張林闖，杜欣燁，金洪洪，周 偉，孫永輝

（河海大學 能源與電氣學院，江蘇 南京 210098）

在實際系統(tǒng)運行過程中，突然的外部環(huán)境變化、子零部件失效等因素導致系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)不可避免地發(fā)生變化。為了精確、合理地模擬該類系統(tǒng)的實時運行狀態(tài)，Markov跳變系統(tǒng)理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在實際系統(tǒng)中，并涌現(xiàn)出大量的研究成果[1-4]。然而，在Markov跳變系統(tǒng)理論中，駐留時間遵循指數(shù)分布且具有無記憶性。這種無記憶性分布極大地限制了Markov跳變系統(tǒng)理論的應(yīng)用。隨后，一些學者提出了semi-Markov跳變系統(tǒng)理論，改善了Markov跳變系統(tǒng)理論的應(yīng)用前景[5-7]。文獻[8]針對含奇異攝動的離散semi-Markov跳變系統(tǒng)模型，提出了一種基于離散時間semi-Markov核方法的慢狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定問題。文獻[9]考慮離散線性semi-Markov跳變系統(tǒng)轉(zhuǎn)換率是部分已知的情況，引入了不完全semi-Markov核的概念，并提出了動態(tài)輸出反饋控制方案。進一步，文獻[10]考慮了非線性特征和參數(shù)不確定性對semi-Markov跳變系統(tǒng)性能的影響，引入了區(qū)間二型方法，建立了非線性semi-Markov跳變系統(tǒng)模型，并提出了故障診斷策略。

在上述關(guān)于semi-Markov跳變系統(tǒng)的研究成果中，都是假設(shè)系統(tǒng)的模態(tài)信息能夠?qū)崟r捕獲，以實現(xiàn)系統(tǒng)與控制器/濾波器/觀測器之間的模態(tài)信息傳遞。然而，在實際系統(tǒng)的信息傳輸過程中，由于信號傳輸時延、信息測量不及時等情況時有發(fā)生，這使得實時捕捉系統(tǒng)模態(tài)信息的任務(wù)是很難實現(xiàn)的。因此，許多專家學者提出了隱Markov/semi-Markov過程的概念，以保障控制器/濾波器/觀測器的性能免受異步模態(tài)信息的影響[11-17]。在這些研究成果中，文獻[11]針對連續(xù)型semi-Markov跳變系統(tǒng)，設(shè)計了異步線性濾波器，并提出了Energy-to-Peak濾波方法。文獻[14]考慮系統(tǒng)在信號傳輸時欺騙攻擊對傳輸網(wǎng)絡(luò)的影響，基于事件觸發(fā)策略，提出了具有安全性的無源控制器設(shè)計方法。值得注意的是，上述研究成果在處理系統(tǒng)異步模態(tài)信息時，主要采用已知的條件概率進行描述，但實際系統(tǒng)通常是在極其復雜的環(huán)境下進行信息傳輸?shù)?，難以準確測量系統(tǒng)與控制器/濾波器之間的轉(zhuǎn)移概率。

在此基礎(chǔ)上，文獻[18]引入了模態(tài)轉(zhuǎn)移概率與時變發(fā)射概率模型，提出了基于異步觀測器設(shè)計方法的穩(wěn)定控制策略，極大地降低了先前成果的保守性。然而，現(xiàn)有研究成果對時變發(fā)射概率方法只是進行了初步探索，基于semi-Markov跳變系統(tǒng)模型的線性跳變系統(tǒng)，借助時變發(fā)射概率方法，如何設(shè)計一個有效的非同步靜態(tài)輸出反饋控制器還沒有被徹底解決。本文基于semi-Markov理論構(gòu)建線性跳變系統(tǒng)模型，提出基于時變發(fā)射概率方法的非同步靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計策略。

符號說明： E(·) 表 示數(shù)學期望。H e(A)表示矩陣A與其轉(zhuǎn)置的和。AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置。

1 問題描述

1.1 線性跳變系統(tǒng)模型

考慮外界環(huán)境因素會使實際系統(tǒng)的參數(shù)、結(jié)構(gòu)發(fā)生變化等現(xiàn)象，在本節(jié)中使用semi-Markov跳變系統(tǒng)模型去模擬這類系統(tǒng)的實際運行狀態(tài)。首先，給定概率空間 (Ω,F,P) ，其中Ω、F和P分別表示樣本空間、樣本空間子集的代數(shù)和事件概率?；趕emi-Markov跳變系統(tǒng)模型，線性跳變系統(tǒng)模型如式(1)所示。

式中：x(t)∈Rnx為隨機跳變系統(tǒng)的狀態(tài)向量，u(t)∈Rnu 為系統(tǒng)的控制輸入，w(t)∈Rnw為外部干擾信號且屬于L2[0,∞)，y(t)∈Rny為系統(tǒng)的測量輸出信號，α(t)為連續(xù)時間的齊次semi-Markov過程且取值在有限集 合N={1,2, ···,N1} 內(nèi)，N1為 系統(tǒng) 的 模 態(tài) 總 數(shù)。Aα(t)、Bα(t)、Cα(t)和Dα(t)為具有適當維數(shù)的常數(shù)系統(tǒng)矩陣。為了符號簡化，定義 α (t)=i，系統(tǒng)模型(1)可表示為

