景昱波

(觀成武林中學(xué)，浙江 杭州 310000)

課堂是教師與學(xué)生通過(guò)知識(shí)演示、問(wèn)題互動(dòng)、同伴交流等方式傳播知識(shí)的重要陣地．為了引發(fā)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師在課堂中設(shè)計(jì)的問(wèn)題發(fā)揮著重要的引領(lǐng)作用．學(xué)生在問(wèn)題的解決過(guò)程中逐步感悟數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，積累可遷移的解題經(jīng)驗(yàn)，從而達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．筆者在浙江省杭州市初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)會(huì)議中開設(shè)了幾何專題復(fù)習(xí)課——對(duì)一個(gè)幾何圖形的探究，現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)予以呈現(xiàn)，并提出相應(yīng)的教學(xué)思考．

1 基本情況分析

1.1 適用范圍

本節(jié)課是中考一輪復(fù)習(xí)完后的幾何專題復(fù)習(xí)課，學(xué)生已對(duì)初中所學(xué)的基本幾何圖形的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行了復(fù)習(xí)強(qiáng)化．本節(jié)課通過(guò)對(duì)一個(gè)以菱形為背景的幾何圖形進(jìn)行探究，意在引導(dǎo)學(xué)生從整體與局部的關(guān)系、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的視角展開研究．這樣的研究方法與之前基本幾何圖形的學(xué)習(xí)保持了結(jié)構(gòu)的整體性和邏輯的一貫性，對(duì)研究其他復(fù)雜的幾何圖形同樣具有示范性．

1.2 教學(xué)內(nèi)容分析

幾何是研究圖形的形狀、大小與位置關(guān)系的學(xué)科，對(duì)于幾何圖形的研究可以從定性分析到定量計(jì)算，其中定性分析可以先從整體圖形的形狀關(guān)系入手，再研究局部的要素，如邊、角之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．而在定量計(jì)算時(shí)，通過(guò)邊的計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生歸納出初中階段求長(zhǎng)度的幾種常用方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、邏輯推理能力．將圖形從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)可以進(jìn)一步去研究在變化過(guò)程中不變的關(guān)系，并利用函數(shù)思想研究變量間的關(guān)系．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：從整體到局部、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的視角對(duì)幾何圖形展開研究．

1.3 學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷初中階段各種幾何圖形的學(xué)習(xí)，對(duì)研究幾何圖形的基本思路與方法有一定的了解，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)提供了經(jīng)驗(yàn).九年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備較復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算能力和幾何論證能力，為本節(jié)課提供了能力基礎(chǔ)．學(xué)生在研究復(fù)雜圖形時(shí)，可能存在的問(wèn)題有:在定性分析時(shí)可能會(huì)從局部的圖形要素入手，而不知可以從整體出發(fā)再到局部展開研究;在邊角的定量計(jì)算時(shí)，學(xué)生會(huì)有自己擅長(zhǎng)的方法，但是可能缺少系統(tǒng)的方法總結(jié);當(dāng)圖形在動(dòng)態(tài)過(guò)程中產(chǎn)生變量，學(xué)生可能對(duì)于分析變量之間的關(guān)系存在問(wèn)題．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)：逐步形成對(duì)復(fù)雜幾何圖形從整體到局部、從定性到定量、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的有序的研究思路．

1.4 教學(xué)目標(biāo)

1)通過(guò)活動(dòng)設(shè)計(jì)，能從整體到局部對(duì)幾何圖形進(jìn)行定性分析．達(dá)成該目標(biāo)的標(biāo)志是：經(jīng)歷自主探究圖形的過(guò)程，理解幾何是研究圖形的形狀、大小與位置關(guān)系，定性分析時(shí)能形成從整體到局部展開研究的思路．

2)能運(yùn)用相似三角形、勾股定理、面積法、銳角三角函數(shù)等方法，解決求幾何長(zhǎng)度的定量問(wèn)題．達(dá)成該目標(biāo)的標(biāo)志是：通過(guò)給圖形中的要素(邊、角)賦值，能利用相似三角形、勾股定理、面積法、銳角三角函數(shù)等方法進(jìn)行定量計(jì)算，并對(duì)方法進(jìn)行歸納．

3)通過(guò)圖形從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的變化，能進(jìn)一步探究圖形中要素的變化規(guī)律．達(dá)成該目標(biāo)的標(biāo)志是：圖形在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中，能利用函數(shù)的思想去研究變量的變化規(guī)律．

2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

2.1 開放問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的探索興趣

圖1

活動(dòng)1如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是BC上一點(diǎn)，∠EAF=60°，聯(lián)結(jié)EF交AC于點(diǎn)P.

