唐 蕾， 王羅那， 唐笑敏

(湖州師范學院，浙江 湖州 313000)

有教師形象地將習題比作樹葉，將知識和方法比作樹根[1].樹葉會有新生和凋落的更迭，但根深蒂固，關系著整棵樹的生長.教學中會出現(xiàn)學生明明聽懂了，但做題時卻依舊無從下筆的現(xiàn)象，這是因為學生只看見了“葉”，沒有抓住“根”，局限于具體問題中對教師解法的認同而未掌握解題方法，沒有形成自己分析解決問題的思維結(jié)構.專題復習課以習題作為復習的主要載體，在教師的有效引導和幫助下，學生認知層次循序漸進，最終實現(xiàn)對知識體系和思想方法的感悟和內(nèi)化.

1 問題提出

對大多數(shù)學生而言，復習課的內(nèi)容是熟知的、方法是熟悉的、過程是熟練的.缺乏新意和針對性的組織和教學，必然會使學生產(chǎn)生審美疲勞和倦怠情緒，失去對課堂的興趣.雖然復習課的效果一定程度上依賴于學生“熟能生巧”，但是機械重復的練習增加了學生的學習強度和教師的工作負擔，卻不能取得與之相匹配的收獲.問題的原因并非習題本身，而在于習題呈現(xiàn)的形式.

傳統(tǒng)復習課往往采用“知識羅列—例題講解—練習鞏固—課堂小結(jié)”的模式，看似有對學生的啟發(fā)引導，實則是“教師講、學生聽，給題目、做題目”的被動式教學方法[2].專題復習課通過對知識、方法、能力或?qū)W生暴露出的同類型問題進行創(chuàng)造性分析與整合，改變學生單向?qū)W習、被動接受的學習狀態(tài)，促進學生主動探究、主動參與.數(shù)學專題復習課并不是難題、易錯題簡單地堆砌搭建，更關注知識的整體性和系統(tǒng)性，注重學生綜合能力的培養(yǎng)與提升，以方法為指導，著力提高學生知識內(nèi)化的實效.

由于理念與實踐的偏差，數(shù)學專題復習課往往存在“三多三少”的問題：教師講得多，提煉得少；學生做得多，思考得少；現(xiàn)成資料多，自主設計少[3].因此即便教師采用思維導圖等方式強行將知識以框架體系的形式呈現(xiàn)，用大量同類型的題目強化共通模型的建立，在學生的認知層面依然是零散、孤立的[4].數(shù)學專題復習課的有效實施關鍵在于激發(fā)學生主動探究的欲望，需要教師通過巧妙的教學設計與靈活的課堂組織，調(diào)動學生的學習情感.

那么如何營造沉浸式學習情境，激發(fā)學生學習的主動性？如何挖掘知識或問題背后的共性與聯(lián)系，持續(xù)推動教學進程？如何進行難點教學前的引導與銜接，實現(xiàn)學生思維與能力的穩(wěn)步提升？此外，在課堂教學過程中，學生對知識的理解和應用不盡相同，能力水平不在同一起跑線，如何克服學生能力上存在的差異和短板，應對學生課堂表現(xiàn)中的不可控因素？這些都是教師必須思考和應對的問題.筆者以“一元二次方程的應用”為例，教師精心設計復習題，精準實施課堂教學，為專題復習課教學提供一些建議.

2 案例呈現(xiàn)

“一元二次方程的應用”是一節(jié)典型的專題復習課.教師以掌握方程思想為核心目標，以枇杷產(chǎn)業(yè)相關問題為主線，通過枇杷的產(chǎn)量來研究增長率問題，通過枇杷的包裝來研究面積問題，通過枇杷的銷售來研究利潤問題，并在原問題的基礎上增加變式訓練，逐步拓寬問題的廣度和深度，讓學生在解決問題中體會等量關系的內(nèi)涵，積累活動經(jīng)驗，不斷提升解決實際問題的能力.具體問題如下：

問題1(增長率問題)由于科學種植，枇杷的產(chǎn)量不斷增長.2020年枇杷的畝產(chǎn)是1 000千克，2022年畝產(chǎn)達到了1 440千克.若每年的增長率相同，求枇杷的畝產(chǎn)年增長率.

變式1將“若每年的增長率相同，求枇杷的畝產(chǎn)年增長率”改為“2022年增長率是2021年的增長率的2倍，求2021年畝產(chǎn)增長率”.

問題2(面積問題)果農(nóng)制作枇杷的包裝盒.方法如下，先用一張長90厘米、寬80厘米的長方形紙板裁去角上4個小正方形后，折成無蓋長方體紙盒.若底面積為600平方厘米，求這個紙盒的高.

變式2果農(nóng)改用一張長為100厘米、寬60厘米的長方形硬紙板，在角上裁去2個小正方形和2個長方形，做成一個有蓋的紙箱.若底面積為600平方厘米，求裁去的小正方形的邊長.

