北京師范大學昌平附屬學校(102206) 秦虹柳

任何知識都不是孤立的,都屬于系統(tǒng)結構中的局部,整體觀下的教學重視知識間的聯(lián)系,關注知識的形成過程,有助于學生了解問題的本質(zhì),對學習內(nèi)容形成系統(tǒng)化認知.本文記錄的是筆者以學生的深度學習為追求,對“全等三角形”進行的單元教學思考與實踐,在內(nèi)容上,整合教材安排,突出體現(xiàn)知識的整體性和系統(tǒng)性;在組織形式上,通過設計開放性問題和活動,給學生充足空間,使學生經(jīng)歷完整思維過程;在目標導向上,以幾何直觀和空間觀念為導向,以促進學生思維發(fā)展、實現(xiàn)深度學習為目標.

“全等三角形”在各版本教材中的安排大致相同,第一課時是全等三角形的概念和性質(zhì),之后的幾個課時分別對全等三角形的不同判定方法進行教學,最后進行綜合應用.由于三角形全等的關系與三角形的位置無關,所以,全等三角形的相對位置呈現(xiàn)多樣性,從圖形運動的角度理解全等三角形有助于辨識對應邊和對應角.對于全等三角形的判定方法,學生需要具備綜合運用多種判定方法解決問題的能力.因此,我整合教材安排,從單元整體教學的角度出發(fā)進行教學調(diào)整.第1課時:全等三角形的概念和性質(zhì),提升學生的識圖能力,幫助學生從圖形運動的角度理解全等三角形.第2課時:探索全等三角形的判定方法.第3課時:全等三角形判定方法的理解與運用.第4課時到第6課時:綜合運用多種全等三角形的判定方法解決問題.本文重點對前3個課時的設計進行說明.

1 課時1——實踐中感悟圖形變換,發(fā)展空間觀念

三角形僅發(fā)生位置變化時,與原三角形是全等的關系,對于兩個全等的三角形,其中一個三角形可以看成由另一個三角形經(jīng)過運動變換之后得到的,準確辨識全等三角形的對應邊和對應角不僅需要借助幾何直觀,更需要從運動變換的角度理解圖形,因此,在講完全等三角形的概念和性質(zhì)后,我設計兩個開放性活動幫助學生發(fā)展空間觀念.

活動1如圖1所示,已知ΔABC,將它運動至新的位置,是否存在與它全等的三角形?如果存在,請說明ΔABC是怎樣運動的,并找一找對應邊、對應角.(每個學生手中有兩個全等的三角形學具,學生可以借助手中的學具演示圖形變化過程)

圖1

學生首先需要借助圖形的直觀性進行初步判斷,再借助手中的學具進行操作驗證,在這個活動中,學生初步體會平移、旋轉、翻折等圖形運動過程,對認識幾何圖形的直觀性以及從圖形運動角度理解全等三角形有積極意義,由于整個活動充分放手,對學生具有一定挑戰(zhàn)性,有助于學生經(jīng)歷完整的知識探究過程,學生的空間觀念得到發(fā)展.

活動2借助手中兩個全等的三角形學具,讓一個ΔABC動起來,可以運動到任意位置,互相說一說ΔABC是怎樣運動的.

這個開放性活動給學生充足空間,打開學生思維,激發(fā)學生的創(chuàng)造力,學生對平移、旋轉、軸對稱等圖形運動過程有進一步認識;在復雜圖形中辨識全等三角形對應邊和對應角的能力得到提升;幾何直觀和空間觀念得到進一步發(fā)展.

通過這樣的兩個活動,學生對全等三角形有較深刻的理解,雖然學生還沒有系統(tǒng)學習圖形變換的相關知識,但是,對幾種基本圖形變換已經(jīng)有初步認識,這樣的安排不僅有助于學生對全等三角形的理解,也為進一步學習圖形變換相關知識做鋪墊.

2 課時2——經(jīng)歷探究判定方法全過程,促進思維的嚴謹性

教材對全等三角形的判定方法是“分—總”的設計,教師應該帶著自己的理解使用教材.全等三角形的幾種判定方法是一個整體,學生應該經(jīng)歷探究判定方法的過程;在解決問題時,學生應該對幾種判定方法有整體認知,經(jīng)歷分析問題、方法選擇、解決問題的過程,因此,我對這部分知識進行了“總—總—分—總”的設計,本課體現(xiàn)第一個“總”,探究全等三角形的判定方法,下一課時體現(xiàn)第二個“總”,幾種判定方法的綜合理解與應用,然后的幾個課時對幾種方法進行鞏固強化和綜合應用.

