方法，引導(dǎo)學(xué)生思考“要確定一條直線，最少需要幾個(gè)點(diǎn)？經(jīng)過一個(gè)點(diǎn)能否確定一條直線？”，顯然過一個(gè)點(diǎn)無法確定直線的方向，可以做出無數(shù)條直線，直線的確定受方向的控制．因此考慮通過增加點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定直線，可以發(fā)現(xiàn)增加一個(gè)點(diǎn)就能夠做出唯一的直線，并且無需繼續(xù)增加點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在這一探究過程中，發(fā)現(xiàn)增加的點(diǎn)的作用是關(guān)鍵．

1.2 挖掘基本事實(shí)內(nèi)涵

其次，要重視對(duì)基本事實(shí)內(nèi)涵的挖掘，比如“兩點(diǎn)確定一條直線”，內(nèi)部蘊(yùn)含的“方向”：在確定一條直線的過程中，兩個(gè)點(diǎn)各有作用，如果將一個(gè)點(diǎn)視作確定位置，那么另一個(gè)點(diǎn)的作用就是確定方向，這其中不但可以得出“點(diǎn)(位置)+方向兩個(gè)要素可以確定直線段”這一重要結(jié)論，更能說明作為直線的部分，射線和線段也有方向，直線和線段都有兩個(gè)方向，但是射線僅有一個(gè)方向．

“兩點(diǎn)確定一條直線”內(nèi)還蘊(yùn)含著“差異” ：點(diǎn)是位置的抽象化，由于位置存在差異，不同的點(diǎn)表示不同的位置，因此，連接兩點(diǎn)的直線刻畫了位置差異．在幾何基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)初始階段，對(duì)位置、位置差異、差異大小的刻畫是自然而然的需要，正是差異決定了方向．基于認(rèn)知的角度看教學(xué)，理解差異的存在不困難，如何在差異和方向之間建立聯(lián)系是關(guān)鍵，這需要設(shè)計(jì)具體的、可操作的情境引發(fā)認(rèn)知沖突，幫助學(xué)生體驗(yàn)方向的存在，理解方向?qū)坍嫴町惖年P(guān)鍵意義．

2 構(gòu)建研究框架，發(fā)展推理能力

從整體視角看，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，每當(dāng)接觸一個(gè)新的研究對(duì)象，都要為其構(gòu)建起研究框架，在這樣的研究框架的指導(dǎo)下展開學(xué)習(xí)，幾何學(xué)習(xí)作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四大領(lǐng)域之一，幾何基礎(chǔ)知識(shí)是第一次真正意義上對(duì)幾何對(duì)象展開系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，作為第一次從數(shù)學(xué)內(nèi)部展開研究的幾何知識(shí)，學(xué)習(xí)方式的培養(yǎng)、學(xué)習(xí)思路的構(gòu)建、整體視角的形成至關(guān)重要，也要為學(xué)生構(gòu)建出幾何學(xué)習(xí)方式，這是本文闡述的第二個(gè)根本問題．

基本事實(shí)是幾何研究的根基，基于基本事實(shí)、結(jié)合幾何直觀構(gòu)建研究框架是幾何教學(xué)中需要解決好的問題．“線”是中學(xué)里第一個(gè)系統(tǒng)研究的基本圖形，在線的學(xué)習(xí)中，教師需要關(guān)注對(duì)學(xué)生能力的要求有別于小學(xué)的直觀感知，需要學(xué)習(xí)和使用符號(hào)表示線，理解“一條直線a上的兩點(diǎn)A和B，這一對(duì)點(diǎn)A和B所成的點(diǎn)組叫做線段”[4]，理解作為數(shù)學(xué)的幾何學(xué)研究的是更高的抽象，直線是進(jìn)一步抽象的結(jié)果，射線和線段是直線上的部分，直線與射線、線段間是整體與部分的關(guān)系，確定出線的最優(yōu)學(xué)習(xí)邏輯是：直線——射線——線段，讓學(xué)生感受初中幾何是基于知識(shí)邏輯的學(xué)習(xí)．

