程?？?章建躍

(1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 050024；2.人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

必修課程安排了樣本數(shù)據(jù)的直觀表示方法、樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征(集中趨勢(shì)參數(shù)、離散程度參數(shù))的刻畫方法，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征估計(jì)總體的相應(yīng)特征.這些方法屬于單變量統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，其核心思想是用樣本估計(jì)總體.接下來(lái)以樣本估計(jì)總體為核心思想，結(jié)合典型實(shí)例，利用成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性研究?jī)蓚€(gè)變量之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，采用的方法是先直觀描述后定量刻畫，重點(diǎn)研究變量間的線性相關(guān)關(guān)系.例如，先借助成對(duì)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，直觀觀察相關(guān)關(guān)系的類型、方向和強(qiáng)弱；再構(gòu)造相關(guān)系數(shù)定量刻畫線性相關(guān)關(guān)系的密切程度；最后建立一元線性回歸模型，進(jìn)行預(yù)測(cè).為了回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問(wèn)題，我們先將它抽象為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性問(wèn)題，利用2×2列聯(lián)表表示數(shù)據(jù)，采用假設(shè)檢驗(yàn)的方法進(jìn)行推斷.這些問(wèn)題涵蓋了估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩種基本推斷方法，并蘊(yùn)含著豐富的統(tǒng)計(jì)思想和方法.例如，刻畫數(shù)據(jù)特征的方法、最小二乘思想、小概率原理、頻率估計(jì)概率、假設(shè)檢驗(yàn)基本原理等.本單元可以引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，了解統(tǒng)計(jì)分析的一般方法，提高數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，運(yùn)用這些方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)了如下幾點(diǎn)：

第一，理解兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過(guò)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；

第二，理解利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機(jī)關(guān)系，進(jìn)行預(yù)測(cè)；

第三，理解利用2×2列聯(lián)表可以檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性.

另外，課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)要通過(guò)具體案例，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)據(jù)分析的全過(guò)程，并使用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)軟件，這是與統(tǒng)計(jì)課程的特點(diǎn)緊密相關(guān)的，需要廣大一線教師給予特別關(guān)注.

2 課程標(biāo)準(zhǔn)提出的內(nèi)容與要求

1.成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

(1)結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.

(2)結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.

2.一元線性回歸模型

(1)結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件.

(2)針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

3.2×2列聯(lián)表

(1)通過(guò)實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.

(2)通過(guò)實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用.

從上述內(nèi)容和要求的框架可以發(fā)現(xiàn)：

第一，本單元的內(nèi)容結(jié)構(gòu)是：

兩個(gè)數(shù)值變量用散點(diǎn)圖直觀是否具有統(tǒng)計(jì)相關(guān)性(定性)——用相關(guān)系數(shù)刻畫線性相關(guān)關(guān)系的密切程度(定量)——建立一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

兩個(gè)分類變量用2×2列聯(lián)表直觀判斷變量關(guān)聯(lián)性(定性)——構(gòu)建統(tǒng)計(jì)量χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)(定量)——對(duì)變量間的關(guān)聯(lián)性進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.

因此，先利用統(tǒng)計(jì)圖表作定性分析，再建立統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行定量分析，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，這是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的“基本之道”.

第二，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)例展開成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，說(shuō)明本單元的教材、教學(xué)不能搞“紙上談兵”，要讓學(xué)生沉浸在統(tǒng)計(jì)分析的活動(dòng)中，在親身實(shí)踐中掌握變量之間相關(guān)性、關(guān)聯(lián)性的統(tǒng)計(jì)分析方法，體驗(yàn)其中的統(tǒng)計(jì)思想.

第三，成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性與一元回歸模型緊密聯(lián)系，都是研究?jī)蓚€(gè)數(shù)值型變量間的相關(guān)關(guān)系.只有通過(guò)樣本系數(shù)判斷出兩個(gè)變量之間具有較強(qiáng)的線性關(guān)系時(shí)，建立一元回歸模型才有意義.

第四，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)相關(guān)統(tǒng)計(jì)軟件的使用提出專門要求，體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)課程的特點(diǎn).實(shí)際上，統(tǒng)計(jì)軟件的學(xué)習(xí)是統(tǒng)計(jì)課程的一部分.

3 本單元的認(rèn)知基礎(chǔ)分析

本單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)主要來(lái)自以下幾方面：

通過(guò)必修課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步建立樣本估計(jì)總體的思想，從而為學(xué)生理解用樣本相關(guān)系數(shù)推斷變量間的相關(guān)性、估計(jì)回歸系數(shù)奠定了認(rèn)知基礎(chǔ).利用兩個(gè)事件的獨(dú)立性定義兩個(gè)變量的獨(dú)立性，根據(jù)頻率穩(wěn)定到概率的事實(shí)，利用頻率推斷兩個(gè)事件是否獨(dú)立，可以降低理解的難度.

統(tǒng)計(jì)中刻畫數(shù)據(jù)特征(均值、方差)的一般方法，為構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)、用偏差平方和最小估計(jì)回歸系數(shù)、構(gòu)造獨(dú)立性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量等提供了可資借鑒的思想方法.

假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理是本單元的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，可以引導(dǎo)學(xué)生類比反證法來(lái)理解.

4 核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

下面從內(nèi)容本質(zhì)的分析入手討論這些內(nèi)容的育人價(jià)值以及教學(xué)中需要注意的問(wèn)題.