本課中,我設計了探索全等三角形的判定方法的綜合活動,雖然大多數(shù)學生知道應該探索更簡單的方法判定三角形全等,但是學生的思維很凌亂,于是,我讓學生按照自己的思路設計研究方案,只要有條理就可以.我預設了幾種思路,(1)按照要素數(shù)量從少到多;(2)按照要素數(shù)量從多到少;(3)按照要素種類,比如先研究邊,再加入角.

本課承載了提升學生思維能力的任務,如:在用六個要素可以判定三角形全等的前提下,需要探尋更為簡單的方法進行判定,體現(xiàn)數(shù)學的簡捷性;經(jīng)歷觀察圖形、分析圖形、畫圖等過程,得出判定三角形全等的三個基本事實,體現(xiàn)了公理化思想和幾何直觀的重要意義;在探究全等三角形判定方法的過程中,涉及復雜的分類問題,體現(xiàn)數(shù)學的嚴謹性;通過證明“角角邊”定理的過程,提升學生的幾何推理能力.以下展示兩種思路.

思路1按照要素從少到多的順序如圖2.

圖2

在探究過程中,要按照一定順序進行分類,在確定要素時,先確定數(shù)量,再確定種類,最后確定相對位置.要抓住變化因素和不變因素,不變因素是入手點.通過這個環(huán)節(jié),學生對分類討論的認識更加深入,學生的思維更加嚴謹,充分體會研究問題的邏輯性.值得注意的是,探究“三個要素”時,由于不是所有情況都能判定三角形全等,探究過程并沒有結束,應該繼續(xù)添加條件,直到能夠判定三角形全等.在“三個角”確定的前提下,不能增加角的條件,增加一邊后,滿足“兩角和一邊”的條件,能夠判定三角形全等,但是顯然不夠簡捷.在“兩邊及一邊對角”的基礎上增加一邊,滿足“三條邊”的條件;增加一角,滿足“兩角一邊”的條件,都能判定三角形全等,但是不夠簡捷.顯然,增加任何條件后都可以用更簡單的方法判定全等,因此得出結論,判定三角形全等的方法有四種,分別是“兩邊及夾角”、“兩角及夾邊”、“兩角及一角對邊”、“三條邊”對應相等的兩個三角形全等.具體思路如圖3:

圖3

這樣的設計體現(xiàn)了研究問題的完整思維過程,有助于學生整體把握知識框架,不僅重視結果,更重視知識的形成過程.探究過程培養(yǎng)學生的理性思維,提升學生的思維邏輯性和嚴謹性,對學生分類能力的培養(yǎng)有重要意義,有助于培養(yǎng)學生直觀想象的核心素養(yǎng).

思路2按照邊、角分類思路.

圖4

學生容易想到三條邊對應相等的兩個三角形全等,因此,判定三角形全等的條件從六個要素減少到三個要素,在此基礎上,可以尋求更加簡單的方法,先研究減少一邊的情況,發(fā)現(xiàn)不能確定三角形時,要研究增加一角的情況.然后研究減少兩邊的情況,需要增加兩個角的條件,最終探索出所有判定三角形全等的條件.

每個學生都有自己的思維特點,教師應該從學生的思維出發(fā),不能以教師的想法為中心,而是順應學生思維,培養(yǎng)學生思維的嚴謹性和考慮問題的全面性,在此過程中,學生探究問題的能力得到提升.

3 課時3——開放性活動提升學生分析問題、解決問題的綜合能力

本課安排在探究全等三角形的判定方法之后,通過之前的學習,學生初步了解全等三角形的四種判定方法,本課以開放性問題和活動為載體,幫助學生深刻理解全等三角形的判定方法;提升學生在具體問題中分析條件,選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒ㄟM行證明的意識和能力.

活動1如圖5,已知ΔABM和ΔDCM全等,請寫出適當?shù)臈l件,可以依據(jù)以下不同的判定方法證明這兩個三角形全等.

圖5

(1)角邊角:____.

(2)邊角邊:____.

(3)邊邊邊:____.

(4)角角邊:____.

通過這個開放性活動,幫助學生回顧全等三角形的四種判定方法,培養(yǎng)學生的識圖能力,強調(diào)書寫時的“對應”關系,同時,用“角邊角”、“邊角邊”和“角角邊”的方法進行判定時可以有多種添加方法,有助于提升學生的幾何直觀意識和推理能力.經(jīng)歷這個開放的學習過程,有助于學生整體把握全等三角形的判定方法,提升學生分析問題的能力,發(fā)展學生的邏輯推理能力.

活動2如圖6,AC與DB交于O,圖中有三對全等三角形,請你找一找,并選擇其中的一對全等三角形,添加可以證明它們?nèi)鹊臈l件.(添加條件盡量簡單)

圖6

全等三角形:____.

我的選擇是:____.

添加條件:____.

