廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 李文東

一.試題呈現(xiàn)

在筆者的教學(xué)中碰到如下三個(gè)數(shù)列問題.

問題1 等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),2a4,a3,4a5成等差數(shù)列,且a3=2a22.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

問題2 數(shù)列{bn} 的前n項(xiàng)和為Sn,bn+1=Sn+2,b1=2.

(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

(2)已知an=log2bn,cn=,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.

問題3 已知數(shù)列{an} 的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=n2+5n+8,數(shù)列{bn}滿足:b1=6.bn+1=

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

上述問題求解過程如下:

問題1解答(1)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為

(2)由(1),得

所以

故數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=

問題2解答(1)bn=2n.

問題3解答(1)a1=14,an=2n+4(n≥ 2),bn=3n2n.

(2)當(dāng)n=1 時(shí),;當(dāng)n≥2 時(shí),

故

二.規(guī)律探究與推廣

可以看到,上述問題均屬于{anqn}(q >0 且q≠1)類型數(shù)列求和問題,那么上述裂項(xiàng)求和是怎么想到的呢?其內(nèi)在規(guī)律是什么?數(shù)列求和必研究通項(xiàng),我們仔細(xì)觀察上述三個(gè)求和問題中數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn),可以發(fā)現(xiàn):

對(duì)于問題1,注意到2n+1,2n+3 與2n+5 構(gòu)成等差數(shù)列,即2n+5=2(2n+3)?(2n+1),從而

將上述問題一般化,我們有下面的結(jié)論:

結(jié)論1 設(shè){an}(an≠0)為等差數(shù)列,則

結(jié)論2 對(duì)任意的數(shù)列{an}(an≠0),

對(duì)于問題2,注意到:2n?1=3n?(n+1),故

類比問題1 的推廣,我們有下面的結(jié)論:

結(jié)論3 對(duì)任意的數(shù)列{an}(an≠0),

類似的將問題3 一般化,我們有下面的結(jié)論:

結(jié)論4 對(duì)任意的數(shù)列{an}(an≠0),

結(jié)論5 對(duì)任意的數(shù)列{an}(an≠0),k∈N?,

運(yùn)用上述結(jié)論,我們可以編制如下問題:

例1 求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

解

于是

三.方法拓展與應(yīng)用

一般地,對(duì)于數(shù)列{anqn} (q >0 且q≠1),可以考慮如下的裂項(xiàng)方式求和:設(shè)an=q ·f(n+1)?f(n),則anqn=[q·f(n+1)?f(n)]qn=f(n+1)qn+1?f(n)qn,從而[f(i+1)qi+1?f(i)qi]=f(n+1)qn+1?f(1)q.其中f(n)可由an的特征采用待定系數(shù)法確定.

例2 求等比數(shù)列{an}(公比q≠1)的前n項(xiàng)和,即Sn=.

解由于qn前面的系數(shù)為常數(shù)1,因此待定部分的f(n)也為常數(shù),設(shè)為A,因此1=Aq?A,則,于是qn=(Aq?A)qn=Aqn+1?Aqn,從而

例3 求數(shù)列{(2n+1)3n}的前n項(xiàng)和Sn.

解設(shè)2n+1=3[a(n+1)+b]?(an+b),即2n+1=2an+3a+2b,故3a+2b=1,2a=2,解得a=1,b=?1.故(2n+1)3n=[3n?(n?1)]3n=n·3n+1?(n?1)·3n,故

例4 求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.

解設(shè)