云南省昆明市云南師范大學(xué)(650500) 楊 壯 楊亞平

1 研究背景

教材是教學(xué)內(nèi)容的重要載體,也是教師溝通學(xué)生、學(xué)生學(xué)習(xí)的載體.近些年,數(shù)學(xué)教材對(duì)比一直是研究熱點(diǎn),數(shù)學(xué)教材由正文、例題和習(xí)題組成,習(xí)題作為數(shù)學(xué)教材的重要組成部分,在數(shù)學(xué)教材中發(fā)揮著重要作用,在一定程度上反映了數(shù)學(xué)教材的特征和數(shù)學(xué)教材編寫者的設(shè)計(jì)意圖[1].

反比例函數(shù)是初中階段“數(shù)與代數(shù)”的重要模塊之一,是學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ),作為中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)命題方向,這部分內(nèi)容題源豐富,題目既源自于教材而又高于教材,因此選擇反比例函數(shù)作為研究的主題.因?yàn)槿毡镜膶W(xué)生在國(guó)際測(cè)試中的優(yōu)異表現(xiàn)以及中日兩國(guó)相似的文化背景,在一定程度上日本的教育改革經(jīng)驗(yàn)?zāi)芙o我國(guó)帶來(lái)一定的影響,故研究中日兩國(guó)的數(shù)學(xué)教材有重要意義.

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對(duì)象

本研究選取人教版課標(biāo)教材九年級(jí)下冊(cè)“第二十六章”、東京版《新編(新)數(shù)學(xué)·1》“第四章”的部分習(xí)題為研究對(duì)象.習(xí)題是教材的重要組成部分,是學(xué)生學(xué)習(xí)過程中必不可少的重要環(huán)節(jié),一方面有助于學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,形成良好的數(shù)感與數(shù)學(xué)思維,另一方面也有助于學(xué)生獲得必要的技能,為后續(xù)學(xué)習(xí)和解決問題奠定基礎(chǔ),提供支持.基于此,本研究從節(jié)中、節(jié)末、章末三個(gè)位置進(jìn)行整理習(xí)題,針對(duì)人教版中“練習(xí)”“習(xí)題”“復(fù)習(xí)題”進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和考量;同理,東京版中研究“確認(rèn)題、問、補(bǔ)充的問題”“基本的問題”“章的問題A、B”等板塊習(xí)題.

2.2 研究方法

根據(jù)人教版與東京版反比例函數(shù)習(xí)題的呈現(xiàn),本研究運(yùn)用比較研究法和文獻(xiàn)研究法,從習(xí)題數(shù)量、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)文化以及綜合難度5個(gè)維度習(xí)題進(jìn)行比較研究研究.其中習(xí)題的數(shù)學(xué)文化按照習(xí)題的內(nèi)容分布,從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)4方面對(duì)兩版教材的習(xí)題進(jìn)行數(shù)學(xué)文化比較.習(xí)題的綜合難度將結(jié)合鮑建生教授的綜合難度模型[2]與覃淋的統(tǒng)計(jì)習(xí)題難度測(cè)量模型[3],從認(rèn)知、背景、運(yùn)算、知識(shí)量、與例題的關(guān)聯(lián)程度5個(gè)難度因素對(duì)兩版教材的習(xí)題進(jìn)行難度對(duì)比.

3 研究結(jié)果

3.1 習(xí)題數(shù)量比較

本研究采用的習(xí)題數(shù)量統(tǒng)計(jì)方法:若一道習(xí)題按(1)(2)(3)……編號(hào),則按習(xí)題中的小題個(gè)數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì);若一個(gè)題目包含多個(gè)問題,但未分成(1)(2)(3)……,則按照一個(gè)題目進(jìn)行統(tǒng)計(jì).需要注意的是,東京版的反比例函數(shù)與正比例函數(shù)為同一章節(jié)的內(nèi)容,部分習(xí)題混合在一起,需要人工進(jìn)行辨別.基于以上統(tǒng)計(jì)方法,繪制兩版教材中反比例函數(shù)部分的習(xí)題數(shù)量對(duì)比統(tǒng)計(jì)圖,如圖1所示.

