黃 振，柏正堯 ，郭少杰

(1. 云南大學(xué)信息學(xué)院，云南 昆明 650500；2. 中國(guó)科學(xué)院云南天文臺(tái)，云南 昆明 650216)

頻譜分析是信號(hào)處理的重要技術(shù)手段之一，通過(guò)對(duì)頻譜構(gòu)成和分布進(jìn)行分析，可以獲取信號(hào)的關(guān)鍵特征。針對(duì)高頻窄帶信號(hào)，在滿足香農(nóng)采樣定理的前提下，我們采用較高速率模數(shù)轉(zhuǎn)換器對(duì)信號(hào)采樣并進(jìn)行樣本數(shù)據(jù)分析。目前，最高速率的模數(shù)轉(zhuǎn)換器無(wú)法滿足頻譜分析的需求，因此，研究人員對(duì)信號(hào)的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)進(jìn)行分析，針對(duì)自身或通過(guò)數(shù)學(xué)變換后具有稀疏性質(zhì)的信號(hào)，提出了壓縮感知理論[1-2]。壓縮感知理論主要包含前端的壓縮采樣系統(tǒng)和后端的信號(hào)重構(gòu)兩部分，相比傳統(tǒng)的采樣技術(shù)，壓縮感知理論將采樣和壓縮合二為一，降低了采樣速率、數(shù)據(jù)傳輸帶寬，節(jié)省了存儲(chǔ)空間。近幾年，壓縮感知的研究?jī)?nèi)容為重構(gòu)算法的改進(jìn)和實(shí)際應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用的誤差允許范圍內(nèi)，壓縮感知相關(guān)理論能以較低的采樣速率對(duì)稀疏信號(hào)進(jìn)行亞奈奎斯特采樣，并完美地重構(gòu)輸入信號(hào)。但針對(duì)高頻窄帶信號(hào)處理的壓縮感知理論指導(dǎo)實(shí)際的應(yīng)用研究不足，在理論研究中的輸入信號(hào)模型是時(shí)域長(zhǎng)度設(shè)定好的信號(hào)序列，即頻譜的分辨率也設(shè)定好了，未能有效地指導(dǎo)實(shí)際應(yīng)用中如何提高信號(hào)頻譜的分辨率。

在天文觀測(cè)中，射電天文信號(hào)的譜線觀測(cè)是研究宇宙的重要方式，通過(guò)對(duì)譜線進(jìn)行分析可以診斷天體的基本物理?xiàng)l件，如動(dòng)能溫度、總粒子數(shù)密度、速度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等[3]。射電天文信號(hào)的譜線觀測(cè)對(duì)終端設(shè)備的頻譜分辨率提出了很高的要求[4]，為了提高觀測(cè)譜線的頻譜分辨率，在采樣速率一定的情況下增加采樣時(shí)長(zhǎng)，需消耗處理器內(nèi)部的乘法器、累加器以及存儲(chǔ)單元等資源。在射電天文觀測(cè)中，一些指定譜線在頻域具有稀疏特性，因此，本文把壓縮感知理論應(yīng)用到射電天文信號(hào)觀測(cè)中，通過(guò)對(duì)前端的調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器[5]采樣系統(tǒng)和正交匹配追蹤[6]重構(gòu)算法進(jìn)行分析，實(shí)現(xiàn)低速模數(shù)轉(zhuǎn)換器對(duì)高頻窄帶信號(hào)的壓縮采樣，可以接近無(wú)失真地重構(gòu)輸入信號(hào)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，在采樣點(diǎn)數(shù)低于奈奎斯特速率采樣樣本數(shù)的情況下，本文方法有效提高了頻譜分辨率。

1 調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)和重構(gòu)算法

1.1 調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器是一個(gè)亞奈奎斯特采樣系統(tǒng)，文[7]對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。它由多個(gè)通道組成，每個(gè)通道由偽隨機(jī)序列發(fā)生器、低通濾波器和低速模數(shù)轉(zhuǎn)換器構(gòu)成，如圖1。

圖1 調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)

pi(t)=aik,kTp/M≤t≤(k+1)Tp/M,0≤k≤M-1 ，

(1)

傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)表達(dá)式為

(2)

(3)

由圖1可得時(shí)域數(shù)學(xué)表達(dá)式為

xi(t)=x(t)pi(t)，yi(t)=h(t)?xi(t)，yi[n]=yi(nTs) ，

(4)

其中，?為卷積運(yùn)算。令X(f)表示x(t)的傅里葉頻譜，Yi(f)表示第i通道輸出壓縮數(shù)據(jù)yi[n]的離散時(shí)間傅里葉變換(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)，則(4)式的頻譜表達(dá)式為

(5)

y(f)=Az(f)，

(6)

其中，y(f)=[Y1(f),Y2(f),…,Ym(f)]T，z(f)=[z1(f),z2(f),…,zL(f)]T，

1.2 重構(gòu)算法

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的后端重構(gòu)過(guò)程是先計(jì)算采樣系統(tǒng)各通道之間輸出壓縮數(shù)據(jù)的協(xié)方差，再采用貪婪算法找出包含有用信息的頻譜片段和對(duì)應(yīng)字典的索引。因調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器每個(gè)通道輸出數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度有限，令數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為N，則各通道輸出數(shù)據(jù)之間的協(xié)方差矩陣為

(7)

文[7]利用特征分解方法把對(duì)z(f)頻譜片段求解過(guò)程轉(zhuǎn)化為壓縮感知問(wèn)題，即對(duì)R＾進(jìn)行特征分解，可得

R＾=U*ΛU=(U*Λ1/2)(U*Λ1/2)*=VV*，

(8)

V=AS，

(9)

2 頻譜分辨率

頻譜分辨率Δf、采樣頻率Fs和采樣樣本數(shù)N三者之間的關(guān)系為

(10)

由(10)式可知，降低采樣速率或增加采樣時(shí)長(zhǎng)可以提高頻譜分辨率。在調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)中，令偽隨機(jī)序列pi(t)的周期為MTNYQ(TNYQ為奈奎斯特采樣周期，TNYQ=1/fNYQ)，每個(gè)通道模數(shù)轉(zhuǎn)換器采樣速率為fNYQ/M，調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的總采樣速率降低為原來(lái)的m/M(m

3 實(shí)驗(yàn)仿真與分析

3.1 基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的理論分析

實(shí)驗(yàn)仿真信號(hào)為稀疏多頻帶信號(hào)，前端采用調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)進(jìn)行采樣，輸出壓縮數(shù)據(jù)；后端采用正交匹配追蹤算法對(duì)壓縮數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，重構(gòu)輸入信號(hào)。稀疏多頻帶信號(hào)的參數(shù)：子頻帶數(shù)N為8，帶寬B為5 MHz，總占頻帶寬為10 GHz(即奈奎斯特采樣頻率fNYQ)，信噪比為20。調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)參數(shù)：通道數(shù)m為20(m≥2N)，偽隨機(jī)序列周期長(zhǎng)度M為195，fs=fp=fNYQ/M≈51.28 MHz，L=M=195(L0=97)。設(shè)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器單個(gè)通道采樣樣本數(shù)為K，(6)式中矩陣y(f)大小為m×K，矩陣A大小為m×M，矩陣z(f)大小為M×K，y(f)=Az(f)。輸入信號(hào)時(shí)域采樣樣本數(shù)和頻譜分辨率關(guān)系如表1。

調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)中偽隨機(jī)序列的頻率要不小于奈奎斯特采樣速率才能幾乎無(wú)失真地重構(gòu)輸入信號(hào)。偽隨機(jī)序列在硬件實(shí)現(xiàn)技術(shù)上的難度遠(yuǎn)低于模數(shù)轉(zhuǎn)換器，因此，在采樣系統(tǒng)中采用高速偽隨機(jī)序列生成器對(duì)輸入信號(hào)作數(shù)字離散化，經(jīng)低通濾波器后進(jìn)行低速采樣。在仿真中，偽隨機(jī)序列的頻率等于奈奎斯特采樣速率，調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)總采樣樣本數(shù)為mK，壓縮數(shù)據(jù)經(jīng)數(shù)學(xué)變換后的z(f)矩陣樣本數(shù)為MK，則調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的等效總采樣樣本數(shù)為MK。因此，從表1得出調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的等效總采樣樣本數(shù)是單個(gè)通道采樣樣本數(shù)的M倍，即頻譜分辨率提高M(jìn)/m倍。隨著單個(gè)通道采樣樣本數(shù)的增加，等效總采樣樣本數(shù)和頻譜分辨率隨之增加。

