李曉娜 周子凡 高然

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以滲透一些后續(xù)學(xué)習會用到的數(shù)學(xué)思想.本文通過在“從分數(shù)到分式”的教學(xué)設(shè)計中創(chuàng)設(shè)情境，在分式有意義、分式值為零的條件的求解過程中滲透函數(shù)的“變量對應(yīng)思想”，發(fā)展學(xué)生合情推理的能力，滲透函數(shù)思想，并利用小組合作交流提升學(xué)生小組合作的意識.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想;分式;教學(xué)設(shè)計

一、教材分析

分式在整個初中教材中具有承上啟下的作用.分式屬于有理式范疇，但和整式有本質(zhì)的區(qū)別，是初中代數(shù)部分的重要概念.對于本章的教學(xué)，教師應(yīng)主要借助舊知分數(shù)來讓學(xué)生認識分式的內(nèi)容，運用類比的學(xué)習方法讓學(xué)生承上啟下地理解知識之間的聯(lián)系和區(qū)別.分數(shù)與分式有一致的形式，有相似的定義方式、性質(zhì)和運算規(guī)律，學(xué)生通過類比的學(xué)習方式可得出分式的概念，并通過分數(shù)的運算方式引入分式的運算.這為后面解分式方程做了鋪墊，也為學(xué)習反比例函數(shù)奠定了基礎(chǔ).

二、學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習過分數(shù)的概念和基本性質(zhì)，因此，通過類比分數(shù)的知識，學(xué)生會較容易理解分式的相關(guān)知識.初二的學(xué)生已具有數(shù)學(xué)知識探索能力，分析歸納能力也逐步增強，同時筆者執(zhí)教班級的學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力較強，對于知識的接受能力及數(shù)學(xué)演繹創(chuàng)造能力較強，故本節(jié)課主要以學(xué)生主動探究學(xué)習為主.

三、目標分析

1.了解分式的概念，掌握分式有意義和值為零時字母的取值范圍.

2.類比分數(shù)學(xué)習，經(jīng)歷分式概念的形成及探索分式有意義條件的過程，從具體到抽象，從特殊到一般，同時滲透函數(shù)思想.

3.通過具體問題的解決，進一步培養(yǎng)學(xué)生符號語言的嚴密性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣和自信心.

四、教學(xué)環(huán)節(jié)

【環(huán)節(jié)一】類比思考，發(fā)現(xiàn)分式

數(shù)學(xué)游戲：請你任意給出兩個整數(shù)并相除，商有幾種結(jié)果？

問題1：計算的結(jié)果一定是整數(shù)嗎？

師生：（總結(jié)）兩個整數(shù)的商不一定是整數(shù).

追問：當兩個整數(shù)相除的結(jié)果不是整數(shù)時，如5÷2，怎樣表示商？它有什么實際意義嗎？

師生活動：結(jié)合分數(shù)52進行說明.

教師總結(jié)思路：引入分數(shù)的意義是解決商不為整數(shù)的這類結(jié)果.

追問：請你任意給出兩個整式，商有幾種結(jié)果？

問題2：計算的結(jié)果一定是整式嗎？

師生：（總結(jié)）類比分數(shù)的發(fā)展，任意兩個整式的商的結(jié)果如何？如2x2yz÷xyz（結(jié)果是整式），y÷（y+2）（結(jié)果不為整式）.

追問：不是整式的商如何表示呢？

師生活動：用yy+2表示所得的商.

追問：你能舉出兩個整式相除的結(jié)果不是整式的例子嗎？

教師：（總結(jié)）商的結(jié)果不是整式時，可用類似分數(shù)的方法引入整式相除商的表示方式，即：

兩個整數(shù)相除商不是整數(shù)→一般化→引入分數(shù)表示商，

兩個整式相除商不是整式→一般化→引入新的式子表示商.

【設(shè)計意圖】抓住數(shù)學(xué)運算這一核心，類比分數(shù)的運算本質(zhì)，當兩個整式相除結(jié)果不是整式時引入分式這個新的概念，讓學(xué)生在分式的引入過程中體會數(shù)系擴充的思想，同時為從分數(shù)到分式的一般化抽象提供樣例.