在構(gòu)建出概念之后，作為數(shù)學(xué)對(duì)象，自然構(gòu)建出“概念(定義、表示、分類)——性質(zhì)(大小)——運(yùn)算——特例”的學(xué)習(xí)框架，并在此基礎(chǔ)上用好類比、遷移等方式，構(gòu)建出“角”的學(xué)習(xí)路徑，理解“角”的學(xué)習(xí)邏輯與“線”的學(xué)習(xí)邏輯保持高度一致，在教學(xué)中幫助學(xué)生體會(huì)到這種一致性，使學(xué)生對(duì)單元內(nèi)容有整體把握，而非碎片化、散點(diǎn)式的學(xué)習(xí)．

將視角再提升一個(gè)維度，從知識(shí)領(lǐng)域看，在幾何學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)有了代數(shù)研究的基礎(chǔ)，形成了代數(shù)研究邏輯：“概念(定義、表示、分類)——性質(zhì)(大小)——運(yùn)算——特殊”，容易發(fā)現(xiàn)，幾何基礎(chǔ)知識(shí)的研究邏輯與代數(shù)的研究邏輯具有高度一致性，這樣的認(rèn)識(shí)有助于學(xué)生跨越知識(shí)領(lǐng)域形成數(shù)學(xué)整體觀念，形成研究問題的框架意識(shí)，這樣的整體觀一旦形成，對(duì)學(xué)生思維方式將產(chǎn)生積極深遠(yuǎn)的影響，會(huì)在其它問題的學(xué)習(xí)中想辦法去厘清內(nèi)容框架結(jié)構(gòu)，隨著解決問題的經(jīng)驗(yàn)不斷積累，對(duì)思維產(chǎn)生的影響會(huì)不斷疊加．

3 圖形與代數(shù)相互表征，發(fā)展模型意識(shí)

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢看，數(shù)學(xué)的研究越來越重視數(shù)形結(jié)合，教學(xué)中越來越傾向于用代數(shù)的方法研究幾何問題．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》也顯示了這種傾向，并且秉承了這樣的理念：通過幾何建立直觀，通過代數(shù)予以表達(dá)．邏輯連貫地進(jìn)行幾何基礎(chǔ)教學(xué)，重視將能力培養(yǎng)落實(shí)到課堂教學(xué)中，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)能力的根本途徑，也是幾何基礎(chǔ)教學(xué)中需要精心呵護(hù)的思維萌芽，是需要處理好的第三個(gè)根本問題．

3.1 度量是幾何圖形與代數(shù)表達(dá)的根本

前文提到，兩點(diǎn)之間存在差異，這樣的差異如何表示？疊合的方法只能比較出相對(duì)大小，這是度量的雛形，但是需要有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)能夠?qū)λ械木€段加以比較，這樣就自然而然產(chǎn)生了問題：如何數(shù)量化表示出差異的大?。畯膶W(xué)生認(rèn)知的角度看，利用刻度尺、量角器等工具“量出”線段的“長短”和角的“大小”是最直接的反應(yīng)，但是工具背后是對(duì)“度量”的理解，“以線量線”是對(duì)線段與線段進(jìn)行大小比較的基本原理，“以角量角”是對(duì)角與角進(jìn)行大小比較的基本原理．在實(shí)際教學(xué)中，“疊合”是體驗(yàn)這一基本原理的關(guān)鍵內(nèi)容，用疊合的方法可以比較大小、可以“復(fù)制”一個(gè)基本圖形，這是體驗(yàn)“度量”的意義的關(guān)鍵環(huán)節(jié)．有了統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，所有的線段和角也就有了“大小”．線段的長度和角的度數(shù)都是將差異大小數(shù)量化的結(jié)果，數(shù)量化為運(yùn)算提供了基礎(chǔ)，使得線段能夠像數(shù)一樣進(jìn)行加減運(yùn)算．將來向量可以像實(shí)數(shù)一樣運(yùn)算，表明代數(shù)化的過程對(duì)幾何研究起到質(zhì)的推動(dòng)作用，而幾何基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)恰恰是培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想的萌芽階段，需要好好把握．

3.2 數(shù)量運(yùn)算是圖形運(yùn)算的實(shí)質(zhì)