圖1

從習(xí)題數(shù)量上看,人教版習(xí)題總數(shù)為70,東京版習(xí)題總數(shù)為47,差異較大.人教版教材關(guān)注節(jié)中、節(jié)末、章末的習(xí)題,而東京版教材尤其關(guān)注節(jié)中的習(xí)題,重視教學(xué)過程中的練習(xí).

3.2 習(xí)題數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)比較

本部分通過分析教材習(xí)題體現(xiàn)的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)人教版與東京版教材反比例函數(shù)習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,因反比例函數(shù)內(nèi)容不涉及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng),故本部分僅從數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象這五大素養(yǎng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.統(tǒng)計(jì)方法為:分別統(tǒng)計(jì)人教版和東京版教材中考察各素養(yǎng)的“反比例函數(shù)”習(xí)題題目個(gè)數(shù),并統(tǒng)計(jì)其在相應(yīng)版本習(xí)題中所占比重.(如果一道習(xí)題涉及多個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),則按多個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)統(tǒng)計(jì))兩版教材反比例函數(shù)習(xí)題在各素養(yǎng)類型上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖2所示.

圖2

1.數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)呈兩極分布

橫向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn):兩版教材“反比例函數(shù)”內(nèi)容的習(xí)題在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)占比最高;往后依次為邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng);從上圖可發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在人教版和東京版教材反比例習(xí)題中都少有考察,僅占10%和2.1%.

2.兩版教材習(xí)題側(cè)重的素養(yǎng)類型基本一致

縱向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)各素養(yǎng)占比發(fā)現(xiàn):人教版和東京版教材各素養(yǎng)占比按從大到小順序排列均為數(shù)學(xué)運(yùn)算＞邏輯推理＞直觀想象＞數(shù)學(xué)建模＞數(shù)學(xué)抽象.

3.3 習(xí)題數(shù)學(xué)思想方法比較

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓,是數(shù)學(xué)的本質(zhì)所在[4].本部分主要關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法在習(xí)題中的滲透,整理發(fā)現(xiàn)“反比例函數(shù)”的習(xí)題主要涉及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論這三種數(shù)學(xué)思想方法,從上述三個(gè)數(shù)學(xué)思想方法對(duì)兩版教材的習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,統(tǒng)計(jì)方法為:分別統(tǒng)計(jì)人教版和東京版教材“反比例函數(shù)”中涉及以上三種數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)題數(shù),再除以本習(xí)題總數(shù).(同一道習(xí)題可能涉及多個(gè)數(shù)學(xué)思想方法,規(guī)定只按最主要的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行計(jì)數(shù)統(tǒng)計(jì).)兩版教材反比例函數(shù)習(xí)題在數(shù)學(xué)思想方法上的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示.

表1 反比例函數(shù)習(xí)題數(shù)學(xué)思想方法上的數(shù)量百分比

1.函數(shù)與方程思想與分類討論思想呈兩極分布

橫向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn):兩版教材的反比例函數(shù)習(xí)題在函數(shù)與方程思想所占百分比均為最高,人教版教材在函數(shù)與方程思想的百分比高達(dá)57.1%,由于反比例函數(shù)本身的特性,致使涉及函數(shù)與方程思想方法的習(xí)題數(shù)量最多;其次是數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想;從上表可觀察,分類討論思想在人教版和東京版教材反比例函數(shù)習(xí)題中都少有甚至沒有考察,人教版教材僅占4.3%,而東京版教材未涉及分類討論思想.

2.兩版本教材習(xí)題側(cè)重的數(shù)學(xué)思想方法基本一致

縱向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)各數(shù)學(xué)思想方法占比發(fā)現(xiàn):人教版和東京版教材涉及的數(shù)學(xué)思想方法占比按從大到小順序排列均為函數(shù)與方程思想＞數(shù)形結(jié)合思想＞分類討論思想.