【環(huán)節(jié)二】發(fā)現(xiàn)新知，總結(jié)歸納

問題1：對于新引入的式子，應(yīng)該研究它的哪些內(nèi)容？依據(jù)什么樣的思路展開研究？

追問：在小學(xué)我們學(xué)習了分數(shù)的哪些知識？是按照怎樣的思路和方法研究的？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧分數(shù)的學(xué)習思路，類比分數(shù)的學(xué)習方式“分數(shù)的定義—分數(shù)的基本性質(zhì)—分數(shù)的運算”的思路，進一步學(xué)習一般化的式子——分式，同時滲透研究新概念的一般方式.

問題2：你能嘗試給分式下個定義嗎？

① 這類代數(shù)式有哪些特征？

② 如何定義分式？

師生活動：

（發(fā)現(xiàn)其共同特征）AB表示兩個整式A，B相除得到的商，并通過比較整式得到B中含有字母的特征.

一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫作分式.分式AB中，A叫作分式的分子，B叫作分式的分母.

類似于“整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”，我們把整式和分式統(tǒng)稱有理式.

【設(shè)計意圖】類比分數(shù)的學(xué)習方式建構(gòu)分式的概念，同時學(xué)習研究分式的一般思路.

【環(huán)節(jié)三】辨析概念，新知應(yīng)用

例1 下列代數(shù)式中，哪些是分式？哪些是整式？

（1）3x+16;（2）2a（a≠0）;（3）3xπ;（4）3x2x.

分析 （1）是整式;（2）是分式;（3）是整式：π是一個數(shù);

（4）是分式：分式是用形式定義的，不能先變形.

解 整式：3x+16，3xπ;分式：2aa≠0，3x2x.

歸納總結(jié)：分式應(yīng)具備如下條件：

（1）形如AB，且A，B均為整式;

（2）分母B中含有字母;

（3）分母B≠0.

【設(shè)計意圖】概括分式的本質(zhì)屬性：兩個整式的商，分母中含有字母，且分母不為0.

【環(huán)節(jié)四】合作探究，深化新知

思考：以分式xx+2為例，說說分式與整式的關(guān)系，以及分式與分數(shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別.

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生說出分式表示兩個整式的商，分式與整式的區(qū)別在于分母中是否含有字母.

追問：分式xx+2中的字母x可以取哪些值？分式和分數(shù)之間有什么關(guān)系？分式有意義的條件是什么？分式為零的條件是什么？

填表：

x-2-1012…

x+201234…

xx+2無意義-101312…

問題1：對于任意的x值，都能求出整式x+2的值嗎？

問題2：對于任意的x值，都能求出xx+2的值嗎？

問題3：分式在什么條件下值為零？

歸納總結(jié)：分式是分數(shù)的一般化，分數(shù)是分式中字母取某些值時得到的具體數(shù).分式的值為零的條件是：分母不為零且分子為零.

【設(shè)計意圖】通過填寫表格，讓學(xué)生直觀理解分式的概念.

列表格的第一個目的是著眼于兩個“0”時刻的解讀.第一個“0”時刻是當x=-2時x+2=0，類比“分數(shù)分母不為零分式分母B≠0-20無意義”，進而得到分式有意義的條件是：分式的分母B≠0.第二個“0”時刻是當x=0時x+2=2，“分子值為零、分母值不為零分式值為零”，從而歸納出分式值為零的條件：分子為零且分母不為零.

第二個目的是對分式與分數(shù)關(guān)系的一個直觀解讀，同時滲透函數(shù)的“變量對應(yīng)說”的概念，在取值范圍內(nèi)，當x給定任意值時，分式都有唯一的值與之對應(yīng)，這個值恰好是分數(shù)，總結(jié)來說，分式是分數(shù)的一般化，分數(shù)是分式的具體化.

第三個目的是對分式值進行一個整體的分析，從它的大小變化趨勢進一步滲透函數(shù)思想.

這個環(huán)節(jié)滲透了從特殊到一般的研究思想，從分數(shù)到分式運用了類比的思想，符合學(xué)生的認知水平和認知規(guī)律.

例2 當x取什么值時，下列各式有意義？

（1）x-3x+3;（2）2x-5x2 ;（3）x-2x2-4.

