胡巧君

(觀海衛(wèi)初級中學(xué)，浙江 慈溪 315315)

0 引言

2021年10月中旬，筆者有幸參加了浙江省慈溪市的優(yōu)質(zhì)課比賽，并獲得市級一等獎.賽課內(nèi)容是浙教版數(shù)學(xué)教材八年級下冊第4.1節(jié)“多邊形”第一課時.這是一節(jié)章節(jié)起始課，教材中的知識框架簡潔，知識要點(diǎn)重疊(四邊形內(nèi)角和定理小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過).面對教材中熟悉而“單薄”的內(nèi)容，如何在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行深入的探究，讓學(xué)習(xí)變得有層次、有深度、有回味，成了筆者急需突破的難點(diǎn).

研讀小學(xué)教材，筆者發(fā)現(xiàn)小學(xué)四年級下冊學(xué)習(xí)了四邊形內(nèi)角和問題，當(dāng)時通過實(shí)驗(yàn)和分割兩種方法猜想并證明了該知識點(diǎn).為了區(qū)分小學(xué)和初中階段的教學(xué)任務(wù)，筆者預(yù)設(shè)“趣”引入、“活”展現(xiàn)、“勤”互動、“妙”思維、“巧”解題、“圖”歸納這6個環(huán)節(jié)，進(jìn)行教學(xué)方式的改編和突破，力求將一節(jié)“單薄”的章節(jié)起始課變成一節(jié)飽滿的思維訓(xùn)練課.現(xiàn)將改進(jìn)后的教學(xué)片段和教學(xué)反思呈現(xiàn)，懇請各位同行雅正.

1 教學(xué)重要環(huán)節(jié)呈現(xiàn)

1.1 “趣”引入

活動1生活中常見一些由一般四邊形鑲嵌的圖形，如瓷磚鋪面、物品上圖案的設(shè)計(jì)等.教學(xué)中收集并展示這些“熟悉而又陌生”的圖片，觸發(fā)學(xué)生思考.

圖1

問題1如圖1所示的鑲嵌畫由哪種基本圖形組成？

問題2這種基本圖形的擺放是隨意的，還是有數(shù)學(xué)原理的呢？

設(shè)計(jì)意圖通過有趣的圖片，學(xué)生直觀感受到這種四邊形可以鑲嵌，但又產(chǎn)生新的疑惑：是不是任意四邊形都可以鑲嵌？為什么可以鑲嵌？怎么鑲嵌？帶著好奇心，開始探索新知.美國當(dāng)代教學(xué)設(shè)計(jì)理論家加涅認(rèn)為：有效教學(xué)的首要事件是“引起注意”.利用生活實(shí)景引起學(xué)習(xí)興趣，利用新舊知識的聯(lián)系與差異激發(fā)學(xué)習(xí)思維.因此，趣味十足的情境導(dǎo)入是新課的點(diǎn)睛之筆，更是教學(xué)的有效手段.

1.2 “活”展現(xiàn)

活動2運(yùn)用類比思想，從“三角形定義”類比得到“四邊形定義”，再推廣到“多邊形定義”.學(xué)生能說出四邊形的大概定義，但對于一些關(guān)鍵條件，如“在同一平面內(nèi)”“任意兩條邊”，類比學(xué)習(xí)時有盲區(qū).因此，筆者認(rèn)為：制作教具并設(shè)計(jì)一些“活靈活現(xiàn)”的情境教學(xué)很有必要.

教具準(zhǔn)備：在一塊軟木板上，用4顆圖釘和4根長度不同、顏色不同的線(無彈性)構(gòu)造出一個任意四邊形(如圖2).

師：四邊形的定義需要加上前提嗎？

圖2 圖3

生1：要加上前提“在同一平面內(nèi)”.如果4個點(diǎn)不在一個平面上，那么就不是四邊形了.

教具演示：拿起其中一個頂點(diǎn)往上提，此時4條邊長度沒變，但卻不是四邊形了.

教師可以補(bǔ)充反例圖片，如圖3所示立方體上的4個點(diǎn)A,B,C,D.

圖4

教具演示：拔起圖釘A,B，拉直線段AC,AD，在軟木板上固定點(diǎn)A.此時點(diǎn)A,B,C共線(如圖4)，四邊形變成了三角形.

師(追問)：還是這4條線段，為什么會變成三角形呢？

生2：因?yàn)橛袃蓷l線段在一條直線上了！

至此，探索四邊形定義的活動式教學(xué)初見成效，繼續(xù)類比，自然能得出多邊形的定義.

設(shè)計(jì)意圖在教學(xué)中，“活靈活現(xiàn)”的教具給學(xué)生帶來了幾何直觀，既有趣又印象深刻，完全摒棄了傳統(tǒng)概念教學(xué)記憶式的方法，為學(xué)習(xí)新知注入了活力.形象的教具展示勝過千言萬語.因此，在幾何教學(xué)的課堂上，要充分發(fā)揮教學(xué)智慧、開發(fā)數(shù)學(xué)創(chuàng)意，設(shè)計(jì)合理、科學(xué)的教具，借此來掃清知識盲點(diǎn)，助力提升教學(xué)效率.