表1 時(shí)域采樣樣本數(shù)和頻譜分辨率的關(guān)系

3.2 基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器的低頻射電天文信號(hào)仿真

低頻射電天文信號(hào)的數(shù)據(jù)來(lái)源于云南天文臺(tái)，以200 MHz采樣速率采集多組頻段在55～65 MHz的射電天文信號(hào)。實(shí)驗(yàn)隨機(jī)選取其中的一組時(shí)域采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真，采樣點(diǎn)數(shù)為1 024，頻譜如圖2。調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的參數(shù)：通道數(shù)m為6，偽隨機(jī)序列周期長(zhǎng)度M為27，fs=fp=fNYQ/M≈7.407 4 MHz，L=M=27(L0=13)，總采樣速率為44.444 4 MHz。實(shí)驗(yàn)中的調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器是非全盲采樣系統(tǒng)，需要設(shè)置輸入信號(hào)的子頻帶數(shù)為2，并設(shè)定調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器單個(gè)通道采樣樣本數(shù)K為不同值時(shí)的仿真數(shù)據(jù)及頻譜圖，如表2和圖2。

表2是K分別為17，27和37時(shí)，對(duì)應(yīng)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的采樣樣本數(shù)、等效總采樣樣本數(shù)、頻譜分辨率、重構(gòu)誤差和正交匹配追蹤算法重構(gòu)時(shí)間的仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。從表2可以看出，時(shí)域采樣樣本數(shù)由459增加至999時(shí)，頻譜分辨率由0.435 7 MHz提高至0.200 2 MHz，基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的總采樣樣本數(shù)僅增加至222，且重構(gòu)誤差在10-2量級(jí)，重構(gòu)時(shí)間在10-3量級(jí)。圖2中黑色頻譜是低頻射電天文信號(hào)的頻譜圖，紅色頻譜是K分別為17，27和37時(shí)重構(gòu)信號(hào)的頻譜圖。從圖2可以看出，基于調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)重構(gòu)的頻譜隨著K增加，頻譜分辨率提高，頻譜帶寬逐漸收斂并接近低頻射電天文信號(hào)。因此，采用調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)，不僅能實(shí)現(xiàn)單個(gè)通道低速率采樣，而且能通過(guò)增加時(shí)域采樣時(shí)長(zhǎng)來(lái)提高信號(hào)的頻譜分辨率。

表2 不同K值的仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖2 不同K值的頻譜

4 結(jié) 論

本文通過(guò)對(duì)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的深入分析以及實(shí)驗(yàn)仿真，驗(yàn)證了增加調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的時(shí)域采樣時(shí)長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)低速率采樣條件下，提高信號(hào)頻譜分辨率的可行性和有效性，為提高高頻窄帶信號(hào)和低頻射電天文信號(hào)頻譜分辨率提供一種新的方法和途徑。在實(shí)際工程應(yīng)用中，我們需結(jié)合信號(hào)特征，進(jìn)一步考慮輸入信號(hào)的頻帶帶寬、頻譜波形、奈奎斯特帶寬等，設(shè)計(jì)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)的通道數(shù)、偽隨機(jī)系列周期、模數(shù)轉(zhuǎn)換器采樣周期以及壓縮感知矩陣等參數(shù)。下一步工作將針對(duì)射電天文信號(hào)的頻譜特征和頻譜分辨率的要求，設(shè)計(jì)調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器采樣系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)該采樣系統(tǒng)的硬件并進(jìn)行實(shí)測(cè)，力爭(zhēng)推進(jìn)研究成果的實(shí)際應(yīng)用。