例3 當x取什么值時，分式x-4x-4的值等于零？

解 分式|x|-4x-4的值等于零的條件：x-4≠0 ①，|x|-4=0 ②，

由①，得x≠4，

由②，得x=±4.

故當x=-4時，分式|x|-4x-4的值等于零.

注：一般地，稱一個式子為分式時，就隱含了分母不等于零的條件.

拓展練習：

1.如果分式63a-5是負數(shù)，則a的取值范圍是.

2.x取何值時，代數(shù)式11+11+x有意義？

3.分式2x+1x2-4x+4中x的取值范圍是.

【設(shè)計意圖】通過例題的講解使學(xué)生進一步理解和掌握分式有意義的條件以及分式為零的條件，同時與上一章因式分解、七年級絕對值內(nèi)容進行有機融合，提高學(xué)生對知識的縱向理解.

【環(huán)節(jié)五】課堂作業(yè)，自我評價

1.下面的式子中，哪些是分式？

3x2-1，3000300-a，27， VS，S32， 2x2+15，45b-c，x2-xy+y22x-1.

2.當x取什么值時，下列各式有意義？

（1）2x-5x-3;（2）xx2-1;（3）2xx2+3.

3.當x取什么值時，下列各式的值等于零？

（1）2x-3x+2;（2）xx-1;（3）x-1x-1.

【環(huán)節(jié)六】課后反思

“從分數(shù)到分式”是人教版八年級上冊中的教學(xué)內(nèi)容，初中生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習過分數(shù)的概念和基本性質(zhì)，因此，類比分數(shù)的知識學(xué)生較容易理解分式的相關(guān)知識.筆者執(zhí)教班級的學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力較強，已具有數(shù)學(xué)知識探索能力及分析歸納能力，對于知識的接受能力及數(shù)學(xué)演繹創(chuàng)造能力較強，故本節(jié)課中可以學(xué)生為主體，讓學(xué)生動口、動腦積極思考.通過本節(jié)課，無論是在實際教學(xué)實踐方面，還是教學(xué)理論指導(dǎo)方面，都使我受益匪淺.下面，筆者將從備課準備以及授課結(jié)束兩個方面談一下自己的感受.

在備課準備的過程中，筆者有以下收獲：

1.為了進一步了解學(xué)情，了解這一階段學(xué)生的認知規(guī)律及特點，筆者精心研讀了數(shù)學(xué)課程標準和皮亞杰的認知規(guī)律，進一步了解了學(xué)生思維邏輯的發(fā)展過程，知道了學(xué)生知識形成所經(jīng)歷的過程是從具體運算階段到形式運算階段，是從具體的圖表演示轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄蟮乃季S概括，這些都為筆者本次教學(xué)及今后的教學(xué)提供了重要的理論指導(dǎo)，知道了如何按照當前學(xué)生的心理和認知特點進行教學(xué).

2.對于數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的理解：通過磨課、研課，筆者看到了數(shù)學(xué)是思維發(fā)展的呈現(xiàn)，上課的過程既是學(xué)生思維發(fā)展訓(xùn)練的過程，也是教師進一步理解知識本質(zhì)、不斷成長的過程.本次課程打磨的過程使筆者從數(shù)學(xué)更高的層面看到了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該具備的要點：重在思維，把握本質(zhì)，突出重點，突破難點，由易到難，層層深入.

3.對于情感與態(tài)度方面的理解：筆者漸漸理解了數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是知識和技能、過程與方法的教學(xué)，更體現(xiàn)在情感、態(tài)度上，適時地對學(xué)生的表現(xiàn)給出表揚和贊賞，會讓學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)學(xué)習的樂趣，體會到成功.我們不僅要在課堂上落實學(xué)科知識，更要發(fā)揮學(xué)科的育人功能，落實學(xué)科素養(yǎng)對于數(shù)學(xué)學(xué)習的更高要求.

4.對于板書設(shè)計的理解：板書是課堂內(nèi)容的精髓，是課堂重難點及課堂邏輯思維的展現(xiàn).在板書設(shè)計方面，筆者深刻領(lǐng)悟到了板書示范作用的重要性，慢慢學(xué)習到了如何通過板書展示本節(jié)課的重難點，以及如何有效利用板書展現(xiàn)整節(jié)課的邏輯思維過程.但是筆者的板書還有待加強，字跡的工整程度還需要練習.