問題3(利潤問題)果農(nóng)與超市合作，當售價為每箱70元時，平均每天可售出100箱，每箱的毛利潤為24元，果農(nóng)每個紙箱的成本為2元，每天還要支付攤位費300元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)每降價1元，可多售10箱，要使每天利潤達2 220元，售價應為多少？

變式3果農(nóng)開展枇杷采摘互動，門票為120元/人.按原價售出，平均每天有160個顧客，這樣會使得有枇杷囤積，因此果農(nóng)準備降價推銷.門票價格每降5元，可增加20人，但門票不能低于80元/人，判斷果農(nóng)的收入能達到25 600元嗎？

教師通過對題目的改編與組織，在“講練結(jié)合”的教學結(jié)構中注入了創(chuàng)新的靈魂.學生不是為了做題而做題，而是在運用他們的知識和經(jīng)驗，解決生活中的數(shù)學問題.在課堂教學中，學生表現(xiàn)積極，氣氛活躍，上臺板書、師生交流等多種教學情境頻繁呈現(xiàn)，充分實現(xiàn)了有效教學.

3 案例分析及建議

3.1 以生活和教材為出發(fā)點，精心創(chuàng)設問題情境

學生所在地區(qū)以枇杷種植而聞名，教師帶領學生“走進”枇杷園，一起解決枇杷種植、生產(chǎn)、銷售過程中所遇到的問題.這不僅打破了單調(diào)緊張的課堂氛圍，更將學以致用的理念傳遞給學生，讓學生在課堂教學中逐步學會“用數(shù)學的眼光看世界，用數(shù)學的思維思考世界，用數(shù)學的語言表達世界”.在浙教版《數(shù)學》八年級下冊教材中，一元二次方程的應用包含增長率問題、面積問題和利潤問題.因此在專題復習課上，教師緊緊圍繞這3類問題，通過枇杷生產(chǎn)、包裝和銷售的產(chǎn)業(yè)鏈，將問題自然而然地串聯(lián)起來.學生能夠得心應手地發(fā)現(xiàn)并理解生活問題中的數(shù)學關系，為進一步深入研究做好充分準備.

教學開展的前提是讓學生“跳一跳、夠得著”.一方面需要結(jié)合教材和學生的生活經(jīng)驗，搭建合適的起跳平臺，另一方面需要設置合理的問題，拓展發(fā)展的空間.專題復習課的初始也應該根據(jù)學生的知識與經(jīng)驗設置問題.教材作為課程的重要載體，是師生進行教學活動的依據(jù)，要使學生在復習課上能夠“想得到”，就要以教材為源頭，精心設計習題，確保習題形式與難度的科學性.同時，生活化的場景可以有效調(diào)動學生的學習積極性，在一定程度上避免學生產(chǎn)生非知識性的理解障礙.

3.2 以問題和變式為驅(qū)動力，著力提高解題能力

利用一元二次方程解決問題的一般步驟為：設未知數(shù)、列方程(找等量關系)、解方程和作答.復習課的重點是幫助學生領悟問題中的等量關系，將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言.例如，在增長率問題中，先研究每年枇杷產(chǎn)量增長率相同的情況，再在此基礎上進行變式，添加增長率的變化關系，使等量關系式也發(fā)生相應變化.解決這兩個問題后，再進行比較，學生更容易理解等式中每一項的意義.同樣，面積問題和利潤問題中也蘊涵著“變”與“不變”的奧秘，通過問題和變式引導學生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律，從而對“列方程”這一步驟有更深刻的感悟.

問題和變式在教學過程中起到驅(qū)動作用，好的問題串能夠有效推動課堂發(fā)展，最終實現(xiàn)教學目標.相比于學生的問題意識，教師的問題意識更為重要.教師應當發(fā)揮“引路人”的作用，引導學生剖析問題本質(zhì)，打破思維局限，總結(jié)通性通法[5].具體而言，一是根據(jù)教學目標合理創(chuàng)設問題，要確保學生深入研究問題“不偏航”，從而避免學生思維“走彎路”“繞遠路”；二是注重問題設計的難度梯度，要體現(xiàn)知識的遷移，在“求變”中發(fā)現(xiàn)“不變”，為學生搭建問題解決的階梯，保證學生“跟得上”“不掉隊”.

3.3 以拓展和延伸為突破口，實現(xiàn)學生思維突破

對能力較強的學生，通過新授課的學習足以熟練掌握相關知識，能夠自行構建知識網(wǎng)絡.因此，在復習課上他們會達到一種能解決任何問題的平衡狀態(tài)，會感覺意猶未盡，還有余力解決更深層次的問題.專題復習課的目的不僅是深化和鞏固必修內(nèi)容，更在于進一步提升學生的學習能力和數(shù)學素養(yǎng).這需要教師的教學設計能夠使學生產(chǎn)生已知和未知之間的“壓力差”，適當拓展和延伸就是幫助學生打破這種平衡狀態(tài)的突破口.

