●付小華，幸世強(qiáng)，代月，張紅

筆者在一次四川省國(guó)家級(jí)“雙新”示范區(qū)(校)建設(shè)推進(jìn)會(huì)，成都市第七中學(xué)第43屆教育研討會(huì)的研究課“穿越兩世紀(jì)的魅力內(nèi)切球”中，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板深度探究丹德林雙球模型在證明圓錐曲線時(shí)的一些做法和思考，多種直觀證明非常巧妙，極具創(chuàng)造性，網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板動(dòng)態(tài)立體幾何深度融入數(shù)學(xué)教學(xué)，讓數(shù)學(xué)課堂充滿智慧的魅力。

一、網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板輔助構(gòu)造丹德林雙球模型

一個(gè)圓錐被一個(gè)平面斜截的截口曲線將分別出現(xiàn)橢圓、拋物線和雙曲線的一支。要構(gòu)造丹德林雙球模型，可以引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題1：一個(gè)圓錐被一個(gè)平面斜截，與圓錐和斜截面都相切的球怎么構(gòu)造？球心在哪？半徑怎么構(gòu)造？其設(shè)計(jì)意圖是：讓學(xué)生經(jīng)歷找球心、構(gòu)半徑的過(guò)程，對(duì)這種丹德林內(nèi)切球的空間結(jié)構(gòu)、空間位置關(guān)系、幾何性質(zhì)更加熟悉，為后面直觀探究丹德林雙球模型證明圓錐曲線打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

①作底面半徑為a，高為b的圓錐，在圓錐高SO上任取一點(diǎn)C，過(guò)C做SO的垂面α，將垂面旋轉(zhuǎn)角 t，設(shè)置變量 t∈（-π，π）（圖 1）。

圖1

②過(guò)S作旋轉(zhuǎn)面的垂線，垂足為D，連接CD交圓錐于A，B，作母線SA與 SB（圖 2）。

圖2

③做∠SAC與∠ABE的角平分線分別交錐高SO于O1、O2，即為內(nèi)切球的球心,做O1到SA和O2到SB的距離,即為內(nèi)切球的半徑,進(jìn)而作出雙內(nèi)切球（圖 3）。

圖3

二、網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板賦能丹德林雙球模型證明圓錐曲線

繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題2：這種與圓錐和斜截面同時(shí)相切的雙內(nèi)切球有什么性質(zhì)特點(diǎn)？如何證明圓錐曲線呢？其立體幾何構(gòu)圖和深層次思維在哪里呢？

繼續(xù)提供和推送網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板課件資源進(jìn)行觀察探究、想象思考和推理證明，然后在此次基礎(chǔ)上進(jìn)行生生、師生對(duì)話分享、展示交流、引導(dǎo)講解。

（一）丹德林是怎么證明橢圓的

圖4

由球和圓的幾何性質(zhì)，因?yàn)镸F1=MB，MF2=MA，所以MF1+MF2=MB+MA=AB。

所以，A，B隨著點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，但是AB長(zhǎng)度為定值，即截面曲線上的任意一點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和是定值（且大于F1F2），由橢圓的定義可知，該曲線為橢圓。

所以，當(dāng)β＞α?xí)r，截面曲線為橢圓。

（二）沿著數(shù)學(xué)家的探究腳步，怎么證明雙曲線

由球和圓的幾何性質(zhì)，因?yàn)镸F1=MB，MF2=MA，所以｜MF1-MF2｜=｜MB-MA｜=AB。

所以，A，B隨著點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，但是AB長(zhǎng)度為定值，即截面曲線上的任意一點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值是定值 （且小于F1F2），由雙曲線的定義可知，該曲線為雙曲線。所以，當(dāng)0°≤β＜α，且截面不過(guò)O點(diǎn)時(shí)，截面曲線為雙曲線（圖5）。

圖5

（三）丹德林雙球模型能證明截口曲線是拋物線嗎

丹德林雙球模型證明橢圓與雙曲線中，我們可以發(fā)現(xiàn)雙球與平面相切的切點(diǎn)是橢圓或雙曲線的焦點(diǎn)，同時(shí)通過(guò)到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和與差的構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為球外一點(diǎn)到球的切線長(zhǎng)相等，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算、得證。但是拋物線沒(méi)有這樣的特點(diǎn)，這種思路明顯受阻，怎么辦？怎么證明？

（四）探究丹德林雙球模型與圓錐曲線離心率關(guān)系并證明

再引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題3：平面斜截圓錐時(shí)錐角與平面傾斜角不同，得到的圓錐曲線不同，與離心率有怎樣的關(guān)系？運(yùn)用丹德林雙內(nèi)切球模型，可不可以用離心率統(tǒng)一定義證明圓錐曲線？準(zhǔn)線可能在哪？

由題知，圓錐的錐角的一半為α，斜截面與圓錐軸所成角為β。

因?yàn)镺2F1∥O1F2，所以在面O2F1O1F2中作O2D∥O1F2，O1D∥F1F2交 D。

因?yàn)镺2B∥O1A，所以在面O2BAO1中作O1C∥AB交O2B于C。

說(shuō)明只需利用丹德林雙球模型中的兩個(gè)關(guān)鍵角的余弦值之比即為截口曲線的離心率，進(jìn)而由離心率e的范圍就可以判斷和證明出圓錐曲線是橢圓、雙曲線還是拋物線，十分簡(jiǎn)潔明了，我們把此模型叫做錐角傾斜角模型（圖6）。

圖6

（五）丹德林單球模型圓滿證明圓錐曲線

圖7

我們把這種構(gòu)造和證明叫做圓錐曲線第二定義模型，這種思路將圓錐曲線的第二定義與錐角傾斜角模型融會(huì)貫通，非常巧妙，一氣呵成。

圖8

本節(jié)課“穿越兩世紀(jì)的魅力內(nèi)切球”網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板課件網(wǎng)址：https://www.netpad.net.cn/presentationEditor/presentationPlay.html#posts/15307

三、網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板賦能丹德林雙球模型證明圓錐曲線的價(jià)值

丹德林雙球模型和內(nèi)切球的性質(zhì)特點(diǎn)證明圓錐被平面所截的截口曲線是三大圓錐曲線——橢圓、拋物線和雙曲線，這個(gè)問(wèn)題深?yuàn)W、難懂，特別是用錐角模型和第二定義模型證明圓錐曲線難度更大，需要充分利用網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板3D技術(shù)輔助識(shí)圖、構(gòu)圖、思考、探究、推理、計(jì)算、證明。

張景中院士一直主張數(shù)學(xué)教育就是要 “把數(shù)學(xué)變得容易”“讓數(shù)學(xué)更有趣”“讓數(shù)學(xué)更精彩”“在玩中學(xué)，在做中學(xué)”[1]，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板實(shí)現(xiàn)了這些要求。