安徽合肥市第九中學(xué)（230001） 殷春生

圓錐曲線問題是考查學(xué)生思維能力和計(jì)算能力的重要載體，在高考中常以壓軸題的形式出現(xiàn)。學(xué)生在解決此類問題時(shí)，常常因?yàn)榉较虿幻鞔_或思路不正確，致使解題有始無終?；诖?，筆者提出處理此類問題需要把握的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，并引例說明。

［例1］已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A,B，點(diǎn)M是橢圓C上異于A,B的一點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)P。

（1）若點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部，求直線AM的斜率的取值范圍；

（2）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q在y軸上，且AQ ∥BM，求證：∠PFQ為定值。

一、解題方向要準(zhǔn)確無誤

定點(diǎn)、定值和最值問題是歷年高考重點(diǎn)考查的題型。本題第（2）問要求證明∠PFQ為定值，有些學(xué)生認(rèn)為這個(gè)角可能為特殊角，如等，想到利用正弦定理、余弦定理等解三角形的有關(guān)知識(shí)求解，進(jìn)而要求△PFQ的其他邊或角。因M是動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)P、Q的位置不確定，要表示P、Q的坐標(biāo)需要引入變量，再利用兩點(diǎn)間距離公式求邊長(zhǎng)，即使可以表示出來，但不容易消元，計(jì)算煩瑣。

類似地，判斷一個(gè)角是銳角、鈍角、直角時(shí)，均可采用此種方法。

二、方法選擇要心中有數(shù)

圓錐曲線問題的求解思路，總的來說有兩種：一是引入直線方程，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，將其與曲線方程聯(lián)立，代入消元，結(jié)合判別式得出根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題目條件列出關(guān)系式，再代入根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解；二是采用設(shè)點(diǎn)法求解，即設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)，將其他相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)用x0,y0表示，再結(jié)合題目條件列出關(guān)于x0,y0的關(guān)系，最后將x0,y0代入曲線方程，據(jù)此進(jìn)行消元處理。

本題中的動(dòng)點(diǎn)是M，因M的變動(dòng)，使得P、Q隨之變動(dòng)，因此可采用設(shè)點(diǎn)法求解。具體解題過程如下：

本題在求解點(diǎn)Q的坐標(biāo)時(shí)，也可利用直線BM與BQ的對(duì)稱性，即先求出直線BM與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)Q與該點(diǎn)的對(duì)稱關(guān)系得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

三、隱含信息要挖掘清楚

本題能不能采用設(shè)直線的斜率k的方法來求解？答案是肯定的。這需要對(duì)題目中隱含的信息進(jìn)行挖掘。本題中所隱含的信息在教材習(xí)題中有所體現(xiàn)。

［例2］（人教版高中數(shù)學(xué)教材A 版選擇性必修1 練習(xí)）已知點(diǎn)B(6,0)，C(-6,0)，過點(diǎn)B的直線l和過點(diǎn)C的直線m相交于點(diǎn)A，設(shè)直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，如果求點(diǎn)A的軌跡方程，并說明此軌跡是何種曲線。

此習(xí)題可推廣到一般的情況。

［例3］已知點(diǎn)B(-a,0)，C(a,0)(a＞0)，過點(diǎn)B的直線l和過點(diǎn)C的直線m相交于點(diǎn)A，設(shè)直線l的斜率為k1，直線m的斜率為k2，如果求點(diǎn)A的軌跡方程，并說明此軌跡是何種曲線。

利用上述求解方法可得點(diǎn)A的軌跡方程為

對(duì)此結(jié)論進(jìn)行逆向探究，可得出如下結(jié)論：

結(jié)論1已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，M為橢圓上不同于A、B的一點(diǎn)，則直線AM、BM的斜率之積為定值

而例1 所給的條件，恰好符合這一結(jié)論，故可采用設(shè)直線斜率的方法求解。

例1 的另外解法：設(shè)直線MA的斜率為k，則直線MA的方程為y=k(x+2)，令x=0，則y=2k，即點(diǎn)P(0,2k)。

教材中的例題、習(xí)題都具有典型性，其中隱含著重要的知識(shí)、結(jié)論，包括解題的方法。因此，廣大教師在教學(xué)中要尊重教材，充分利用教材，并引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究教材，充分發(fā)揮教材的最大作用。

四、結(jié)論探究要進(jìn)行徹底

上述結(jié)論也可以推廣到更為一般的形式，即只要A、B兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，此結(jié)論仍然成立。

結(jié)論2已知橢圓A、B是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，M為橢圓上與點(diǎn)A、B不重合的一點(diǎn)，若直線AM、BM的斜率存在且不為0，則直線AM、BM的斜率之積為定值

圖1

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O，且不與x，y軸重合，交橢圓C于點(diǎn)P,Q，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)D，連接QD并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)E，試判斷直線PE和l的斜率乘積是否為定值。若為定值，請(qǐng)求出該定值，否則請(qǐng)說明理由。

即PE和直線l的斜率之積為定值

本題中橢圓上的點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，所以直線PE與QE的斜率之積為定值。只要我們心中有這個(gè)結(jié)論，解題的方向也自然就明確了。

類似地，在雙曲線中也存在這一結(jié)論。

計(jì)算量大是圓錐曲線問題的重要特征，因此在解決圓錐曲線問題時(shí)除了要注意上述幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，還要做到準(zhǔn)確計(jì)算。

總之，圓錐曲線問題雖然形式多變，方法靈活，但是只要我們能夠準(zhǔn)確把握好關(guān)鍵點(diǎn)，就能以不變應(yīng)萬變，順利、準(zhǔn)確地解決問題。