線段的長短和角的大小都與數(shù)的大小關(guān)系類似，是對(duì)圖形的定量刻畫，而“大小”與代數(shù)關(guān)系又密不可分．在實(shí)際教學(xué)中，在用好幾何直觀的同時(shí)，更要注意對(duì)圖形中蘊(yùn)含的代數(shù)關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和表達(dá)，從具象的圖形到抽象的代數(shù)關(guān)系，代數(shù)化處理幾何基礎(chǔ)知識(shí)有助于從數(shù)學(xué)整體的視角認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)幾何圖形關(guān)系甚至是邏輯關(guān)系的理解，如果說數(shù)形結(jié)合的思維萌芽產(chǎn)生在代數(shù)(數(shù)軸學(xué)習(xí))階段，那么幾何基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)就是加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合理解水平的最佳素材．

來看線段和差的幾何表征與代數(shù)表征：如果將線段a和線段b視為一維圖形，線段之和仍舊是線段，其代數(shù)表征表示為兩數(shù)之和a+b，在一維線段和差與兩數(shù)和差之間建立起聯(lián)系．如圖1：

圖1

圖2

圖3

事實(shí)上在后續(xù)學(xué)習(xí)中，經(jīng)常還需要將代數(shù)公式進(jìn)行幾何表征，比如整式乘法與二維面積之間相互表征，仍舊可以在圖形和數(shù)量之間建立關(guān)聯(lián)，對(duì)于(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd這樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)可以基于線段和的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，逐步向面積過度：線段AB表示線段a與b的和，其長度記為a+b；線段AD表示線段c與d的和，其長度記為c+d；矩形ABCD的面積可以記為(a+b)(c+d)，巧妙實(shí)現(xiàn)圖形與代數(shù)式的相互表征，如圖4：

圖4

初三階段將要學(xué)習(xí)的比例線段等內(nèi)容蘊(yùn)含著線段的乘除、乘方、開方等關(guān)系，這都是從整體上理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵．代數(shù)關(guān)系對(duì)圖形結(jié)構(gòu)所進(jìn)行的定量刻畫在解題過程中有時(shí)能夠起到四兩撥千斤的作用，這樣的數(shù)形結(jié)合思維的培養(yǎng)需要滲透于幾何基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中．反之，有了這樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，將來對(duì)于一些復(fù)雜的代數(shù)式也可以用簡潔的幾何圖示表達(dá)，變抽象為具體，盡管能用幾何圖形解釋的代數(shù)問題相當(dāng)有限，但是這樣的思考方式非常有助于提升直觀理解水平．

需要說明的是，幾何問題代數(shù)表達(dá)的根基在于數(shù)軸，在完成“線”的學(xué)習(xí)后，有必要反觀曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)軸，其本質(zhì)就是一條存在方向的直線，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間可以形成方向相反、長度相同的有向線段.任意兩點(diǎn)之間也可形成有向線段，作為代數(shù)系統(tǒng)中引入的直線，其幾何特征以另外的形式呈現(xiàn)：用絕對(duì)值表示數(shù)軸上點(diǎn)與原點(diǎn)的距離、用正負(fù)號(hào)表示方向，其本質(zhì)并沒有發(fā)生改變，盡管數(shù)軸學(xué)習(xí)在代數(shù)部分已經(jīng)完成，但是在幾何初步知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中非常有必要重新審視，在此處加深體會(huì)．

4 邏輯連貫的研究，發(fā)展學(xué)習(xí)能力

幾何教學(xué)的根本任務(wù)是培養(yǎng)邏輯推理能力，在對(duì)幾何基礎(chǔ)知識(shí)深刻理解的基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步有邏輯地研究相交線和平行線，兩直線相交能形成角，但是歐氏幾何中平行線間沒有交點(diǎn)，這就需要引入一條與平行線相交的直線形成角，使得角的思考邏輯在線與線的關(guān)系的研究中得以繼承，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體性和邏輯的連貫性，這是幾何基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)中需要著力解決好的第四個(gè)根本問題.