1.3 “勤”互動

活動3有4個全等的四邊形，能否把4個不同角的頂點(diǎn)重合，拼成一副既不重疊、又不留空隙的圖畫？

學(xué)生利用學(xué)具，先獨(dú)立拼，再與同桌交流.教師請兩組學(xué)生到黑板上用磁力片展示不同的拼法(如圖5、圖6)：

圖5 圖6

接著，教師請學(xué)生互評，兩種拼圖有哪些共同點(diǎn)和不同點(diǎn).

生3：兩種方法的共同點(diǎn)：某一個頂點(diǎn)處，都由不同的4個角拼成；不同點(diǎn)：圖5還關(guān)注到邊的問題，把等長的邊重疊在一起.

師：如果繼續(xù)給出一些全等的四邊形，哪種方法可以繼續(xù)拼接？

設(shè)計(jì)意圖在小學(xué)教材中，實(shí)驗(yàn)過程是“把一個四邊形的4個角剪下來，拼成了一個周角”.而初中教學(xué)中是“利用若干塊(大于等于4塊)全等的四邊形，把4個不同角的頂點(diǎn)重合，拼成一副既不重疊又不留空隙的圖畫”，既驗(yàn)證了“四邊形內(nèi)角和為360°”的猜想，又拓展了思維空間，并且與引入部分的鑲嵌畫情境相呼應(yīng)，體現(xiàn)了知識的聯(lián)動性.

“勤”互動，能拓展新知的廣度和深度.初中課堂的互動應(yīng)該是常態(tài)的、活躍的；同時，也要注重思維的交流，積極培養(yǎng)師生之間、生生之間的評價能力，激發(fā)學(xué)習(xí)的主動性和趣味性.由于學(xué)生缺乏拼圖的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，教師應(yīng)給予學(xué)生充足的時間和指導(dǎo)，積累活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

1.4 “妙”思維

“勤”互動環(huán)節(jié)中的拼圖活動，可憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺推斷出結(jié)果.它給予我們探索的思路，從而發(fā)現(xiàn)結(jié)論；但在數(shù)學(xué)命題的證明中，更需要演繹推理，體現(xiàn)證明的合理性與科學(xué)性.

為體現(xiàn)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性，教師先引導(dǎo)學(xué)生對四邊形進(jìn)行分類，分為一般四邊形和特殊四邊形(長方形、梯形).對于長方形內(nèi)角和問題，借助特殊角度可以立刻得證.對于梯形，運(yùn)用“平行線的性質(zhì)定理”亦可得證.那么對于一般四邊形，該如何處理呢？有了之前的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生們已經(jīng)思緒萬千，迫不及待地想要嘗試了.借此契機(jī)，設(shè)立“先獨(dú)立思考，再組內(nèi)交流”的模式，開始探索新知的里程.最終，成功碰撞思維的火花，得到了很多“妙不可言”的方法.

方法1聯(lián)結(jié)對角線BD，分割成兩個三角形(如圖7).

圖7 圖8

拓展1以方法1為起點(diǎn)，取一點(diǎn)P，將四邊形分割成多個三角形.如何取點(diǎn)呢？根據(jù)點(diǎn)的位置，可以是邊上的點(diǎn)(如圖8)、四邊形內(nèi)任意的點(diǎn)(如圖9)，或四邊形外任意的點(diǎn)(如圖10).

圖9 圖10

小結(jié)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，將四邊形分割成若干個三角形，利用“三角形內(nèi)角和”及平角、周角知識，可證得命題.這4種分割法，體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

方法2從梯形得到靈感，嘗試過某一頂點(diǎn)作一邊的平行線(如圖11和圖12).

圖11 圖12

方法3以直角為切入點(diǎn)，過兩個相鄰頂點(diǎn)作對邊的垂線段(如圖13和圖14).

圖13 圖14

小結(jié)無論是作平行線還是垂線段，都是利用平行線的性質(zhì)和外角性質(zhì)進(jìn)行角的等量轉(zhuǎn)化.以上方法，都是“割”四邊形.繼續(xù)思考，能否用“補(bǔ)”的方法呢？

方法4延長某一組對邊補(bǔ)成三角形(如圖15).

圖15

設(shè)計(jì)意圖組織數(shù)學(xué)探究活動應(yīng)該是自然、合理、有序的，以此達(dá)成多維目標(biāo).該活動的創(chuàng)設(shè)展現(xiàn)了教師是教學(xué)活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者.通過恰當(dāng)?shù)膯栴}設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，鍛煉思維，求知求真.學(xué)生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上以及與同學(xué)互相探討的過程中.

1.5 “巧”解題

圖16

例題應(yīng)該是具有代表性的，它不僅是對本節(jié)知識的應(yīng)用，也應(yīng)該是數(shù)學(xué)思想的滲透.結(jié)合教材，選取課后習(xí)題作為例題補(bǔ)充.

習(xí)題1如圖16，四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC.求證：BE∥DF.