4.1 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

4.1.1 相關(guān)關(guān)系——變量間的不確定關(guān)系

兩個(gè)變量之間的數(shù)量關(guān)系有兩種不同的類型：一種是我們非常熟悉的函數(shù)關(guān)系，另一種是相關(guān)關(guān)系.變量間的相關(guān)關(guān)系可作如下直觀描述：當(dāng)一個(gè)變量取一定的數(shù)值時(shí)，與之對(duì)應(yīng)的另一個(gè)變量的值雖然不完全確定，但它按某種規(guī)律在一定的范圍內(nèi)變化.變量間的這種關(guān)系稱為不確定性的相關(guān)關(guān)系.嚴(yán)格的數(shù)學(xué)刻畫是：

設(shè)樣本空間Ω={ω}，將Ω上的兩個(gè)隨機(jī)變量(X(ω),Y(ω))稱為隨機(jī)向量.在概率論中，可以根據(jù)(X(ω),Y(ω))的分布判斷X和Y是否獨(dú)立，如果不獨(dú)立，就具有某種相關(guān)性.在實(shí)際中，我們常常利用成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi(ωi)，yi(ωi))，i=1，2，…，n推斷變量間的相關(guān)性.

之所以將X和Y之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系，是因?yàn)樽兞縓可能是影響變量Y的主要因素，但不是唯一因素，還有其他種種因素，而這些因素我們又不能完全把握.

研究函數(shù)關(guān)系，可以用數(shù)學(xué)分析的方法.例如，已知y和x之間具有線性關(guān)系，即y=a+bx，此時(shí)只要知道變量的兩組取值就可以確定函數(shù)表達(dá)式.研究相關(guān)關(guān)系則必須對(duì)變量進(jìn)行多次觀測(cè)，借助統(tǒng)計(jì)的相關(guān)思想和方法進(jìn)行解決.當(dāng)然，在解決的過(guò)程中，往往要利用函數(shù)的思想和方法，也就是用確定性的工具解決不確定性問(wèn)題.

4.1.2 散點(diǎn)圖—描述相關(guān)關(guān)系的直觀工具

由于相關(guān)關(guān)系的不確定性，尋找變量X和Y之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，首先要對(duì)變量進(jìn)行觀測(cè).設(shè)n次觀測(cè)值為(xi，yi)，i=1，2，…，n．在直角坐標(biāo)系中，橫軸代表變量X，縱軸代表變量Y，將觀測(cè)數(shù)據(jù)用坐標(biāo)點(diǎn)的形式描繪出來(lái)，得到的圖形稱為散點(diǎn)圖.散點(diǎn)圖是研究相關(guān)關(guān)系的直觀工具，可以定性判斷相關(guān)的類型、方向和相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱.

如果散點(diǎn)大致分布在一條直線附近，又不完全在一條直線上，說(shuō)明變量間具有線性相關(guān)關(guān)系；如果這些點(diǎn)大致分布在一條曲線附近，說(shuō)明變量間具有非線性相關(guān)關(guān)系；如果這些點(diǎn)的分布幾乎沒(méi)有什么規(guī)則，說(shuō)明兩個(gè)變量間沒(méi)有相關(guān)關(guān)系.對(duì)于線性相關(guān)，如果散點(diǎn)從左下角到右上角沿直線分布，那么兩個(gè)變量正相關(guān)；如果散點(diǎn)從左上角到右下角沿直線分布，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).散點(diǎn)在整體上和某一直線越接近，兩個(gè)變量間的線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng).

4.1.3 相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)系

對(duì)變量間的相關(guān)關(guān)系，在定性分析的基礎(chǔ)上，需要進(jìn)行定量分析.定量分析有相關(guān)分析和回歸分析兩種方法.相關(guān)分析是用一個(gè)指標(biāo)(稱為相關(guān)系數(shù))來(lái)反映變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度.回歸分析就是根據(jù)相關(guān)關(guān)系的具體形態(tài)，選擇一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，來(lái)近似表達(dá)變量間的平均變化關(guān)系.相關(guān)分析和回歸分析具有共同的研究對(duì)象，在具體應(yīng)用時(shí)，需要互相補(bǔ)充.作相關(guān)分析需要依靠回歸分析表明變量相關(guān)的具體形式，而進(jìn)行回歸分析需要通過(guò)相關(guān)分析表明變量間的相關(guān)程度，只有變量間存在高度相關(guān)時(shí)，由回歸分析得到的變量間的具體形式才有意義.

相關(guān)分析研究變量間的相關(guān)方向和相關(guān)程度，它不提供相互關(guān)系的具體形式，也無(wú)法從一個(gè)變量的變化來(lái)推測(cè)另一個(gè)變量的變化情況.相關(guān)分析不必確定哪個(gè)變量是自變量，哪個(gè)是因變量，所涉及的兩個(gè)變量可以都是隨機(jī)變量.回歸分析根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，確定一個(gè)數(shù)學(xué)方程式(回歸方程)，根據(jù)這個(gè)方程式可以由已知量推測(cè)未知量，為估算和預(yù)測(cè)提供一個(gè)重要方法.回歸分析必須事先確定具有相關(guān)關(guān)系的變量中哪個(gè)為自變量，哪個(gè)為因變量．一般地說(shuō)，自變量是普通變量(人為可以控制其取值)，因變量是隨機(jī)變量．

4.1.4 如何構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)

在定性刻畫的基礎(chǔ)上，需要構(gòu)造一個(gè)數(shù)值指標(biāo)(統(tǒng)計(jì)量)來(lái)刻畫成對(duì)數(shù)據(jù)相關(guān)性的強(qiáng)弱，進(jìn)而推斷兩個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，這是一個(gè)有一定難度的任務(wù)，可以借鑒必修中構(gòu)造一組數(shù)據(jù)的方差的方法.具體構(gòu)造過(guò)程中，可以從直觀出發(fā)，先構(gòu)造一個(gè)量，在研究其性質(zhì)的過(guò)程中進(jìn)行不斷修正，直到得到一個(gè)合適的統(tǒng)計(jì)量.