本節(jié)課中面積問題研究的是如何裁剪長方形紙板、制作枇杷的包裝紙盒(箱).首先，在規(guī)定裁剪方式(裁去長方形紙板4個角上的小正方形，如圖1)的情況下，求紙盒的高(紙板大小與紙盒底面積已知).變式問題不限制具體裁剪方法(在紙板4個角上裁去兩個小正方形和兩個長方形即可，如圖2)，設計出滿足條件(紙板大小與紙箱底面積已知)的有蓋紙箱.此變式未脫離有關紙板面積的等量關系，并能激發(fā)學生的創(chuàng)造力和動手能力，還可以強化學生分類討論的思想.但是課堂反饋并不理想，長方體展開圖種類繁多，假定不同的底面會列出不同的等式，學生毫無頭緒也在情理之中.教師在這里只是將題目難度進行延伸，而缺少相應知識的拓展.因此，在解決這個變式問題前，教師應加入有關長方體展開圖原理的介紹，根據(jù)題目條件與學生共同討論，確定出可能的情況(裁剪兩個長方形和兩個正方形的位置)，再讓學生獨立完成.設計難題并不是為了讓學生望而卻步，而是能夠讓他們真正從中有所獲.

圖1 圖2

3.4 以互動和交流為主基調(diào)，營造良好的課堂氛圍

在課堂教學中，教師常常會請學生解題板演或闡述解題思路.這是及時有效檢驗學生掌握知識的有效方式，同時學生也會在展示中暴露一些問題，有利于教師及時糾正學生的錯誤.但是，教師通常遵循自愿的原則選擇學生，這導致在大多數(shù)情況下，都是準備充分或能力較強的學生有機會得到展示，而真正在講解中有困難的學生卻沒有機會也不愿意將自己的問題表現(xiàn)出來.

在本節(jié)課中，容易出現(xiàn)將學生回答代替教師講解的現(xiàn)象.如果學生的板演或回答是正確的，就自然而然進入下一個環(huán)節(jié).雖然學生的回答是正確的，但表述的邏輯性和規(guī)范性還不能達到教師的水平，并且思維過程和方式存在一定的約束性和主觀判斷.教師明白學生的意思，而能力較弱的學生還云里霧里，無法跟上節(jié)奏，知其然而不知所以然，聽了一節(jié)課，依舊沒聽懂，在獨立解題時仍然不會做.

復習課的最佳效果就是讓不同層次的學生都能有所收獲，要考慮到學生的差異性，讓不同能力層次的學生都能在課堂上獲得話語權.一方面教師要重視自身的課堂表達，反復斟酌講解思路和表達方式，對每一道具有代表性的題目需及時總結(jié)；另一方面教師要營造平等交流的課堂氛圍，鼓勵、引導學生勇于表達自我、敢于暴露自身問題.

3.5 以創(chuàng)造和生成為生長點，提升數(shù)學的教學價值

學生提出超出課堂預設的問題或想法時，應該怎么辦？這是許多教師都會面臨的兩難抉擇.深入探討，可能會打亂教學節(jié)奏，面臨無法完成教學任務的困境；簡單敷衍，必然會挫傷學生的積極性，錯失發(fā)展學生創(chuàng)造性思維的機會.在本節(jié)課利潤問題的變式創(chuàng)新中，果農(nóng)開展枇杷采摘互動，門票為120元/人，平均每天有160個顧客；門票價格每降5元，可增加20人，但門票不能低于80元/人，判斷果農(nóng)的收入能否達到25 600元.在完成此題目后，有學生提出，應不應該考慮果園有沒有足夠的枇杷供游客采摘的問題.教師稍加思考，表揚了該學生考慮全面，在完成解答后能夠及時反思結(jié)果是否符合實情，這是做應用題的良好習慣，并引導學生思考“門票不低于80元/人的限定條件是否也代表了果園最大容納游客的人數(shù)”，該學生恍然大悟.

復習課本身就是一個再創(chuàng)造的過程，對學生“奇思妙想”的尊重與肯定也為學生思維的“生長”提供了一片沃土.教師要留給學生發(fā)揮的空間，并且充分利用學生的生成資源進行再設計、再創(chuàng)造和再利用，這不僅能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)，激發(fā)學生的學習效能，發(fā)展學生的心理品質(zhì)，更是對教學的促進和升華，實現(xiàn)教學相長.

復習課以“知新”為目的，以解題作為承載學生思維發(fā)展的手段.教師在進行教學設計和課堂組織時，要利用層層推進的問題，幫助學生掌握知識層面和思想層面的精髓.同時，也要關注不同層次學生的需求，發(fā)揮課堂教學本身對所有學生的教育教學價值.

即便有大量理論指導，在實際教學過程中，教師和學生依舊會面臨各種問題和突發(fā)狀況.在專題復習課上，教師的講解引導和學生的主動探究需要一個相互磨合的過程.只有教師秉著以學生發(fā)展為本的教育理念，調(diào)動自身教學的創(chuàng)造性，才能激發(fā)學生探索的熱情，逐步構建“高效型”專題復習課堂.