3.4 習(xí)題數(shù)學(xué)文化比較

中國(guó)和日本有著相似的文化背景,加上數(shù)學(xué)文化博大精深,本部分志在比較兩個(gè)版本教材習(xí)題在數(shù)學(xué)文化的異同.從數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)四個(gè)方面對(duì)兩版教材的反比例函數(shù)習(xí)題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析[5],統(tǒng)計(jì)方法為:分別統(tǒng)計(jì)人教版和東京版教材“反比例函數(shù)”習(xí)題在各個(gè)數(shù)學(xué)文化的習(xí)題數(shù),再除以本習(xí)題總數(shù)得出相應(yīng)的百分比,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示.

表2 反比例函數(shù)習(xí)題數(shù)學(xué)文化內(nèi)容分布

1.數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)齊頭并進(jìn)

橫向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn):兩版教材反比例函數(shù)習(xí)題涉及數(shù)學(xué)文化的占比不到一半,也即只有不到一半的習(xí)題涉及了數(shù)學(xué)文化,其中數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活占比最高,其次為數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù);從圖表可發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)與人文藝術(shù)在人教版和東京版教材反比例函數(shù)習(xí)題中均未涉及.

2.兩版本教材習(xí)題側(cè)重的數(shù)學(xué)文化基本一致

縱向?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)各數(shù)學(xué)文化占比發(fā)現(xiàn):人教版和東京版教材涉及的數(shù)學(xué)文化占比按從大到小順序排列均為數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活＞數(shù)學(xué)與科學(xué)技術(shù)＞數(shù)學(xué)史=數(shù)學(xué)與人文藝術(shù).

3.5 習(xí)題綜合難度比較

本文參考了鮑建生教授的綜合難度模型與覃淋在《“中國(guó)大陸”“日本”和“中國(guó)臺(tái)灣”高中數(shù)學(xué)教材統(tǒng)計(jì)習(xí)題難度比較研究》中提出的統(tǒng)計(jì)習(xí)題難度測(cè)量模型,并且結(jié)合反比例函數(shù)的要求及反比例函數(shù)習(xí)題的特征,構(gòu)建了一個(gè)五因素習(xí)題難度測(cè)量模型,各難度因素的及在三水平的劃分如下.

認(rèn)知(A)——A1:記憶,即可以直接回憶反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)就能解決的問題;A2:理解,即在理解反比例函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)上,需要通過組織前后所學(xué)知識(shí)才能解決的問題;A3:探究,如解決反比函數(shù)問題的存在性問題等.

背景(B)——B1:無(wú)背景,即反比例函數(shù)習(xí)題為純數(shù)學(xué)背景;B2:個(gè)人生活,即反比例函數(shù)的習(xí)題與學(xué)生的生活相關(guān)聯(lián),關(guān)注與個(gè)體自身、個(gè)體所在家庭、個(gè)體同伴等相關(guān)的日常活動(dòng);B3:公共常識(shí),即反比例函數(shù)習(xí)題的背景為大眾所熟知.

運(yùn)算(C)——C1:無(wú)運(yùn)算,即沒有運(yùn)算步驟的反比例函數(shù)習(xí)題;C2:數(shù)值運(yùn)算,即只含常數(shù)的數(shù)學(xué)題;C3:符號(hào)運(yùn)算,即反比例函數(shù)的習(xí)題需要用到符號(hào)表示數(shù)字的習(xí)題.

知識(shí)量(D)——D1:一個(gè)知識(shí)點(diǎn);D2:兩個(gè)知識(shí)點(diǎn);D3:三個(gè)及三個(gè)以上知識(shí)點(diǎn).

與例題的關(guān)聯(lián)程度(E)——E1:高度相關(guān),即反比例函數(shù)的習(xí)題與教材的例題部分基本一樣;E2:一般相關(guān),即反比例函數(shù)的習(xí)題與教材的例題部分相似;E3:無(wú)關(guān),即跟教材的例題一點(diǎn)都不同,需要從其它角度思考.

