江蘇省揚(yáng)州市揚(yáng)州大學(xué)(225002) 陳蕾伊

根式函數(shù)值域或最值問(wèn)題具有題型靈活多變,涉及知識(shí)面廣,解決方法多而巧的特點(diǎn).它考察了學(xué)生觀察、聯(lián)想、類(lèi)比、轉(zhuǎn)換等能力,不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),也一直是高考和競(jìng)賽的熱點(diǎn).本文將利用數(shù)形結(jié)合思想,把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形一一對(duì)應(yīng)起來(lái),“以形助數(shù)”,通過(guò)觀察根式函數(shù)的特點(diǎn),把其轉(zhuǎn)換為距離、斜率、截距、向量、圖形面積,充分利用幾何信息,快速解決問(wèn)題.

一、運(yùn)用距離

(一)運(yùn)用兩點(diǎn)間距離

將根式下的函數(shù)分別進(jìn)行配方把原函數(shù)轉(zhuǎn)換成為

形式,構(gòu)造成兩點(diǎn)間距離是解決雙根式函數(shù)值域或最值問(wèn)題最常見(jiàn)的做法,把根式函數(shù)值域或最值問(wèn)題轉(zhuǎn)換為了某線上的動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)之間的距離之和或之差的范圍問(wèn)題.

例1求函數(shù)的值域.

分析將原函數(shù)配方轉(zhuǎn)換為

其幾何意義是x軸上的動(dòng)點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(0,2),B(1,?3)的距離之和.求其值域,只需求出最值.由圖1 可知,當(dāng)A,P,B三點(diǎn)共線時(shí),有最小值,無(wú)最大值.

圖1

解將原函數(shù)變形得到y(tǒng)=,這表示x軸上的動(dòng)點(diǎn)P(x,0)到兩定點(diǎn)A(0,2),B(1,?3)的距離之和.因?yàn)閨PA+PB|≥|AB|(當(dāng)A,B,P三點(diǎn)共線時(shí),取等號(hào)),所以y≥|AB|=.故函數(shù)的值域?yàn)?

例2 求函數(shù)f(x)的最大值,其中

分析將原函數(shù)配方變?yōu)?/p>

其幾何意義是拋物線y=x2上的動(dòng)點(diǎn)P(x,x2)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(0,1)的距離之差,由圖2 可知,當(dāng)P位于P′時(shí),函數(shù)取得最大值|AB|(P,A,B不共線時(shí)可構(gòu)成一個(gè)三角形,三角形任意兩邊差小于第三邊).

圖2

解

表示動(dòng)點(diǎn)P(x,x2)到兩定點(diǎn)A(3,2),B(0,1)的距離之差,即f(x)=|PA|?|PB|,因?yàn)辄c(diǎn)P(x,x2)的軌跡是拋物線y=x2,B在拋物線內(nèi),A在拋物線外,所以當(dāng)點(diǎn)P,B,A三點(diǎn)共線且點(diǎn)B在AP之間時(shí)(即圖2 點(diǎn)P′)|PA|?|PB|最大,為|AB|(P,A,B不共線時(shí)可構(gòu)成一個(gè)三角形,三角形任意兩邊差小于第三邊).而|AB|=,所以函數(shù)f(x)的最大值是.

(二)運(yùn)用點(diǎn)到直線距離

我們通常利用點(diǎn)到直線距離來(lái)解決一類(lèi)含絕對(duì)值的根式函數(shù)值域或最值問(wèn)題.構(gòu)造一個(gè)一次函數(shù),使原函數(shù)可以表示成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離,從而利用幾何特征來(lái)求出其值域或最值.

例3 求函數(shù)f(x)=的值域.

分析構(gòu)造一條直線l:x?y+4=0,則動(dòng)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)半圓)到直線l的距離d=,故f(x)=,觀察圖3,由幾何特征可以求出d的最值,也就找到了函數(shù)的值域.

解因?yàn)?所以可視為動(dòng)點(diǎn)到直線l:x?y+4=0 的距離d.又因?yàn)镻的軌跡是一個(gè)半圓:x2+y2=2,觀察圖3,根據(jù)幾何特征,可知:當(dāng)P位于P′時(shí),有dmin=|CP′|=; 當(dāng)P位于P′′時(shí),有dmax=|CP′′|=故函數(shù)f(x)=的值域?yàn)?

圖3

(三)運(yùn)用兩條平行直線間距離

此種方法適合y=f(x)+g(x)(其中f(x)是一個(gè)一次函數(shù),g(x)是一個(gè)根式函數(shù))型函數(shù),把g(x)進(jìn)行換元,化簡(jiǎn)則得到一條二次曲線,過(guò)原點(diǎn)作與f(x)同斜率的直線l1,平移該直線與二次曲線相切得到新的直線l2,兩條平行直線之間的距離就是函數(shù)的最小值,無(wú)最大值.

例4 求的值域.

分析令(雙曲線的一支),則u=+y,作x軸的垂線與交于A、B兩點(diǎn).觀察圖像四可知,原函數(shù)的最小值就是|AB|的最小值,無(wú)最大值.

解令u=(u≥0),則16u2?4x2=3 是雙曲線的上支.作x軸的垂線與交于A、B兩點(diǎn),由圖4 可知,直線u=+b(b>0)與直線平行,當(dāng)與相切于點(diǎn)B時(shí),|AB|有最小值b,就是原函數(shù)y的最小值.

