裴詩宇，陸媛媛

(吉林師范大學 數(shù)學學院，吉林 四平 136000)

近年來，老年人所占人口比例日益增加，傳統(tǒng)的家庭養(yǎng)老模式已經不能滿足社會進步的需要，重視養(yǎng)老機構的開展情況成為處理社會化養(yǎng)老問題的努力方向.為此政府出臺了多項面向養(yǎng)老機構的補貼政策，包括運營補貼、建設補貼、承接補貼等，但這類以機構供方為補貼對象的補貼機制逐漸出現(xiàn)資源配置效率差、床位空置嚴重等弊端，因此，對入住養(yǎng)老機構的老年人實施補貼成為政府的重點舉措.這種“補人頭”的補貼方式相較于以往，能夠更直接地提高老年人入住養(yǎng)老機構的意愿，從而影響機構入住量.跟據老年人困難程度進行差別補貼，可合理分配財政投入、全面照顧各類情況的補貼對象.“費隨人走”的補貼形式在一定程度上能減輕困難程度大老年人群體入住時的經濟壓力，也能使更多老年人擁有入住的機會.因此，研究“需方”補貼情形下政府與養(yǎng)老機構最優(yōu)利潤模型，對于解決社會養(yǎng)老問題意義重大.

目前，就各方面政府補貼問題引起了廣泛關注[1-2]，其中借助博弈論的相關理論進行研究的文章有很多.[3-4]郭倩[5]等研究了政府分別補貼高低服務質量養(yǎng)老機構問題.高曉波[6]等構建了在政府確定差別服務補貼和質量標準、養(yǎng)老機構在合作與非合作情形下，分別決策出最優(yōu)變量的博弈模型.夏濤[7]研究了政府與養(yǎng)老機構在不對稱信息條件下的博弈行為.Novy-Marx[8]引入風險分擔因素，研究在不同條件下政府對養(yǎng)老服務項目補貼的影響.研究對養(yǎng)老服務需方補貼的文章也不少.馬驍[9]綜合分析了國內研究成果，提出機構養(yǎng)老服務補貼模式應轉向“需方”補貼的建議.張翔[10]等通過實地調研，構想了對于養(yǎng)老服務“需方”補貼的具體政策.董紅亞[11]通過對浙江省養(yǎng)老服務補貼政策的分析，強調“補人頭”方式的現(xiàn)實重要性，并為進一步完善補貼制度提出了一些建議.趙鵬程[12]等分析了非中心城市的養(yǎng)老困境.張榮燕[13]等分析了傳統(tǒng)機構養(yǎng)老補貼的不足，提出包括機構養(yǎng)老需方補貼覆蓋對象、補貼方式、補貼標準等在內的具體補貼內容.以上有關政府與養(yǎng)老機構博弈行為的文章都是以補貼養(yǎng)老機構“供方”為背景，而對于養(yǎng)老機構“需方”補貼只存在建議和重要性分析，未涉及政府在補貼養(yǎng)老機構“需方”情形下與養(yǎng)老機構的博弈問題.本文在政府對入住養(yǎng)老機構的老年人實施補貼的背景下，建立政府與養(yǎng)老機構的二階段博弈模型，采用逆向歸納法求解養(yǎng)老機構和政府的最優(yōu)決策問題，并計算雙方最優(yōu)利潤函數(shù)，為政府解決養(yǎng)老問題提供借鑒.

1 模型的建立

1.1 符號說明

本文涉及到的變量符號有：t0表示政府對入住養(yǎng)老機構老年人的基準補貼，p表示養(yǎng)老機構的收費價格，x表示養(yǎng)老機構服務水平，a表示市場需求對機構收費價格的彈性因子，b表示市場需求對機構服務水平的彈性因子，g表示老年人的困難程度，γ表示基準補貼對困難程度的彈性因子0≤γ≤1，β表示養(yǎng)老機構投入成本對困難程度的彈性因子0≤β≤1，D0表示市場基本需求量，c0表示養(yǎng)老機構單位服務的邊際成本，k表示養(yǎng)老機構提高服務水平的成本系數(shù)，D表示養(yǎng)老機構的市場需求量，π(p,x)，W(t)分別表示養(yǎng)老機構利潤函數(shù)和政府福利函數(shù).

1.2 模型假設

(1)困難程度是指包括失能水平、失智水平、家庭情況(低保家庭、低收入家庭、計劃生育特殊家庭)、殘疾程度等在內的能夠評定補貼標準的各種因素.

(2)老年人的入住補貼是指在老年人入住養(yǎng)老機構后，跟據其困難程度申請對應的補貼金，補貼直接下發(fā)給老人，即可理解為免除了老年人入住機構的部分費用.由文獻[4]假設養(yǎng)老機構市場需求函數(shù)為:

D=D0-a(p-t0gγ)+bx.

即養(yǎng)老機構市場需求量與機構定價成反比，與機構服務水平及政府補貼成正比，要求滿足D0-ac0gβ>0.其中，t0gγ表示在政府基準補貼金額t0下，入住機構的老年人根據其困難程度g最終所申獲的實際補貼金額.在實際生活中，補貼存在上限，從而規(guī)定0

1.3 建立模型

根據假設得到政府福利函數(shù)和養(yǎng)老機構利潤函數(shù).