例如：假設(shè)圖1是依據(jù)對(duì)變量x和y進(jìn)行觀測(cè)得到的觀測(cè)值(xi，yi)，i=1，2，…，n所繪制的散點(diǎn)圖.

圖1

并畫散點(diǎn)圖(如圖2所示).可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大部分分布在第一象限和第三象限，平移后的成對(duì)數(shù)據(jù)多數(shù)為同號(hào)，所以散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之積多數(shù)為正.同理，如果變量x和y之間是線性負(fù)相關(guān)，那么平移后的成對(duì)數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖將大部分分布在第二象限和第四象限，平移后的成對(duì)數(shù)據(jù)多數(shù)為異號(hào)，所以散點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之積多數(shù)為負(fù).這樣，平移后的成對(duì)數(shù)據(jù)橫縱坐標(biāo)之積的和的正負(fù)可以反映兩個(gè)變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān).

圖2

為了消除樣本量n的影響，構(gòu)造

顯然，Lxy符號(hào)為正時(shí)正相關(guān)，Lxy符號(hào)為負(fù)時(shí)負(fù)相關(guān).

但是Lxy受數(shù)據(jù)量綱的影響，為了消除量綱的影響，可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化.用

為簡(jiǎn)單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對(duì)數(shù)據(jù)分別記為

得到

r是否能度量成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱呢？為此，我們進(jìn)一步研究一下r的幾何意義及相關(guān)性質(zhì).

幾何解釋：

第二分量構(gòu)成n維向量

則有

r=x′·y′=|x′||y′|cosθ=cosθ.

所以，r等于向量x′，y′夾角的余弦.

相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

(1)|r|≤1；

由此可以看到，相關(guān)系數(shù)刻畫了成對(duì)數(shù)據(jù)線性相關(guān)的密切程度.一般地，|r|越接近1，表明線性關(guān)系越密切(或越強(qiáng)).在回歸模型診斷中，通過(guò)平方和分解，構(gòu)造決定系數(shù)R2的過(guò)程中，可對(duì)r的意義有進(jìn)一步認(rèn)識(shí).

在統(tǒng)計(jì)中，我們用樣本相關(guān)系數(shù)估計(jì)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù).由于樣本具有隨機(jī)性，由兩個(gè)變量的不同樣本數(shù)據(jù)得到的相關(guān)系數(shù)一般也不同.當(dāng)樣本量n較小時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)波動(dòng)較大；但當(dāng)樣本量n較大時(shí)，樣本相關(guān)系數(shù)波動(dòng)幅度較小，呈現(xiàn)出穩(wěn)定性規(guī)律，此時(shí)用于推斷兩個(gè)變量間線性關(guān)系強(qiáng)弱具有較高的可信度.

需要注意的是：(1)相關(guān)系數(shù)只衡量變量間線性關(guān)系的密切程度，即使變量間具有確定的非線性函數(shù)關(guān)系，|r|也可能非常接近0.(2)當(dāng)n很小時(shí)，即使|r|非常接近1，也不表明變量間的線性關(guān)系強(qiáng).例如，無(wú)論x和y之間是何種關(guān)系，只要兩組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的連線與坐標(biāo)軸不平行，成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)|r|恒為1.

相關(guān)系數(shù)是變量間線性關(guān)系密切程度的度量，刻畫了兩組成對(duì)數(shù)據(jù)的相似性，在現(xiàn)實(shí)中有許多應(yīng)用.例如，在教育測(cè)量中，測(cè)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)有難度、區(qū)分度、信度和效度.利用這些指標(biāo)，可以對(duì)測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)的可靠性、有效性、測(cè)驗(yàn)?zāi)康倪_(dá)到的程度，以及根據(jù)測(cè)驗(yàn)結(jié)果所獲得的信息做出科學(xué)性的決策等給出定量的回答.

區(qū)分度是衡量試題對(duì)學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)水平區(qū)別程度的指標(biāo)，可用學(xué)生在某試題上的得分與測(cè)驗(yàn)總分之間的相關(guān)系數(shù)r作為該題的區(qū)分度.

信度是刻畫試卷可靠性程度的指標(biāo).測(cè)驗(yàn)作為測(cè)量學(xué)生學(xué)習(xí)水平的工具，也存在一個(gè)測(cè)驗(yàn)的成績(jī)是否穩(wěn)定、是否可靠的問(wèn)題.試卷的信度就是指該試卷對(duì)同一組被試實(shí)施兩次或多次測(cè)試，所得結(jié)果的一致性程度.一致性程度越高，試卷的信度就越高.實(shí)際中可使用兩份等價(jià)的試卷，對(duì)同一組被試相繼實(shí)施兩次測(cè)驗(yàn)，求兩次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的相關(guān)系數(shù)，將這個(gè)值作為兩份試卷其中任何一份的信度系數(shù).