問(wèn)題1請(qǐng)根據(jù)所給條件仔細(xì)觀察圖形，你能得到哪些結(jié)論？將其寫在黑板上．

學(xué)生發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：△AEC≌△AFD，△AEB≌△AFC，△AEB∽△EPC，△AEC∽△FPC∽△APE．△AEF是等邊三角形，有許多相等的邊和角，例如BE=CF，∠EAC=∠FAD等，以及點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)共圓．

教學(xué)說(shuō)明該題原本是一個(gè)幾何綜合題，這里將其改編為一個(gè)開放的問(wèn)題，讓學(xué)生獨(dú)立思考，從而得出盡可能多的定性分析的結(jié)論，進(jìn)而起到自主復(fù)習(xí)、主動(dòng)學(xué)習(xí)的作用，同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)這一基本圖形的深度挖掘．當(dāng)然教師仍需要通過(guò)問(wèn)題串的設(shè)置，讓學(xué)生有意識(shí)地從整體到局部進(jìn)行定性分析，理清研究脈絡(luò)．

追問(wèn)1有同學(xué)發(fā)現(xiàn)了△AEC≌△AFD，△AEB≌△AFC，你能進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明嗎？

追問(wèn)2圖形之間除了全等關(guān)系以外，還有什么關(guān)系？

追問(wèn)3你發(fā)現(xiàn)哪些三角形間的相似關(guān)系？請(qǐng)簡(jiǎn)單證明.

追問(wèn)4以上結(jié)論是從哪個(gè)角度獲得的？還可以從哪些方面獲得結(jié)論呢？

生1：以上是從圖形之間的形狀關(guān)系獲得的結(jié)論，還可以從單一圖形的形狀判定獲得結(jié)論，例如△AEF是等邊三角形．

生2：還可以從圖形的局部要素，即邊與角的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系出發(fā)獲得結(jié)論，例如BE=CF，∠EAC=∠FAD，以及點(diǎn)A，E，C，F(xiàn)共圓．

追問(wèn)5根據(jù)剛才兩位同學(xué)的補(bǔ)充，請(qǐng)問(wèn)如何才能更全面地對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行定性分析呢？

教學(xué)說(shuō)明學(xué)生寫在黑板上的結(jié)論可能是無(wú)序的、無(wú)關(guān)系的，此時(shí)需要教師通過(guò)巧妙地設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生理清結(jié)論間的關(guān)系，并自主總結(jié)出在定性分析幾何靜態(tài)圖形時(shí)，可以按照整體圖形的形狀、圖形間的形狀關(guān)系以及圖形要素之間的數(shù)量和位置關(guān)系進(jìn)行分類．

2.2 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，引發(fā)學(xué)生回顧基本方法

圖2

活動(dòng)2如圖2，在活動(dòng)1的圖形背景下，若點(diǎn)E是線段BC的四等分點(diǎn)，BE>EC，且CE=1．

1)求點(diǎn)E到AB的距離；

2)求AE，CP的長(zhǎng)；

問(wèn)題1如何解決第1)和第2)小題？請(qǐng)分享一下你的思路．

教學(xué)說(shuō)明通過(guò)第1)和第2)小題，引發(fā)學(xué)生思考求線段長(zhǎng)度的3種一般方法：面積法、相似法、勾股法．當(dāng)然不同的學(xué)生會(huì)有自己擅長(zhǎng)的方法，但是通過(guò)學(xué)生間的交流，讓學(xué)生初步體會(huì)求長(zhǎng)度問(wèn)題的一般方法，激活學(xué)生的思路，為后續(xù)解決第3)小題做鋪墊．

思路1聚焦相似三角形，解決問(wèn)題.

1)大部分學(xué)生會(huì)結(jié)合上一小題所得的線段AE，CP的長(zhǎng)以及題干條件，利用△AEP∽△FPC，分別求得EP，PF的長(zhǎng)，從而得解．

圖3 圖4

思路2聚焦勾股定理，解決問(wèn)題.

思路3聚焦面積法，解決問(wèn)題.