政府福利函數(shù)：

養(yǎng)老機構利潤函數(shù)：

2 模型的求解

2.1 養(yǎng)老機構最大利潤模型

跟據Stackelberg博弈模型的逆向求解原理，先分析養(yǎng)老機構最大利潤的優(yōu)化模型

定理1當系統(tǒng)參數(shù)滿足b2-ak<0，可得到最優(yōu)服務價格及最優(yōu)服務質量分別為：

證明將π(p,x)分別對p,x求偏導，有

解得駐點為

因π(p,x)的Hessian矩陣為

所以，π(p,x)是關于p和x的凹函數(shù)，即養(yǎng)老機構收費價格及服務水平在駐點處取最大值.同時，容易驗證x>0,p>0.

證畢.

性質1養(yǎng)老機構的影響因素分析.

由上述分析可知，政府增加基準補貼金額，會提高老年人入住養(yǎng)老機構的意愿，使養(yǎng)老機構市場需求量變大，而機構為了自身利益最大化會努力提升服務水平，從而使機構收費價格變高.

2.2 政府最大福利模型

定理2政府以社會福利最大化為目標，在參數(shù)滿足定理1的條件時，確定出對老人的最優(yōu)基準補貼價格為：

即

又有

證畢.

2.3 系統(tǒng)最優(yōu)決策

故在此模型下，養(yǎng)老機構的最大利潤為：

政府的最大福利為：

性質2參數(shù)對最優(yōu)決策的影響分析.

可知養(yǎng)老機構最優(yōu)定價與養(yǎng)老機構服務水平對市場需求影響程度b呈正相關，與養(yǎng)老機構收費價格對市場需求影響程度a呈負相關.

<0.

可知政府對入住機構老年人的基準補貼與機構服務水平彈性因子b呈正相關，與機構收費價格的彈性因子a呈負相關.

<0.

可知養(yǎng)老機構最優(yōu)利潤與機構服務水平彈性因子b呈正相關，與機構服務價格的彈性因子a呈負相關.

<0.

可知政府最大福利與機構 服務水平彈性因子b呈正相關，與機構價格的彈性因子a呈負相關.

<0.

可知養(yǎng)老機構最優(yōu)服務水平、機構最優(yōu)定價、政府最優(yōu)基準補貼、政府及養(yǎng)老機構最優(yōu)利潤均與老年人困難程度g呈負相關.

3 算例分析

3.1 算例結果

目前，機構養(yǎng)老是國家大力支持的養(yǎng)老模式之一.以北京市東城區(qū)康馨園養(yǎng)老院為例，該機構收住的老年人可依據北京市委頒布的有關困境老年人入住養(yǎng)老機構的補貼政策，按照符合自身條件的補貼標準申請對應金額的入住補貼，用于免除部分機構入住費用.假設市場基本需求量為D0=10(萬人)，養(yǎng)老機構年投入成本為c0=10(萬元)，滿足條件的參數(shù)為：k=0.4，a=0.6，b=0.4，g=0.64，γ=0.5，β=0.25，計算結果見表1.

表1 算例最優(yōu)結果

3.2 養(yǎng)老機構服務水平彈性因子分析

當系統(tǒng)參數(shù)滿足所設范圍時，得出以下結論：

(1)隨著養(yǎng)老機構服務水平彈性因子b的增大，養(yǎng)老機構最優(yōu)定價p*呈上升趨勢，即最優(yōu)定價逐漸增高，反之最優(yōu)定價逐漸降低(圖1).

圖1 養(yǎng)老機構服務水平彈性因子對養(yǎng)老機構收費價格的影響

圖2 養(yǎng)老機構服務水平彈性因子對政府對入住機構老年人價格補貼的影響

(3)隨著養(yǎng)老機構服務水平彈性因子b的增大，機構服務水平x*呈上升趨勢，即養(yǎng)老機構服務水平逐漸提高，反之服務水平逐漸降低(圖3).

圖3 養(yǎng)老機構服務水平彈性因子對養(yǎng)老機構服務水平的影響

(4)隨著養(yǎng)老機構服務水平彈性因子b的增大，養(yǎng)老機構最優(yōu)利潤和政府最大福利均呈增加趨勢，但養(yǎng)老機構最優(yōu)利潤始終大于政府最大福利(圖4).

圖4 養(yǎng)老機構服務水平彈性因子對最優(yōu)利潤的影響

4 結語

本文在政府對養(yǎng)老機構“需方”補貼的情形下，建立了政府和養(yǎng)老機構的Stackelberg主從博弈模型，以雙方利潤最大化為目標進行了最優(yōu)化求解.政府受老年人困難程度等因素影響，以社會福利最大化為目標制定補貼政策，通過決策老年人入住養(yǎng)老機構的基準補貼金額起到調控養(yǎng)老機構市場的作用，機構跟據補貼內容，在一定情況下選擇提高服務水平和價格，能夠增加社會效益和養(yǎng)老機構收益.政府針對“需方”補貼將擴大老年人接受入住養(yǎng)老機構理念的影響力，減輕一部分困境老人的家庭負擔，符合解決養(yǎng)老問題和推動我國養(yǎng)老服務產業(yè)發(fā)展的需求，為政府對養(yǎng)老機構“需方”補貼政策提供研究思路和理論支持.