效度是測(cè)量的準(zhǔn)確性和有效性指標(biāo)，也就是測(cè)量的結(jié)果與所要達(dá)到的目標(biāo)之間相符合的程度，或者說(shuō)測(cè)驗(yàn)本身所能達(dá)到測(cè)驗(yàn)?zāi)康牡某潭?由于測(cè)量目的不同，效度有不同的類型.具體分類為：內(nèi)容效度、校標(biāo)效度、結(jié)構(gòu)效度.其中校標(biāo)效度所表示的是該測(cè)驗(yàn)成績(jī)與作為標(biāo)準(zhǔn)的另一個(gè)測(cè)驗(yàn)(校標(biāo))的成績(jī)之間的相關(guān)程度.效度系數(shù)是兩次測(cè)驗(yàn)成績(jī)之間的相關(guān)系數(shù).例如，高考模擬測(cè)驗(yàn)以高考試卷作為校標(biāo)，如果某模擬測(cè)驗(yàn)成績(jī)與未來(lái)高考成績(jī)的相關(guān)系數(shù)接近于1，說(shuō)明該模擬試卷的效度高.

4.1.5 變量相關(guān)性的教學(xué)思考

相關(guān)關(guān)系的概念是描述性的，不必追求形式上的嚴(yán)格.建議采用案例教學(xué)法，對(duì)比函數(shù)關(guān)系，重點(diǎn)突出相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)本質(zhì)特征：關(guān)聯(lián)性和不確定性.關(guān)聯(lián)性是指當(dāng)一個(gè)變量變化時(shí)，伴隨另一個(gè)變量有一定的變化趨勢(shì)；不確定性是指當(dāng)一個(gè)變量取定值時(shí)，與之相關(guān)的變量的取值仍具有隨機(jī)性.因?yàn)橛嘘P(guān)聯(lián)性，才有研究的必要性，因?yàn)槠洳淮_定性，從少量的變量觀測(cè)值，很難估計(jì)誤差的大小，因此必須對(duì)變量作大量的觀測(cè)，但每個(gè)觀測(cè)值都有一定誤差，為了消除誤差的影響，揭示變量間的本質(zhì)聯(lián)系，就必須要用統(tǒng)計(jì)分析方法.

判斷兩個(gè)變量間是否具有相關(guān)關(guān)系，一是憑經(jīng)驗(yàn)及學(xué)科專業(yè)知識(shí)，二是借助散點(diǎn)圖.如可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)表1中的4個(gè)例子逐一分析其關(guān)聯(lián)性和不確定性，然后結(jié)合散點(diǎn)圖，進(jìn)一步判斷相關(guān)關(guān)系的類型和方向.

表1

例5(非線性相關(guān)和不相關(guān)的例子) 對(duì)0到18歲之間的未成年人來(lái)說(shuō)，年齡和身高之間具有非線性的相關(guān)關(guān)系.對(duì)成年人來(lái)說(shuō)，年齡和身高之間沒(méi)有相關(guān)關(guān)系.

例6吸煙和患肺部疾病之間不具有因果關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系.引入兩值變量X和Y：

大量調(diào)查發(fā)現(xiàn)吸煙對(duì)患肺部疾病有一定的影響.但不吸煙者也可能患肺部疾病，吸煙者也可能不患肺部疾病，因此X和Y之間具有相關(guān)關(guān)系.

適當(dāng)列舉非線性相關(guān)和不相關(guān)的例子，有助于對(duì)相關(guān)關(guān)系的全面了解，但我們研究的重點(diǎn)是線性相關(guān)關(guān)系，而且正相關(guān)或負(fù)相關(guān)只對(duì)線性相關(guān)有意義.

在構(gòu)造樣本相關(guān)系數(shù)的教學(xué)中，首先要讓學(xué)生明確這里的任務(wù)是構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，用以刻畫成對(duì)數(shù)據(jù)間線性相關(guān)的強(qiáng)弱；要讓學(xué)生理解數(shù)據(jù)的平移不影響成對(duì)數(shù)據(jù)線性相關(guān)的強(qiáng)弱，但可以突出數(shù)據(jù)的特征；標(biāo)準(zhǔn)化可以消除數(shù)據(jù)量綱的影響.另外，通過(guò)幾何解釋及性質(zhì)的討論，可以使學(xué)生進(jìn)一步明確樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義.

4.2 一元線性回歸模型

當(dāng)兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)繪制的散點(diǎn)圖中的點(diǎn)大致分布在一條直線附近，可以利用觀測(cè)數(shù)據(jù)確定一個(gè)數(shù)學(xué)方程式(回歸方程)，由這個(gè)方程式可以從已知量推測(cè)未知量，為估算和預(yù)測(cè)提供一個(gè)重要方法.

4.2.1 數(shù)學(xué)模型

假設(shè)因變量Y主要受自變量x的影響，它們之間的數(shù)量關(guān)系為Y=a+bx+e，其中x是非隨機(jī)變量，a,b是未知的常數(shù)，e是隨機(jī)誤差項(xiàng)，它反映了未列入方程的其它各種因素對(duì)Y的影響.因此Y是隨機(jī)變量，它可以用由x的值完全確定的部分a+bx和隨機(jī)誤差e來(lái)解釋.假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差為σ2.

將樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)，i=1，2，…，n代入Y=a+bx+e中，得數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型：

求解模型：求未知參數(shù)a,b的估計(jì)值，估計(jì)誤差方差σ2(高中不要求).

