山東省平度第一中學（266700） 王尊甫

羅素曾說過，如果正確地看數(shù)學，它不但擁有真理，而且也具有至高的美。數(shù)學的美不僅包括外在的形式美和簡潔美，還包括內(nèi)在的抽象美以及隱秘的理性美。

許多圓錐曲線問題中都有著隱秘的結(jié)論和規(guī)律。很多結(jié)論和規(guī)律可以進一步引申和推廣，這也充分體現(xiàn)了圓錐曲線的拓展美和奇異美。

一、試題呈現(xiàn)

（2021 年高考全國甲卷理科第20 題）拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x=1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ。已知點M(2,0)，且⊙M與l相切。

（1）求C，⊙M的方程；

（2）設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切，判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由。

解：（1）C：y2=x，⊙M：(x-2)2+y2=1；

（2）設(shè)A1(a2,a)，A2(b2,b)，A3(c2,c)。

當a=±1或a=±3，可證直線A2A3與⊙M相切。

當a≠±1且a≠±3時，

因為直線A1A2，A1A3均與⊙M相切，

所以點M(2,0)到A1A2，A1A3兩直線的距離均相等，且距離為1。

因此，直線A2A3與⊙M也相切。

二、提出問題

培養(yǎng)學生的問題探究意識是中學數(shù)學教學的一個重要方面，它對于培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)有著重要的意義，有助于提升學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，有助于培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力。

問題求解之后，筆者與學生進行了交流。學生對解題思路轉(zhuǎn)化印象深刻，并驚訝于結(jié)果的奇異美。學生不約而同地提出了一個問題：該圓是不是隨意設(shè)定的，其圓心位置和半徑有無必然的聯(lián)系？

筆者引導學生利用GeoGebra 軟件輔助研究。學生對⊙M的圓心和半徑分別進行了調(diào)整，發(fā)現(xiàn)直線A2A3與⊙M不再相切，這表明⊙M：(x-2)2+y2=的設(shè)定是基于某種隱秘的規(guī)律，它與拋物線肯定存在著某種聯(lián)系。

三、問題探究

基于學生的能力基礎(chǔ)，筆者將⊙M設(shè)定為圓心在拋物線軸上的圓，并提出問題：

設(shè)拋物線C：y2=2px(p＞0)，已知⊙M：(x-x0)2+y2=R2(R＞0)，設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點。若⊙M是△A1A2A3的內(nèi)切圓，試分析x0與R應(yīng)滿足的關(guān)系。

我們不妨先借助圖像的對稱性，由特殊位置入手探究。

當A1為坐標原點時，則必有A2，A3關(guān)于x軸對稱。

不妨設(shè)直線A1A2的方程為x=my，

與拋物線C：y2=2px(p＞0)方程聯(lián)立得y2=2pmy。

因為⊙M是△A1A2A3的內(nèi)切圓，所以點M到直線A1A2，A2A3的距離均為R，

基于此，可得到以下結(jié)論。

結(jié)論1設(shè)拋物線C：y2=2px(p＞0)，已 知⊙M：(x-x0)2+y2=R2(R＞0)，設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點，若⊙M是△A1A2A3的內(nèi)切圓，則必有x0=

四、揭示本源

從以上探究過程可以發(fā)現(xiàn)，只要⊙M是拋物線C某一內(nèi)接三角形MNP的內(nèi)切圓，那么就必定滿足：設(shè)A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切，那么直線A2A3與⊙M必定也相切。

結(jié)論2已知拋物線C：y2=2px(p＞0)，動點A(x1,y1)在拋物線上，由點A引拋物線某內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的切線分別交拋物線于點B，C，則直線BC必與該圓相切。

如果推廣到橢圓和雙曲線，也有類似的結(jié)論。

結(jié)論3已知橢圓動點A(x1,y1)在橢圓上，由點A引橢圓某內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的切線分別交橢圓于點B，C，則直線BC必與該圓相切。

［例題］已知橢圓在橢圓上，且點A是橢圓的左頂點，點M，N關(guān)于x軸對稱。若圓E：x2+y2=r2(r＞0)是△AMN的內(nèi)切圓。

（1）求r；

（2）點P(x0,y0)是橢圓上任意一點，由點P引圓E的兩條切線分別交橢圓于點S，T，則直線ST必與圓E也相切。

解析：（1）由題意知，點A(-2,0)，設(shè)M(r,yM)，則r2+4yM2=4，

且原點O到直線AM的距離為r，因此有

因此，直線ST與圓E也相切。

本題的第（1）問以橢圓中的特殊位置開啟思路，以圖形的對稱性為切入點，形成簡潔的求解思路。第（2）問則將特殊位置推廣至一般位置，以探究引發(fā)學生深度思考，進而揭示其中隱秘的規(guī)律。

如果繼續(xù)深入探究，可得到：

若圓O：x2+y2=r2(r＞0) 是橢圓1(a＞b＞0)的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓，則必有r=

結(jié)論4已知雙曲線動點A(x1,y1)在雙曲線上，由點A引雙曲線某內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的切線分別交雙曲線于點B，C，則直線BC必與該圓相切。

五、總結(jié)反思

在數(shù)學教學中，融入數(shù)學美，運用數(shù)學美的感染力，可以激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生學習數(shù)學的主動性和積極性，啟發(fā)學生的數(shù)學思維，促進學生理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識的有序結(jié)構(gòu)和解題方法體系，還可以激發(fā)學生對真和美的追求，陶冶學生的思想情操，培養(yǎng)學生的進取精神。教師應(yīng)充分挖掘美育素材，抓住有利時機來培養(yǎng)學生的數(shù)學審美能力。

在本文中，筆者從一道高考題出發(fā)，經(jīng)過大膽的猜想與嚴謹?shù)那笞C，最終得到了題目背后隱秘的規(guī)律，感悟到圓錐曲線結(jié)論中的奇異美與統(tǒng)一美，這正是數(shù)學探究的魅力。

教師應(yīng)結(jié)合學生的發(fā)展規(guī)律和認知能力，幫助學生實現(xiàn)經(jīng)問題的合情推理步入深度的數(shù)學探究，進而培養(yǎng)學生的思維能力，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。在這個過程中，我們可以清晰地看到，學生在以“美”為感性追求的活動中逐步形成了對“真”的理性追求。