圖5

教學(xué)說(shuō)明教師通過(guò)問(wèn)題設(shè)置，驅(qū)動(dòng)學(xué)生解決問(wèn)題，并在經(jīng)驗(yàn)分享中比較不同思路之間的異同，從而歸納線段求長(zhǎng)度的常用方法有:相似三角形、勾股定理、面積法、銳角三角函數(shù)等．從活動(dòng)1對(duì)復(fù)雜圖形有序的定性分析，再到活動(dòng)2對(duì)其邊的定量計(jì)算，目的在于提高學(xué)生“從挖掘圖形中的關(guān)系到運(yùn)用關(guān)系解決問(wèn)題”的能力，真正做到在課堂上發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、推理與運(yùn)算的能力，注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

2.3 問(wèn)題進(jìn)階，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

圖6

活動(dòng)3如圖6，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，∠EAF=60°，聯(lián)結(jié)EF交AC于點(diǎn)P.

問(wèn)題1在活動(dòng)1的靜態(tài)圖形下得到的結(jié)論在動(dòng)態(tài)過(guò)程中仍然成立嗎？

追問(wèn)1請(qǐng)大家和之前的結(jié)論一一對(duì)照，并進(jìn)行證明.

師生活動(dòng)教師利用幾何畫板反復(fù)讓點(diǎn)E進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，學(xué)生觀察，并給出幾何論證：靜態(tài)下的結(jié)論在動(dòng)態(tài)過(guò)程中仍然成立.學(xué)生在論證過(guò)程中，理解在動(dòng)態(tài)過(guò)程中需在“變”中尋“不變”.

教學(xué)說(shuō)明當(dāng)靜態(tài)圖形探究完后，自然而然聯(lián)想到“若是動(dòng)態(tài)圖形，則情況會(huì)怎樣”，于是問(wèn)題的難度得到提升.同時(shí)在“變”中尋找“不變”的關(guān)系，這樣的探究思路符合幾何圖形研究的一般思路，為后續(xù)研究其他動(dòng)態(tài)幾何圖形奠定基礎(chǔ)，有利于學(xué)生進(jìn)行深度探究.

問(wèn)題2在圖6的背景下，圖形動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中有哪些變化的量，它們是如何變化的？

生1：在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)變化的量有線段的長(zhǎng)度，例如AE，AP，還有△AEF和△ECF的面積.

追問(wèn)1若BC=4，則當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AEF的面積最??？

追問(wèn)2若BC=4，則在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段AP如何變化？

追問(wèn)3你用什么方法表示變化規(guī)律？

圖7

師生活動(dòng)學(xué)生通過(guò)幾何畫板可以發(fā)現(xiàn):在點(diǎn)E的變化過(guò)程中，AP先變小后變大．而在表示變化規(guī)律時(shí)存在問(wèn)題，教師通過(guò)引導(dǎo)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在動(dòng)態(tài)過(guò)程中△AEC∽△APE始終成立，可得AE2=AP·AC.如圖7，作AM⊥BC交BC于點(diǎn)M.設(shè)BE=x，則

EM=|2-x|，

從而

AE2=EM2+AM2=x2-4x+16.

再結(jié)合AE2=AP·AC，可得

從而可利用關(guān)于線段BE的函數(shù)來(lái)表示線段AP的長(zhǎng)度變化.

追問(wèn)4我們還可以研究哪些變化的量？它們?nèi)绾巫兓汕笫裁?，運(yùn)用什么方法來(lái)求？

教學(xué)說(shuō)明圖形在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中，存在變化的量，學(xué)生能夠通過(guò)幾何直觀發(fā)現(xiàn)圖形是如何變化的.可是，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)“怎樣變化，如何刻畫”存在一定的困難.教師通過(guò)引導(dǎo)，結(jié)合之前探索的“變”中“不變”的結(jié)論，幫助學(xué)生利用函數(shù)的思想去研究變量的變化規(guī)律，從而達(dá)成教學(xué)目標(biāo);最后再次利用開放的設(shè)問(wèn)，激起學(xué)生的研究興趣，將學(xué)生的思維層層遞進(jìn)，促進(jìn)學(xué)科的深度學(xué)習(xí)．

2.4 提問(wèn)小結(jié)，幫助學(xué)生梳理思路

1)本節(jié)課我們是如何研究靜態(tài)幾何圖形的？

2)定量計(jì)算的常用方法有哪些？

3)本節(jié)課我們是如何研究動(dòng)態(tài)幾何圖形的？

圖8

課后練習(xí)1如圖8，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD上的點(diǎn)，且CE=CF，聯(lián)結(jié)AE，EF．記△CEF的面積為m，△AEF的面積為n．