4.2.2 最小二乘思想

當(dāng)兩個(gè)變量之間存在相關(guān)關(guān)系時(shí)，由于其不確定性，如果只有很少幾組變量觀測(cè)值，很難估計(jì)誤差的大小.法國(guó)數(shù)學(xué)家勒讓德(Le Gendre，1752—1833)在根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)彗星軌道的問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)了有效利用全部測(cè)量數(shù)據(jù)的方法，即通過(guò)計(jì)算得出一組數(shù)值，在使數(shù)據(jù)組的偏差達(dá)到最小的意義下，這些數(shù)值是最優(yōu)的.勒讓德的方法得出的數(shù)值充分利用了所有數(shù)據(jù)信息，這個(gè)方法現(xiàn)在叫做最小二乘法.

1809年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯(Gauss，1777—1855年)在一篇論文中分析了如何充分利用一系列測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)天體軌道的問(wèn)題，其中也敘述了最小二乘法.事實(shí)上，勒讓德第一個(gè)發(fā)表了最小二乘法思想，并影響了統(tǒng)計(jì)學(xué)；高斯也使用了最小二乘法，并且考慮了最小二乘法的誤差分析問(wèn)題，他還發(fā)現(xiàn)了最小二乘法理論中的重要結(jié)果，這個(gè)結(jié)果從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度回答了最小二乘法在縮小誤差上的優(yōu)勢(shì)，使得在勒讓德那里只是處理測(cè)量數(shù)據(jù)的代數(shù)方法逐漸滲透到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析的領(lǐng)域，最小二乘法對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)就像微積分對(duì)于數(shù)學(xué)中的影響一樣深遠(yuǎn).高斯的巨大聲望使一些歷史學(xué)家把最小二乘法歸功于他.

下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題，闡述最小二乘思想.

4.2.3 回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)

如何確定回歸直線方程，使得這條直線在整體上與數(shù)據(jù)點(diǎn)最接近？

許多統(tǒng)計(jì)思想和方法都比較直觀，采用探究式教學(xué)，學(xué)生可能提出各種不同的方法.為了防止漫無(wú)邊際的想法，教學(xué)中應(yīng)對(duì)確定回歸直線的方法提出一些基本要求.例如：盡可能利用全部數(shù)據(jù)，體現(xiàn)整體偏差最小，便于數(shù)學(xué)計(jì)算，結(jié)果確定等等.

以這些要求為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)一些可能的合理方法進(jìn)行逐步修正，最后把學(xué)生的思路引導(dǎo)到使用最小二乘法估計(jì)參數(shù)，得出回歸直線方程.下面是一些可能想到的方法.

方法1：逐漸移動(dòng)直線，測(cè)量各點(diǎn)到直線的距離，使距離和最小.該方法體現(xiàn)了整體偏差最小的思想，缺點(diǎn)是難以實(shí)現(xiàn)，而且測(cè)量的方法很難得到確定的結(jié)果.

方法2：選擇兩點(diǎn)畫直線，使直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同.這種方法沒(méi)有利用全部數(shù)據(jù)信息，其結(jié)果會(huì)因人而異.

方法3：用多條直線的斜率和截距的平均值作為回歸直線的斜率和截距.這種方法既沒(méi)有利用全部數(shù)據(jù)信息，也沒(méi)有體現(xiàn)整體誤差最小的思想，結(jié)果也不確定.

這種方法稱為最小二乘法，最小二乘法的優(yōu)點(diǎn)是：有效利用了全部測(cè)量數(shù)據(jù)，使誤差平方和達(dá)到最小，防止了某一極端誤差對(duì)決定參數(shù)估計(jì)值取得支配性地位.用數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)可以證明這樣的估計(jì)也是最佳的.

上式右邊展開后是關(guān)于b的二次三項(xiàng)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可以得到，當(dāng)

時(shí)，Q(a,b)達(dá)到最小.

4.2.4 一元線性回歸模型的診斷

理論上，任意n組成對(duì)數(shù)據(jù)，都可以按最小二乘法得到一個(gè)回歸方程.它能否較好地描述x和Y之間的關(guān)系呢？這個(gè)問(wèn)題需要通過(guò)模型診斷進(jìn)行回答.

我們?nèi)匀徊捎孟榷ㄐ院蠖康姆椒ㄟM(jìn)行模型診斷.

可得

考慮回歸平方和占總偏差平方和的比例，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

我們把R2稱為決定系數(shù)或回歸貢獻(xiàn)率, 它是線性相關(guān)系數(shù)的平方，其取值范圍是0≤R2≤1.特別的，當(dāng)R2=1時(shí)，殘差平方和等于0，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)都在回歸直線上，此時(shí)x和Y之間具有確定的線性關(guān)系.R2的大小反映x與Y之間線性關(guān)系的密切程度，R2越接近1，x與Y之間線性關(guān)系越密切.

4.2.5 利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行回歸分析

一元回歸分析要繪制散點(diǎn)圖、殘差圖及進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算，Excel、R-軟件、GeoGebra都有回歸分析的功能.而GeoGebra作為一個(gè)開源軟件，功能強(qiáng)大、操作簡(jiǎn)便.下面通過(guò)實(shí)際問(wèn)題說(shuō)明如何用GeoGebra進(jìn)行回歸分析.

