山東省鄒平雙語(yǔ)學(xué)校(256200) 姜坤崇

本文將[1-3]等文獻(xiàn)中的若干特殊情形的結(jié)論進(jìn)行推廣,給出二次曲線與定值有關(guān)的一個(gè)重要結(jié)論及若干推論.

一、幾個(gè)定理

為明晰起見(jiàn),以下分橢圓、雙曲線、拋物線對(duì)所述性質(zhì)分別予以介紹.

定理1 給定橢圓C:=1(a > b >0),M(m,0)(m≠0,m≠±a)是x軸上的一定點(diǎn),直線L:x=是與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的定直線,過(guò)M任意引一條直線交C于P、Q兩點(diǎn),R是C上異于P、Q的任意一點(diǎn)(直線RP、RQ不與x軸垂直,以下定理同),直線RP、RQ分別交L于點(diǎn),則

定理2 給定雙曲線C:=1(a >0,b >0),M(m,0)(m≠0,m≠±a)是x軸上的一定點(diǎn),直線L:x=是與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的定直線,過(guò)M任意引一條直線交C于P、Q兩點(diǎn),R是C上異于P、Q的任意一點(diǎn),直線RP、RQ分別交L于點(diǎn),則

定理3 給定拋物線C:y2=2px(p >0),M(m,0)(m≠0)是x軸上的一定點(diǎn),直線L:x=?m是一條定直線,過(guò)M任意引一條直線交C于P、Q兩點(diǎn),R是C上異于P、Q的任意一點(diǎn),直線RP、RQ分別交L于點(diǎn)S(?m,yS),T(?m,yT),則ySyT=?2pm(定值).

限于篇幅,下面我們只給出定理1 和定理3 的證明,定理2 的證明從略.

定理1的證明如圖1,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x0,y0),則由P,R在C上可得

圖1

1?當(dāng)y1≠0(即點(diǎn)P不在x軸上)時(shí),將直線PM的方程代入C的方程,應(yīng)用①式化簡(jiǎn)得(a2+m2?2mx1)y2+2m(x1?m)y1y+(m2?a2)=0.由于y1,y2為以上關(guān)于y的二次方程的兩個(gè)根,因此由根與系數(shù)的關(guān)系知,所以

從而

由R,P,S三點(diǎn)共線得(y1?y0)=(x1?x0)(u?y0),所以

記A=2m(a2+x0x1)?(a2+m2)(x0+x1),則將②,③式代入同理得到的如下yT的表達(dá)式得:

2?當(dāng)y1=0,即P為(?a,0)(或(a,0))時(shí),易證結(jié)論亦成立(參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]).

綜上,定理1 得證.

定理3的證明如圖2,由R,P,Q三點(diǎn)在C上可設(shè),則易知直線PR的斜率,直線PR的方程為

圖2

將其與x=?m聯(lián)立,解得y=即.同理,yT=.又由P,M,Q三點(diǎn)共線可得y1y2=?2pm,故

說(shuō)明1?以上三個(gè)結(jié)論將眾多文獻(xiàn)給出的二次曲線C上的點(diǎn)R由在C的頂點(diǎn)(焦點(diǎn)所在對(duì)稱軸與C的交點(diǎn))位置推廣為C上的任意一點(diǎn),這是對(duì)問(wèn)題研究的一個(gè)較大突破; 2?在以上三個(gè)定理中,若點(diǎn)M為曲線C的焦點(diǎn),則直線L為M對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線.

二、若干推論

以上定理都有若干推論,限于篇幅,下面我們只給出定理1 的一些推論,其它結(jié)論的類似推論仿照定理1 的推論亦不難寫(xiě)出,本文從略.為簡(jiǎn)明起見(jiàn),下文將橢圓=1(a>b>0)簡(jiǎn)稱為橢圓C.

推論1 給定橢圓C,A1(?a,0),A2(a,0)是C長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),直線L:x=m(m≠±a)是一條定直線,N(n,0)(n≠m)是x軸上一定點(diǎn),R是C上異于A1,A2的任意一點(diǎn),直線RA1、RA2分別交L于點(diǎn)S(m,u)、T(m,v),則

(1)uv為定值

(2)kSN ·kT N(kSN、kT N分別表示直線SN、TN的斜率)為定值

證明在定理1 中以代m得,L:x=m.若將弦PQ置于長(zhǎng)軸位置,并視PQ為過(guò)M的弦,則由定理1 的結(jié)論得,所以

推論2 給定橢圓C,M(m,0)(m≠0,m≠±a)是x軸上一定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M任意引兩條直線l1、l2,分別交C于點(diǎn)P、Q與R、S,則直線PR與QS的交點(diǎn)N在定直線L:x=上.

證明若直線l1、l2關(guān)于x軸對(duì)稱,則不難證明點(diǎn)在直線L上(參見(jiàn)文獻(xiàn)[7]).以下設(shè)直線l1與l2不關(guān)于x軸對(duì)稱.如圖3,設(shè)直線PR、SQ、QR與L的交點(diǎn)分別為,則分別對(duì)于直線PQ及點(diǎn)R、直線RS及點(diǎn)Q應(yīng)用定理1 的結(jié)論得

圖3

由⑥、⑦兩式立得y1=y2(∵y3≠0),這說(shuō)明N1、N2重合,即直線PR與QS的交點(diǎn)N在直線L上.

在推論2 中,若將弦RS固定在橢圓的長(zhǎng)軸位置,則有

推論3 設(shè)橢圓C長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A1(?a,0),A2(a,0),M(m,0)(m≠0,m≠±a)是一定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M任意引一條直線交C于P、Q兩點(diǎn),則直線PA1、QA2的交點(diǎn)N在直線L:x=上(如圖4).推論4 給定橢圓C,M(m,0)(m≠0,m≠±a)是一定點(diǎn),直線L:x=是與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的定直線,過(guò)點(diǎn)M任意引一條直線交C于P、Q兩點(diǎn),R是C上任意一點(diǎn),直線PR、QR分別交L于點(diǎn)S、T,則kMS·kMT為定值

圖4

證明設(shè),則由定理1 得

推論5 過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F任意引一條直線交C于P、Q兩點(diǎn),R是C上任意一點(diǎn),直線RP、RQ分別交F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線L于點(diǎn)S、T,則∠SFT=90?(如圖5).

圖5