四、總 結(jié)

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計通過實際的檢驗，成功及不足之處有以下幾點.

1.在課堂引入方面，類比分數(shù)引入本節(jié)課的主要內(nèi)容“分式”，調(diào)動了學(xué)生的積極性，學(xué)生已有認知得到了充分體現(xiàn)，并自主總結(jié)，從而引出了本節(jié)課的主題“分式”.

2.教學(xué)時通過幾個問題展示分式概念生成的過程，它類比分數(shù)的引入、數(shù)域的擴充對本節(jié)課的知識進行生成，對學(xué)生進行提問、追問，并引導(dǎo)學(xué)生成功解決了問題，讓學(xué)生初步體會了概念學(xué)習的一般規(guī)律以及對新事物學(xué)習的一般思路.我們學(xué)習的過程是：定義—基本性質(zhì)—運算，而本節(jié)課只需完成第一步概念的學(xué)習.在完成例1的過程中，學(xué)生如預(yù)設(shè)的一樣出現(xiàn)了障礙，對于3x2x是否為分式出現(xiàn)了分歧，說明學(xué)生在思維和認知上還存在差距.筆者趁機引導(dǎo)，進一步強調(diào)定義中“分母中含有字母”這一特點，同時完善定義，對在定義教學(xué)過程中設(shè)置的“障礙”進行處理.在質(zhì)疑、討論到完善認知的過程中，學(xué)生慢慢學(xué)會了自己提出問題并解決問題，得出了完整的分式的概念以及判斷分式的方法.在此過程中，學(xué)生體會了從“特殊到一般再到特殊”的數(shù)學(xué)思想，也鍛煉了學(xué)生提出問題能力、解決問題能力及基本的表達能力.

3.在分式的值為零的條件的探究中，筆者主要設(shè)置了三個問題，這個環(huán)節(jié)是本節(jié)課至關(guān)重要的一環(huán)，這里利用表格數(shù)據(jù)的填寫計算輔助學(xué)生完成問題的解答.在這一過程中，學(xué)生探究了分式值為零的條件及相關(guān)延伸，并突出對分式與分數(shù)關(guān)系的一個直觀解讀，同時滲透了函數(shù)的“變量對應(yīng)說”的概念，在取值范圍內(nèi)，當x給定任意值時，分式都有唯一的值與之對應(yīng)，這個值恰好是分數(shù)，也就是分式是分數(shù)的一般化，分數(shù)是分式的具體化.

4.在例2、例3的學(xué)習中，學(xué)生能運用思考環(huán)節(jié)得出的結(jié)論進行例題的解決，但筆者也從做題的過程中發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，動腦不動手，過程不夠嚴謹，大部分學(xué)生直接寫出答案，沒有知識生成的過程，同時由于沒有手寫的過程出現(xiàn)了計算上的失誤.

5.本課的課堂小結(jié)不僅體現(xiàn)了知識層面的收獲，更注重了數(shù)學(xué)思維方法的滲透，最后由學(xué)生通過做題來檢驗自己本節(jié)課的學(xué)習成果，對自己的學(xué)習進行評價.在自評中，學(xué)生體驗到了數(shù)學(xué)學(xué)習的樂趣和主人翁地位，很好地體現(xiàn)了新課程標準對于情感、態(tài)度與價值觀的展現(xiàn)，使數(shù)學(xué)課堂不僅僅是教師的課堂，而成為學(xué)生思維的主戰(zhàn)場.最后教師對整堂課給予客觀評價，激勵學(xué)生學(xué)習的信心，讓學(xué)生看到自己思維的價值.

6.分數(shù)到分式的教學(xué)過程，讓學(xué)生站到了主人翁的地位.隨著教師的引導(dǎo)，學(xué)生逐漸理解了數(shù)學(xué)學(xué)習的方式方法，即數(shù)學(xué)學(xué)習實際上有一條暗線——知識的邏輯生成過程以及舊知的鋪墊，從學(xué)習中體會到了學(xué)習的樂趣，獲得了豐富的果實.

【參考文獻】

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