例經(jīng)驗(yàn)表明，對(duì)于同一樹種，一般樹的胸徑(樹的主干在地面以上1.3m處的直徑)越大，樹就越高．由于測(cè)量樹高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹高．在研究樹高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)，某林場(chǎng)收集了某種樹12組成對(duì)數(shù)據(jù)，試根據(jù)數(shù)據(jù)建立樹高關(guān)于胸徑的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.

打開GeoGebra，在菜單中選擇表格區(qū)，在表格區(qū)A，B列輸入數(shù)據(jù)，選中A，B列，然后選擇“雙變量回歸分析”.分別點(diǎn)選“散點(diǎn)圖”或者“殘差圖”顯示圖形，在回歸模型點(diǎn)選“線性”顯示回歸方程.點(diǎn)選Σx可顯示各種統(tǒng)計(jì)量的值.經(jīng)過(guò)上述操作，得出結(jié)果如圖3所示.

圖3

4.3 2×2列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)是兩種基本的統(tǒng)計(jì)推斷方法.假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理類似于反證法.先對(duì)研究的總體提出某種假設(shè)H，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量T，直觀上可根據(jù)統(tǒng)計(jì)量取值范圍做出拒絕或接受假設(shè)H的判斷.定量的方法是依據(jù)小概率原理(實(shí)際推斷原理)，給定一個(gè)小概率α，在H成立的條件下，求得統(tǒng)計(jì)量T的分布，確定拒絕域D滿足P(T∈D)=α，一旦{T∈D}發(fā)生，則拒絕假設(shè)H.

獨(dú)立性檢驗(yàn)是非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)χ2-分布擬合檢驗(yàn)的一個(gè)特例，所研究的問(wèn)題是如何根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)判斷兩個(gè)2×2分類(屬性)變量是否獨(dú)立，可以用圖4概括檢驗(yàn)的步驟：

圖4

學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)有：古典概率模型，條件概率，頻率穩(wěn)定到概率，兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.解決問(wèn)題的依據(jù)是小概率原理以及假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理.理解其中蘊(yùn)含的思想方法是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的重要途徑.

4.3.1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象

在現(xiàn)實(shí)中有一類問(wèn)題也屬于變量的相關(guān)性問(wèn)題.例如，不同年級(jí)的學(xué)生的近視情況是否有明顯的差異？某學(xué)校男生和女生在體育鍛煉的經(jīng)常性是否有差異？吸煙與患肺部疾病是否有關(guān)？等等.對(duì)這類問(wèn)題，需要給出一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)描述.

例如，對(duì)于男生和女生體育鍛煉的經(jīng)常性是否有差異的問(wèn)題，我們可以作如下數(shù)學(xué)描述：

用Ω表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合(總體)，從總體中任意選擇一名學(xué)生，定義變量X和Y如下：

X和Y是兩個(gè)只取2個(gè)值的分類變量.

如果P(Y=1|X=0)≠P(Y=1|X=1)，說(shuō)明體育鍛煉的經(jīng)常性有性別差異；

如果P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)，說(shuō)明體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有性別差異.

容易證明P(Y=1|X=0)=P(Y=1|X=1)等價(jià)于P(X=0,Y=1)=P(X=0)P(Y=1)，即事件{X=0}與{Y=1}相互獨(dú)立.根據(jù)兩個(gè)事件獨(dú)立的性質(zhì)得：{X=0}與{Y=0}，{X=1}與{Y=0}，{X=1}與{Y=1}都相互獨(dú)立.因此，對(duì)于2×2隨機(jī)變量，如果{X=1}與{Y=1}獨(dú)立，則稱變量X和Y相互獨(dú)立.

這樣，我們研究的問(wèn)題就抽象為判斷兩個(gè)變量X和Y是否獨(dú)立的問(wèn)題.

對(duì)于普查獲得的全部數(shù)據(jù)，容易判斷變量X和Y是否獨(dú)立.如果是隨機(jī)抽樣獲得的樣本數(shù)據(jù)，該如何進(jìn)行推斷呢？

4.3.2 假設(shè)檢驗(yàn)基本思想方法

先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想與一般步驟.

問(wèn)題拋擲一枚六面體骰子，重復(fù)120次試驗(yàn)，各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)如表2所示：

表2

能否認(rèn)為這個(gè)骰子質(zhì)地均勻？

如果骰子質(zhì)地均勻，出現(xiàn)每個(gè)點(diǎn)數(shù)都是等可能的，理論上每個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)都是20，但由于隨機(jī)性，觀測(cè)頻數(shù)應(yīng)在20附近波動(dòng)，根據(jù)頻率穩(wěn)定到概率的事實(shí)，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，波動(dòng)幅度不會(huì)太大.如果波動(dòng)幅度太大，就難以用隨機(jī)性來(lái)解釋了，此時(shí)懷疑骰子的質(zhì)地不均勻.

一般地，設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xk，做n次重復(fù)試驗(yàn)，出現(xiàn)的頻數(shù)分布為m1，m2，…，mk，m1+m2+…+mk=n.檢驗(yàn)假設(shè)H0：P(X=xi)=pi，i=1，2，…，k.