1)證明：△ABE≌△ADF；

2)若AE⊥BC，CF∶AE=2∶3，求sinD；

3)設(shè)BE∶EC=a，m=3-a，試說(shuō)明當(dāng)a取何值時(shí)，n的值最大，并求出n的最大值．

教學(xué)說(shuō)明通過(guò)提問(wèn)小結(jié)和適時(shí)的板書幫助學(xué)生形成復(fù)雜幾何圖形的研究思路．教師在教學(xué)過(guò)程中不僅要教給學(xué)生知識(shí)，而且要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)整理，并進(jìn)行歸納與總結(jié)，從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生．最后學(xué)生通過(guò)有效的練習(xí)，將方法進(jìn)行遷移與應(yīng)用，從而做到真正的理解與運(yùn)用．

3 教學(xué)思考

所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程．深度學(xué)習(xí)應(yīng)具備的主要特征有：1)知識(shí)的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)；2)問(wèn)題的本質(zhì)與變式；3)方法的遷移與應(yīng)用．

3.1 有效問(wèn)題促進(jìn)學(xué)生形成知識(shí)的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)

本節(jié)課是中考幾何復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)對(duì)于所學(xué)的幾何圖形的基礎(chǔ)知識(shí)有所復(fù)習(xí)．在活動(dòng)1中，利用開放性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度對(duì)幾何圖形進(jìn)行定性分析，并說(shuō)出所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．隨后教師巧妙地設(shè)置問(wèn)題串，幫助學(xué)生理清結(jié)論背后的基礎(chǔ)知識(shí)和它們之間的聯(lián)系．在活動(dòng)2中，利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生聚焦定量計(jì)算中的求線段長(zhǎng)度問(wèn)題，在學(xué)生間的相互交流后，歸納解決問(wèn)題的基本方法．通過(guò)兩個(gè)活動(dòng)中的有效提問(wèn)，學(xué)生明確了知識(shí)間的邏輯關(guān)系，整理了問(wèn)題解決的方法，并逐步形成了從整體到局部、從定性分析到定量計(jì)算的研究思路．

3.2 有效問(wèn)題幫助學(xué)生理解問(wèn)題的本質(zhì)與變式

整節(jié)課由一個(gè)主旋律、兩個(gè)樂(lè)章組成，這里的主旋律是指幫助學(xué)生理清復(fù)雜幾何圖形的研究思路，兩個(gè)樂(lè)章指的是復(fù)雜圖形在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)情況下的聯(lián)系與不同．初中階段正是學(xué)生邏輯思維和抽象能力形成、完善、提升的重要階段[1]．在學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)與聯(lián)系，建立深度的探究意識(shí)，形成解決問(wèn)題的思路是教師應(yīng)該關(guān)注的．在活動(dòng)3中，設(shè)計(jì)進(jìn)階性的問(wèn)題，先讓學(xué)生明確圖形在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中，需要關(guān)注“變”中的“不變”，思考活動(dòng)1中所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立，再讓學(xué)生關(guān)注變量，思考用函數(shù)的方法表示變量間的關(guān)系．最終幫助學(xué)生理解“無(wú)論問(wèn)題如何變化，其本質(zhì)都是挖掘圖形中的關(guān)系”并運(yùn)用關(guān)系去解決問(wèn)題.

3.3 有效問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法的遷移與應(yīng)用

本節(jié)課在教學(xué)過(guò)程中，教師通過(guò)有效的提問(wèn)幫助學(xué)生充分挖掘問(wèn)題的本質(zhì)，在變化和應(yīng)用中促使學(xué)生深入思考[2]，形成解決問(wèn)題的研究思路，即在研究復(fù)雜幾何圖形中從整體到局部、從定性到定量、從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的研究思路．課后通過(guò)有效的練習(xí)，進(jìn)行方法的遷移與應(yīng)用．當(dāng)然除了數(shù)學(xué)知識(shí)和方法外更需要注重?cái)?shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)形成、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程中，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括．而數(shù)學(xué)活動(dòng)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的標(biāo)志．

本節(jié)課一直關(guān)注發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、推理能力與運(yùn)算能力．因此有深度的課堂就需要教師在教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，從而使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有效地提升核心素養(yǎng)．