當兩個三角形具有特殊位置關系時,可能存在隱含的相等要素,比如常見的公共邊、公共角、對頂角,抓住這些條件能夠使問題簡化.在利用“角角邊”的方法判定全等時,要注意邊可以是兩對等角中任意一對等角的對邊.

相對于活動1,這個活動對學生的思維能力要求更高,根據(jù)已知條件判定三角形全等時,要綜合分析四種判定方法,充分利用已知條件并選擇適當?shù)姆椒ㄟM行判定.比如,對于ΔABO和ΔDCO,首先要拆解出圖形,根據(jù)已知的一對對頂角相等,在分析四種判定方法后,可以依據(jù)“角邊角”、“角角邊”、“邊角邊”等方法添加條件.通過本活動,提升學生辨識復雜圖形的能力,分析問題和解決問題的能力以及邏輯推理能力.

活動3如圖7,已知OC平分∠AOB,P為OC上一點.

圖7

問題1根據(jù)條件,你能想到什么?

問題2分別進行如下操作,你能想到什么?(三個圖形分別出現(xiàn))

(1)如圖8,過點P向∠AOB兩邊作垂線,分別交OA、OB于M、N.

圖8

(2)如圖9,過點P作OC的垂線,分別交OA、OB于M、N.

圖9

(3)如圖10,點M、N分別在OA、OB邊上,滿足OM=ON.

圖10

借助角平分線模型構造全等三角形,幫助學生學會分析已知條件,確定判定三角形全等的方法,分析思路如圖11所示.由于需要構造圖形,學生需要根據(jù)不同的判定方法進行思維的創(chuàng)造性活動,在學生思考問題的過程中,對全等三角形的幾種判定方法有整體認識,對圖形的理解也更加深刻,學生的分析問題、解決問題能力得到提升.

圖11

活動4如圖12,在ΔABC中,∠BAC的平分線AD交BC于D,你能添加一條輔助線,構造出全等三角形嗎?如果能,請?zhí)砑虞o助線,并說明理由.

圖12

本活動是活動3的延續(xù),需要學生對全等三角形的判定方法進行整體把握,在觀察圖形特征和分析條件的基礎上,需要依據(jù)不同的判定方法添加輔助線,并通過邏輯推理判定兩三角形全等.在此過程中,學生需要經(jīng)歷完整的思維過程:分析已知條件確定判定方法確定相關條件加輔助線推理證明.由于判定方法不同,所以學生需要全面考慮問題,不斷嘗試,最終找到解決問題的方法.

由角平分線可得一對等角、一條公共邊,在此基礎上,需添加另一個相等的要素判定三角形全等,在AC邊上截取AE等于AB,從而根據(jù)“邊角邊”定理判定ΔADE與ΔADB全等;作線段DE交AC于E,使∠4=∠3,根據(jù)“角邊角”定理判定ΔABD和ΔAED全等;過點D向AB、AC邊做垂線,但是需要兩條輔助線,不符合條件;也能夠想到由點D做AD的垂線,但是需要延長線段AB,也不符合條件;在AC上取一點E,使得∠AED=∠B,但是,在操作上存在困難.幾種做法如下:

(1)如圖13,在AC上截取AE=AB,根據(jù)“邊角邊”定理判定ΔABDΔAED.

圖13

(2)如圖14,作線段DE交AC于E,使∠4=∠3,根據(jù)“角邊角”定理判定ΔABDΔAED.

圖14

(3)如圖15,過AD上一點P做MN⊥AD,分別交AB、AC于M、N,根據(jù)“角邊角”定理判定ΔAPMΔAPN.或在AB、AC上截取M、N使AM=AN,根據(jù)“邊角邊”定理判定ΔAPMΔAPN(多種方法).

圖15

學生很難想到第(3)種方法,教師需要幫助學生打開思維,根據(jù)條件創(chuàng)造性地思考解決問題的辦法.這個活動能夠提升學生的幾何直觀能力、作圖能力、分析問題和解決問題的能力以及邏輯推理的能力.

以上是全等三角形單元教學的設計思路,通過實踐發(fā)現(xiàn),學生對全等三角形概念的理解以及全等三角形判定方法的整體認識水平較好,學生思維的邏輯性和完整性不斷提升,分析問題和解決問題的能力得到發(fā)展.這樣的單元教學設計思路不僅在幾何學習中適用,在代數(shù)學習中依然適用,雖然知識載體不同,但是,學習的基本路徑和方法基本相同.在本單元的教學中,開放性的問題和活動貫穿始終,這些有挑戰(zhàn)性的任務不斷激發(fā)學生進行思考,有價值的思維活動一直活躍在課堂中,思維充滿創(chuàng)造性,深度學習在持續(xù)發(fā)生.