在H0成立的條件下，事件{X=xi}發(fā)生的期望頻數(shù)為npi(i=1，2，…，k)，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量

χ2是反映頻率與概率(或觀測(cè)頻數(shù)與期望頻數(shù))之間整體相對(duì)偏差大小的統(tǒng)計(jì)量.直觀上，當(dāng)χ2的值過(guò)大時(shí)，懷疑H0不真.χ2多大才算過(guò)大呢？需要給出一個(gè)定量的標(biāo)準(zhǔn).統(tǒng)計(jì)學(xué)家證明了當(dāng)H0成立時(shí)，χ2近似服從自由度為k-1的χ2分布，給定一個(gè)小概率α，確定臨界值χα，使得P(χ2≥χα)=α.依據(jù)小概率原理，當(dāng){χ2≥χα}發(fā)生時(shí)，懷疑H0不真，做出拒絕H0的判斷，當(dāng){χ2<χα}發(fā)生時(shí)，接受H0.

在檢驗(yàn)骰子質(zhì)地是否均勻的問(wèn)題中，χ2統(tǒng)計(jì)量近似服從自由度為5的χ2分布(如圖5).給定α=0.05，利用GeoGebra軟件，得到

圖5

P{χ2≥11.07}=0.05,

χ2=5.06<11.07，

不拒絕H0，沒(méi)有理由認(rèn)為骰子質(zhì)地不均勻.

如果120次重復(fù)試驗(yàn)，觀測(cè)到各點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)如表3：

表3

從上面的分析看到，假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟為：

建立假設(shè)→構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量→確定檢驗(yàn)規(guī)則→作出判斷并解釋.

4.3.3 如何進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)建立假設(shè)

H0：2×2分類變量X和Y獨(dú)立.

通過(guò)隨機(jī)抽樣得到X和Y的樣本數(shù)據(jù)，用列聯(lián)表(表4)表示如下：

表4

(2)構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

同理可以求得事件{X=0，Y=1}，{X=1，Y=0}，{X=1，Y=1}的期望頻數(shù).

假設(shè)H0成立，四個(gè)事件的觀測(cè)頻數(shù)與期望頻數(shù)如表5所示.

表5

對(duì)于2×2列聯(lián)表數(shù)據(jù)，χ2的具體表達(dá)式為

在零假設(shè)H0成立的條件下，觀測(cè)頻數(shù)與期望頻數(shù)整體應(yīng)比較接近，χ2的值不應(yīng)太大.

(3)確定檢驗(yàn)規(guī)則

零假設(shè)H0成立的條件下，隨機(jī)變量χ2近似服從自由度為1的χ2分布.

對(duì)于給定的小概率α，求得臨界值χα，使得P(χ2≥χα)=α.依據(jù)小概率原理，當(dāng)事件 {χ2≥χα}發(fā)生時(shí)，拒絕H0，認(rèn)為X和Y不獨(dú)立；否則不拒絕H0，認(rèn)為X和Y獨(dú)立.

s×t獨(dú)立性檢驗(yàn)，χ2近似服從自由度為 (t-1)(s-1) 的χ2分布.

(4)推斷結(jié)論的解釋

拒絕零假設(shè)H0可能犯錯(cuò)誤，但犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；不拒絕零假設(shè)，也并不意味著X和Y一定獨(dú)立，只是對(duì)這組樣本數(shù)據(jù)沒(méi)有充分的理由拒絕零假設(shè)；不拒絕H0時(shí)也可能犯錯(cuò)誤，此時(shí)犯錯(cuò)誤的概率β無(wú)法控制.一般α小時(shí)β就較大，α大時(shí)β就小.當(dāng)作出不拒絕的判斷時(shí)，可取較大的α值.

5 幾點(diǎn)教學(xué)建議

回歸分析是應(yīng)用非常廣泛的一種統(tǒng)計(jì)分析方法.所涉及到的建立統(tǒng)計(jì)模型思想、最小二乘思想、方差分析思想(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，評(píng)價(jià)回歸擬合效果)，在統(tǒng)計(jì)中占有重要地位.獨(dú)立性檢驗(yàn)則是利用概率知識(shí)，綜合考慮樣本容量、顯著性水平(犯錯(cuò)誤的概率)的一種定量統(tǒng)計(jì)分析方法.本單元內(nèi)容按“實(shí)際背景——抽象統(tǒng)計(jì)模型——構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析——得出結(jié)果并解釋”的路徑，采用從直觀描述到數(shù)學(xué)刻畫、先定性后定量的統(tǒng)計(jì)分析方法，引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).下面提出本單元教學(xué)的幾點(diǎn)建議.

5.1 加強(qiáng)用樣本估計(jì)總體的思想

用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的主要載體.

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了用統(tǒng)計(jì)圖表表示數(shù)據(jù)、用平均數(shù)和方差等數(shù)字特征刻畫數(shù)據(jù)的特征，雖然也涉及了樣本估計(jì)總體，但重點(diǎn)在于對(duì)數(shù)據(jù)本身的統(tǒng)計(jì)特征的描述和刻畫，對(duì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性考慮不多.高中的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容開始強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，要求通過(guò)隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)對(duì)總體作出估計(jì).估計(jì)的目標(biāo)是得到總體的有關(guān)結(jié)論，此時(shí)對(duì)樣本數(shù)據(jù)本身進(jìn)行刻畫不再是目標(biāo)，而是達(dá)到目標(biāo)的一種手段或載體.因此，在高中的統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)用樣本估計(jì)總體的思想.