各難度因素加權(quán)平均計(jì)算方法:例如對(duì)于難度因素“背景”,第1個(gè)水平“無(wú)背景”的習(xí)題數(shù)有15道,第2個(gè)水平“個(gè)人生活”的習(xí)題數(shù)有9道,第3個(gè)水平“公共常識(shí)”的習(xí)題數(shù)有13道,則“背景”因素的加權(quán)平均為=1.95.

因兩版教材反比例函數(shù)習(xí)題總量相差較大,僅用題目數(shù)量無(wú)法清晰看出具體情況,故選擇各難度因素各水平占比來(lái)直觀地比較,如圖3所示.為了進(jìn)一步考察兩版本教材的綜合難度水平.通過對(duì)兩版本教材中五個(gè)難度因素的不同水平題目的統(tǒng)計(jì),并利用加權(quán)平均計(jì)算公式得到五個(gè)難度因素的加權(quán)平均值,繪制出反映兩版本教材綜合難度的雷達(dá)圖模型,如圖4所示.

圖3

圖4

從認(rèn)知因素分析,記憶水平層面上人教版的考察少于東京版,而理解水平層面上的考察高于東京版,兩版教材均較少考察探究水平,人教版教材的認(rèn)知因素綜合難度略高于東京版.

從背景因素分析,兩版教材均設(shè)置無(wú)背景、個(gè)人生活、公共常識(shí)的習(xí)題,但東京版教材主要考察無(wú)背景的習(xí)題,人教版教材的背景因素綜合難度略高于東京版.

從運(yùn)算因素分析,兩版教材主要考察符號(hào)運(yùn)算,并且均未設(shè)置數(shù)值運(yùn)算的習(xí)題,較少考察無(wú)運(yùn)算的習(xí)題,東京版,人教版教材的運(yùn)算因素綜合難度低于東京版.

從知識(shí)量因素分析,兩版本教材習(xí)題主要涉及一到兩個(gè)知識(shí)點(diǎn),較少設(shè)置包含三個(gè)及三個(gè)以上知識(shí)點(diǎn)的習(xí)題,人教版教材的知識(shí)量因素綜合難度大致與東京版相同.

從與例題的關(guān)聯(lián)程度因素分析,兩版本教材反比例函數(shù)習(xí)題分布基本一致,均主要考察與例題相關(guān)的習(xí)題,但與例題無(wú)關(guān)的習(xí)題上東京版教材高于人教版,人教版教材的與例題關(guān)聯(lián)程度因素綜合難度高于東京版.

綜上,人教版教材的習(xí)題綜合難度略高于東京版.

4 啟示

4.1 習(xí)題設(shè)置應(yīng)遵循創(chuàng)新性與激勵(lì)性

反比例函數(shù)習(xí)題涉及的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)文化都較為局限,題型陳舊,大部分習(xí)題無(wú)背景,缺乏創(chuàng)新性與激勵(lì)性,可能致使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)》明確提出要發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),習(xí)題是教材的重要組成部分,承擔(dān)著發(fā)展學(xué)生關(guān)鍵能力的重要作用,因此教材習(xí)題的編寫要緊扣課標(biāo),遵循激勵(lì)性與創(chuàng)新性,注意與數(shù)學(xué)史、人文藝術(shù)相關(guān)聯(lián),增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解,讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)之美.

4.2 習(xí)題編寫應(yīng)注重導(dǎo)向性和綜合性

反比例函數(shù)屬于數(shù)與代數(shù)模塊,習(xí)題蘊(yùn)含的核心素養(yǎng)在數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象較數(shù)學(xué)抽象更多,函數(shù)知識(shí)本身就較難理解,較為抽象,但兩版教材過于壓縮數(shù)學(xué)抽象的考察,缺乏對(duì)學(xué)生抽象意識(shí)的導(dǎo)向性培養(yǎng),對(duì)六大核心素養(yǎng)考察不夠全面.習(xí)題的編寫既要符合課標(biāo)要求,也要注意習(xí)題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合性與導(dǎo)向性.