4.1 分析基本圖形確定研究對(duì)象

首先，教師需要幾何直觀讓學(xué)生知道，變化過程中的不變性是幾何圖形的性質(zhì)，而相交線與平行線的性質(zhì)都需要借助“角”刻畫：“相交”自然形成的角，就是相交線的研究對(duì)象．由于兩條直線平行沒有公共點(diǎn)，無法用角去表現(xiàn)兩條平行線的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生自然聯(lián)想引入第三條截線與兩條平行線相交形成角，有了角，平行線的性質(zhì)就可以借助角之間的關(guān)系來表現(xiàn)，由此確定“三線八角”是平行線的研究對(duì)象．無論是相交線還是平行線，用“角”研究“線與線的關(guān)系”根本上是轉(zhuǎn)化化歸思想的體現(xiàn)．

4.2 邏輯連貫地探究幾何對(duì)象的性質(zhì)

相交線的性質(zhì)表現(xiàn)在兩條直線相交所形成的四個(gè)角的位置關(guān)系和大小關(guān)系：將一條射線從一個(gè)位置繞端點(diǎn)轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置存在方向的差異，反之方向也相反，因此順時(shí)針或者逆時(shí)針將一條射線旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置的差異是用角來刻畫的．

那么如何在“方向”的視角下研究平行線的性質(zhì)呢？結(jié)合幾何直觀，基于兩個(gè)前提，其一，需要充分用好“兩直線相交”的上位知識(shí)，當(dāng)任意兩條直線a和b被第三條直線c所截時(shí)，會(huì)形成三線八角，相交線的性質(zhì)在交點(diǎn)所形成的角之間得以體現(xiàn)；其二，需要用運(yùn)動(dòng)的視角來看直線a和b，兩條繞著交點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的直線a和b存在平行的一瞬間(如圖5和6)，這時(shí)兩直線方向相同，即它們的方向差為零，而截線c的方向是唯一確定的，因而將直線a和直線b沿著相同的方向旋轉(zhuǎn)相同的度數(shù)一定能夠與截線c重合，說明兩直線平行，所形成的同位角相等．再輔之以相交線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可以一氣呵成順利得出．值得一提的是基于以上思路可以繼續(xù)用方向差判斷兩直線平行，理性且邏輯清晰．

圖5

圖6

通過以上分析不難發(fā)現(xiàn)，兩直線相交或平行的位置關(guān)系都是通過角的數(shù)量關(guān)系來刻畫的．而利用角的關(guān)系刻畫線的關(guān)系的過程中，一以貫之地使用“方向”這一思考邏輯，使得研究過程在數(shù)學(xué)思想方法的統(tǒng)領(lǐng)下，讓幾何學(xué)習(xí)有邏輯可以遵循，研究方法有了靈魂．

在幾何基礎(chǔ)的學(xué)習(xí)過程中，以方向?yàn)閮?nèi)部邏輯去認(rèn)識(shí)研究對(duì)象，對(duì)提升學(xué)生的幾何研究能力和理解水平具有奠基作用，如果這一關(guān)鍵基礎(chǔ)不扎實(shí)將來僅憑大量解題無法代償．

從整體的視角看，平面幾何的研究主要是源于歐氏幾何，事實(shí)上在今后的幾何圖形的研究都是建立在該公理體系之下的，這是更為宏觀的視角的邏輯連貫．

5 總結(jié)

平面幾何內(nèi)容在培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、抽象能力、推理能力中有不可替代的作用，教學(xué)既要立足基礎(chǔ)，也要面向?qū)?，為學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展謀利益，因此，教師要提高教學(xué)觀點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本思想、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展理性思維、提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，在思維方式、邏輯能力、空間觀念的培養(yǎng)等方面為學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展做出努力．

有研究結(jié)論表明：教師對(duì)于學(xué)生在幾何的學(xué)業(yè)成就的影響大于代數(shù)，分析這個(gè)差異的原因可能與代數(shù)、幾何這兩個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域思維方式的差異有關(guān)，即不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可能受到教師水平差異的影響程度不同，相對(duì)程序化的代數(shù)學(xué)習(xí)受到不同教師水平差異的影響相對(duì)較小[9]．這對(duì)數(shù)學(xué)教師的職業(yè)素養(yǎng)提出了更高的要求．