設(shè)計(jì)意圖該題既是對本節(jié)新知的鞏固，亦是對一題多解的探索.除了用常規(guī)的幾何推理解題外，著重介紹用代數(shù)思想解題,該方法還體現(xiàn)了符號意識.在幾何推理中，運(yùn)用符號進(jìn)行運(yùn)算和推理，是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式.

1.6 “圖”歸納

學(xué)生圍繞下列問題展開反思，并整理本節(jié)課知識思維導(dǎo)圖(如圖17).

1)學(xué)習(xí)四邊形的基本路徑是什么？

2)學(xué)習(xí)中用到了哪些數(shù)學(xué)思想？

3)你還想知道四邊形的哪些知識呢？

圖17

設(shè)計(jì)意圖“圖”歸納從課堂教學(xué)一開始就展開，以板書形式，隨著知識點(diǎn)的鋪開逐漸構(gòu)建思維導(dǎo)圖，注重形式上“形”與“字”的匹配，注重內(nèi)容上知識點(diǎn)和思想方法的融合，注重原知識和新知識的聯(lián)動.思維導(dǎo)圖歸納直觀生動，層次豐富，收獲頗多.

2 幾點(diǎn)思考

章節(jié)起始課往往是原知識與新知識之間的過渡和銜接，內(nèi)容簡單熟悉、情境設(shè)置生活化，常常會給人錯覺：教材內(nèi)容陳舊，似乎枯燥無新意，不具有足夠的挑戰(zhàn)性，好像沒啥可教的.這時，教師需要研讀教材，不僅是初中教學(xué)部分，還可以是小學(xué)的或者是高中的，了解知識點(diǎn)的“來龍去脈”，掌握學(xué)生的知識基礎(chǔ)，調(diào)整教材的呈現(xiàn)方式，補(bǔ)充課程資源，提高學(xué)習(xí)任務(wù)的挑戰(zhàn)性，讓“單薄”的內(nèi)容逐漸“豐滿”，讓“淡而無味”的學(xué)習(xí)變成“回味無窮”的體驗(yàn).

2.1 開展活動式教學(xué)，增經(jīng)驗(yàn)促新知

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中提出：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，需要在“做”和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的.本節(jié)課提供了3個活動：活動1，欣賞生活中常見的鑲嵌畫，感悟生活中的數(shù)學(xué)美，引發(fā)對新知的好奇；活動2，觀看四邊形的變形過程，關(guān)注定義的細(xì)節(jié)；活動3，動手把4個全等的四邊形拼成一副既不重疊、又不留空隙的鑲嵌畫，制造一些與學(xué)生認(rèn)知不平衡的問題，促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展.有效的活動式教學(xué)涉及“眼、手、口、腦”，從而使低層次的活動體驗(yàn)向高層次的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)升華，促使感性認(rèn)識向理性認(rèn)識飛躍.

2.2 注重思維鍛煉，激潛能提素養(yǎng)

數(shù)學(xué)是鍛煉思維的載體.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)總是注重題目的一題多解，較少關(guān)注定理證明的多種方法.本節(jié)課獨(dú)辟蹊徑，利用教材，讓探索“四邊形內(nèi)角和”定理成為思維鍛煉的絕佳迸發(fā)口.

維果茨基提出：教學(xué)中既要充分考慮到學(xué)生現(xiàn)有的發(fā)展水平，又要能根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)給學(xué)生提出更高的發(fā)展要求[1].在“四邊形內(nèi)角和”定理的探索過程中，教師應(yīng)當(dāng)預(yù)設(shè)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，先提問四邊形有哪些分類，引出特殊四邊形，再對一般四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行探索.多樣化的證明，對熟悉的知識進(jìn)行了再認(rèn)知、再創(chuàng)造，不僅提升了思維層次，更是擴(kuò)大了思維張力.

2.3 運(yùn)用導(dǎo)圖梳理，凸要點(diǎn)探未知

在學(xué)生自主探索和練習(xí)的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思.外在的知識、技能等都必須通過學(xué)生的反思體驗(yàn)這一個環(huán)節(jié)才能內(nèi)化為學(xué)生自身的東西[1].那么如何反思才能有效呢？推薦使用思維導(dǎo)圖：1)思維導(dǎo)圖層次分明，圖文并茂，方便記憶；2)教學(xué)時可動態(tài)展示知識間的關(guān)聯(lián)，形成知識串、知識網(wǎng)；3)內(nèi)容可以多角度、多維度，既可以是知識點(diǎn)間的融合，也可以是思想方法上的聯(lián)動.思維導(dǎo)圖的使用讓學(xué)生感受到新知的過去、現(xiàn)在和未來，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力.本節(jié)課中，思維導(dǎo)圖的制作貫穿整節(jié)課教學(xué)，需要教師有計(jì)劃、有節(jié)奏地展開制圖.

關(guān)注“單薄”的教學(xué)內(nèi)容，有生動的體驗(yàn)、精彩的細(xì)節(jié)、豐滿的過程、豐碩的結(jié)果，我們也能讓它從“單薄”變得“厚重”，從而真正落實(shí)核心素養(yǎng).