圖4

二、運(yùn)用斜率

解決分式無(wú)理函數(shù)值域問(wèn)題,我們通常可以利用斜率來(lái)求解,構(gòu)造出這樣的模型,從而將函數(shù)值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某曲線上的動(dòng)點(diǎn)與一定點(diǎn)連線的斜率的范圍問(wèn)題[1].

例5 求函數(shù)f(x)=的值域.

分析觀察函數(shù)f(x)可以發(fā)現(xiàn)f(x)是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)A(?1,?2)連線的斜率,而P的運(yùn)動(dòng)軌跡是(x?2)2+y2=1(其中y≥0),因此f(x)值域問(wèn)題轉(zhuǎn)換為了半圓上一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A連線的斜率范圍問(wèn)題.觀察圖4 可知,當(dāng)P位于P′時(shí),斜率最小;當(dāng)P位于P′′時(shí),AP′′與半圓相切,斜率最大,即可求出原函數(shù)值域.

圖5

解令y=,則有(x?2)_2+y2=1(其中1≤x≤3,0≤y≤1),故f(x)=,其幾何意義是半圓上一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A(?1,?2)連線的斜率,所以函數(shù)值域問(wèn)題就是PA斜率范圍問(wèn)題.

觀察圖形易知:當(dāng)P位于P′時(shí),斜率最小,kAP′=; 過(guò)A作半圓的切線與半圓交于P′′,設(shè)AP′′的方程為y+2=k(x+1),則圓心(2,0)到直線的距離為d==1,解得k=,由圖像可知k=,斜率最大值為k=.故函數(shù)f(x)的值域?yàn)?

三、運(yùn)用線性規(guī)劃

看到含根式函數(shù),可以把帶根部分的函數(shù)進(jìn)行換元替換,從而把原函數(shù)變成一個(gè)一次函數(shù)(目標(biāo)函數(shù)),新的變量通過(guò)化簡(jiǎn)構(gòu)成圓或二次曲線的一部分(約束條件),求函數(shù)值域問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成了線性規(guī)劃求截距最值問(wèn)題.此種方法適合y=ax+b±(ac≠0)、y=(ac≠0)、y=ax+b ±(ac≠0)、y=ax2+bx+c±(ad≠0)型函數(shù)[2].

例6 求函數(shù)的值域.

分析令則有u2+v2=9(u,v≥ 0),y=u+利用線性規(guī)劃方法,那么u2+v2=9、u≥0、v≥0 是三個(gè)約束條件,u=是目標(biāo)函數(shù),可行域就是第一象限的圓弧,如圖6 所示,則函數(shù)的值域就是目標(biāo)函數(shù)過(guò)圓弧時(shí)y的截距范圍.

圖6

解令,則有u2+v2=9 (u,v≥0),u=因此,函數(shù)值域問(wèn)題就轉(zhuǎn)變成了過(guò)圓弧上的點(diǎn)且斜率為的直線系的截距范圍問(wèn)題.

四、運(yùn)用向量

利用向量求解根式函數(shù)值域問(wèn)題,就是構(gòu)造向量,通過(guò)函數(shù)等價(jià)于向量數(shù)量積,從而由向量夾角的范圍求出函數(shù)值域.此種方法可以解決(其中f(x)+g(x)=c)型函數(shù),構(gòu)造向量a=(m,n),b=,則原函數(shù)就等價(jià)于y=a·b=|a||b|cos〈a,b〉,而構(gòu)造的向量模為定值,所以結(jié)合圖像求出兩向量夾角〈a,b〉范圍也就求出了函數(shù)的值域[3].

例7 求的值域.

分析觀察函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)2x2?1+5?2x2=4,可以直接利用向量法求解.令a=(1,1),b=,則|a|=,|b|=2,所以y=a·b=|a||b|cos〈a,b〉,顯然b的終點(diǎn)在以(0,0)為圓心,半徑為2 的圓弧上,觀察圖7 可知,〈a,b〉∈,cos〈a,b〉∈,則可求出函數(shù)的值域.

解令a=(1,1),b=,則|a|=,|b|=2,因?yàn)?4,所以b的終點(diǎn)在以(0,0)為圓心2 為半徑的圓弧上,由圖7 可知,〈a,b〉∈,cos〈a,b〉∈,所以y==a·b=|a||b|cos〈a,b〉∈.

圖7

五、運(yùn)用圖形面積

利用圖形面積只能解決根式函數(shù)最值問(wèn)題,最重要的就是構(gòu)造一個(gè)合適的幾何圖形.首先需要對(duì)根式下的函數(shù)進(jìn)行因式分解,使圖形的邊長(zhǎng)長(zhǎng)度為分解后的單因式,通過(guò)面積的等式關(guān)系使原函數(shù)化為一條邊與一個(gè)未知角度的三角函數(shù)值乘積,由三角函數(shù)值的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值.此種方法具有特殊性,下面例舉說(shuō)明.

例8 求函數(shù)f(x)的最大值,其中

分析?x2+10x?9=(x?1)(9?x),?x2+68x?256=(x?4)(64?x),這四個(gè)單因式各不相同,因此考慮構(gòu)造一個(gè)梯形,如圖8 所示.由S梯形ABCD=S?ABE+S?CDE+S?AED,可以化簡(jiǎn)得到=AE·ED·sin ∠AED,即f(x)=AE·ED·sin ∠AED,根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)可以求出原函數(shù)的最大值.

圖8

解構(gòu)造直角梯形ABCD,使得AB=,CD=,BC=BE+EC=如圖8,由S梯形ABCD=S?ABE+S?CDE+S?AED,知

于是f(x)=·sin ∠AED,故f(x)≤=.故f(x)的最大值為