必修課程的統(tǒng)計(jì)主要是關(guān)于單變量總體的估計(jì)，例如通過(guò)樣本數(shù)據(jù)的均值、方差、百分位數(shù)估計(jì)總體相應(yīng)的數(shù)字特征.在選擇性必修統(tǒng)計(jì)中，我們?nèi)匀挥脴颖竟烙?jì)總體的基本思想展開研究，只是數(shù)據(jù)由一維變?yōu)槎S，總體由單變量變?yōu)殡p變量.在本章，通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)估計(jì)兩個(gè)變量的關(guān)系，通過(guò)一元線性回歸模型刻畫兩個(gè)變量的線性關(guān)系，通過(guò)χ2統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性，都是關(guān)于兩個(gè)變量這個(gè)總體的估計(jì)，教學(xué)中應(yīng)充分重視.

5.2 準(zhǔn)確把握統(tǒng)計(jì)的學(xué)科邏輯

我們知道，函數(shù)、代數(shù)、幾何、概率等內(nèi)容是從定義出發(fā)，主要使用演繹推理的方法證明結(jié)論.演繹推理是從一般到特殊的推理，只要前提正確、推理形式正確，得到的結(jié)論必然正確，因此得出的結(jié)論具有確定性.而統(tǒng)計(jì)是從樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的結(jié)論推斷總體的結(jié)論，這是一個(gè)從部分到總體、特殊到一般的推理，在推理方法上屬于不完全歸納.不完全歸納的特點(diǎn)是前提正確并不意味著得到的結(jié)論正確，也就是說(shuō)統(tǒng)計(jì)的推斷有可能犯錯(cuò)誤，結(jié)論具有不確定性.由于出發(fā)點(diǎn)和推理方法的不同，統(tǒng)計(jì)與函數(shù)、代數(shù)等內(nèi)容在對(duì)結(jié)論的判斷標(biāo)準(zhǔn)上也不一樣，前者是好與壞，后者是對(duì)與錯(cuò).教學(xué)中要準(zhǔn)確把握統(tǒng)計(jì)學(xué)科的這些特點(diǎn)，只有從整體上準(zhǔn)確把握統(tǒng)計(jì)學(xué)科邏輯的特點(diǎn)，才能準(zhǔn)確理解統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容和方法，才能更好地發(fā)揮統(tǒng)計(jì)的育人功能.

5.3 注重統(tǒng)計(jì)概念和方法的產(chǎn)生和形成過(guò)程

統(tǒng)計(jì)中每一個(gè)概念和方法的引入都有其必要性，之所以成為目前的形式也都有其合理性.教學(xué)中體現(xiàn)好這個(gè)過(guò)程，不但有利于明確學(xué)習(xí)的目標(biāo)和任務(wù)，讓學(xué)生感受到知識(shí)的產(chǎn)生是自然的、合理的，還有利于在概念和方法的形成過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)的思想方法，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗(yàn).

我們知道，數(shù)據(jù)分析是一個(gè)透過(guò)數(shù)據(jù)探索客觀事物本質(zhì)和規(guī)律的過(guò)程，可以概括為：(1)面向?qū)嶋H背景，凝練統(tǒng)計(jì)問(wèn)題；(2)明確問(wèn)題目標(biāo)，收集整理數(shù)據(jù)；(3)合理構(gòu)建模型，優(yōu)化推斷結(jié)論；(4)回歸實(shí)際問(wèn)題，形成決策知識(shí).本單元的教學(xué)要特別注意落實(shí)這個(gè)過(guò)程，注重從統(tǒng)計(jì)的直觀到數(shù)學(xué)化表達(dá)的轉(zhuǎn)化，并讓學(xué)生參與其中.例如，對(duì)于估計(jì)一元線性回歸模型參數(shù)所用的最小二乘法，教學(xué)中可以啟發(fā)學(xué)生先從直覺(jué)出發(fā)，尋找整體上與散點(diǎn)最接近的直線，然后逐步過(guò)渡到對(duì)“整體最近”的數(shù)學(xué)刻畫，再?gòu)膶?shí)際意義、數(shù)學(xué)運(yùn)算等角度考慮，在若干表達(dá)式中選擇“平方和最小”作為標(biāo)準(zhǔn).在此過(guò)程中，學(xué)生既可以體會(huì)從統(tǒng)計(jì)直觀到數(shù)學(xué)表達(dá)的轉(zhuǎn)化過(guò)程，從中理解統(tǒng)計(jì)方法；又可以體會(huì)針對(duì)同一個(gè)問(wèn)題可以有不同標(biāo)準(zhǔn)，由不同標(biāo)準(zhǔn)得出的不同結(jié)論都有一定的合理性，由此體會(huì)統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)和統(tǒng)計(jì)思想，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).

5.4 強(qiáng)調(diào)使用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析

課程標(biāo)準(zhǔn)在本單元“內(nèi)容要求”中明確提出“會(huì)利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)分析”的要求.事實(shí)上，如果不用統(tǒng)計(jì)軟件，那么就無(wú)法完成本單元的教學(xué)任務(wù).因此，為了有效展開本單元的教學(xué)活動(dòng)，應(yīng)該要求學(xué)生掌握幾種常用的統(tǒng)計(jì)軟件，明確要求學(xué)生在學(xué)習(xí)本單元內(nèi)容時(shí)使用統(tǒng)計(jì)軟件探索數(shù)據(jù)的規(guī)律.例如，利用統(tǒng)計(jì)軟件對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行排序等整理，計(jì)算出各種特征數(shù)，畫各種統(tǒng)計(jì)圖等；又如，在用一元線性回歸模型刻畫兩個(gè)變量之間關(guān)系時(shí)，利用統(tǒng)計(jì)軟件畫散點(diǎn)圖、計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)、求經(jīng)驗(yàn)回歸方程、畫殘差圖等.