注釋1 由上述可知，系統(tǒng)的模態(tài)轉(zhuǎn)移速率πhij僅取決于參數(shù)h。 參數(shù)h表 示駐留時間且不同于時間t，即系統(tǒng)最近一次跳變所消耗的時間。因此，當系統(tǒng)模態(tài)發(fā)生變化時，駐留時間h設(shè)置為0。

1.2 模態(tài)受限下線性跳變系統(tǒng)的控制器設(shè)計

基于上述線性跳變系統(tǒng)模型(2)，設(shè)計靜態(tài)輸出反饋控制器為

式中：參數(shù)Ki為待確定的控制器增益。根據(jù)控制器(3)，不難發(fā)現(xiàn)控制器的設(shè)計依賴于系統(tǒng)模態(tài)i且與系統(tǒng)模態(tài)是實時匹配的。因此，需要確保系統(tǒng)的模態(tài)變化是實時可觀測的。然而，在實際系統(tǒng)中，其模態(tài)信息可能不是連續(xù)可接收的，這使得系統(tǒng)模態(tài)與控制器模態(tài)并不是實時匹配的。針對這種模態(tài)受限現(xiàn)象，引入隱semi-Markov過程去模擬系統(tǒng)模態(tài)的變化。根據(jù)文獻[18]可知,在隱semi-Markov過程中，所有的狀態(tài)是隱藏的且能夠發(fā)射一些可觀測的信號。為了更清晰地描述該過程，引入以下概念：(1) 轉(zhuǎn)移概率：描述隱藏狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律；(2) 發(fā)射概率：描述隱藏狀態(tài)所發(fā)射可觀測信號之間的轉(zhuǎn)移規(guī)律。

2 主要結(jié)論

在本節(jié)中，主要討論閉環(huán)線性跳變系統(tǒng)隨機穩(wěn)定的充分條件以及在時變發(fā)射概率方法下非同步靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計過程。

注釋4 在現(xiàn)有線性跳變系統(tǒng)非同步輸出反饋控制的研究成果中，文獻[21]對于線性跳變系統(tǒng)使用Markov跳變系統(tǒng)模型進行建模，而且通過一種固定轉(zhuǎn)移概率描述系統(tǒng)模態(tài)之間、系統(tǒng)模態(tài)與控制器模態(tài)之間的關(guān)系，進而提出了非同步靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計方法。因此，與文獻[21]相比，本文的研究成果進一步降低了其保守性，而且更加適用于實際系統(tǒng)。

3 數(shù)值算例

在本節(jié)中，旨在通過數(shù)值仿真分析驗證所提基于時變發(fā)射概率方法的線性跳變系統(tǒng)非同步靜態(tài)輸出反饋控制策略的有效性與正確性。首先，考慮含有兩個模態(tài)變化的線性跳變系統(tǒng)(2)。

依據(jù)上述理論以及數(shù)值信息，對系統(tǒng)進行0～50 s的仿真測試，仿真結(jié)果如圖1～4所示。圖1表示線性跳變系統(tǒng)的模態(tài)變化情況。圖2表示在時變發(fā)射概率下非同步靜態(tài)輸出反饋控制器的模態(tài)變化情況。系統(tǒng)的狀態(tài)變化如圖3～4所示。圖3表示開環(huán)線性跳變系統(tǒng)的狀態(tài)變化。圖4表示閉環(huán)線性跳變系統(tǒng)的狀態(tài)變化。從圖3～4可以看出，本文所提的控制方法能夠保障系統(tǒng)的穩(wěn)定運行。因此，該控制方法是有效且正確的。

圖1 線性跳變系統(tǒng)的模態(tài)變化Fig.1 Mode change of linear jump systems

圖2 靜態(tài)輸出反饋控制器的模態(tài)變化Fig.2 Mode change of static output feedback controller

圖3 開環(huán)線性跳變系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)Fig.3 State responses of open-loop linear jump system

圖4 閉環(huán)線性跳變系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)Fig.4 State responses of closed-loop linear jump system

4 結(jié)論

本文基于時變發(fā)射概率方法，研究了模態(tài)受限線性跳變系統(tǒng)的靜態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計問題?？紤]外部環(huán)境使系統(tǒng)參數(shù)與結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的現(xiàn)象，本文充分發(fā)揮了semi-Markov跳變系統(tǒng)模型的優(yōu)勢，建立了基于semi-Markov理論的線性跳變系統(tǒng)模型。為了保障系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，設(shè)計了一個非同步靜態(tài)輸出反饋控制器?？紤]系統(tǒng)模態(tài)受限的情況，本文采用了隱semi-Markov轉(zhuǎn)移概率模型與時變發(fā)射概率模型模擬系統(tǒng)與控制器之間的模態(tài)關(guān)系。此外，通過使用Lyapunov穩(wěn)定性理論與線性矩陣不等式方法，給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性條件以及非同步靜態(tài)輸出反饋控制器的存在條件。最后，通過數(shù)值仿真驗證了所提控制方法的有效性與正確性?；谏鲜鰞?nèi)容，本文的貢獻點包括以下幾個方面：(1) 考慮一類基于semi-Markov跳變系統(tǒng)模型的線性隨機跳變系統(tǒng)，設(shè)計了基于時變發(fā)射概率方法的非同步靜態(tài)輸出反饋控制器；(2) 提出了semi-Markov跳變系統(tǒng)的輸出反饋控制新框架；(3) 提出了閉環(huán)semi-Markov跳變系統(tǒng)新的穩(wěn)定性條件以及控制器存在條件。與一些現(xiàn)有模態(tài)受限系統(tǒng)穩(wěn)定控制策略相比，所提方法能夠克服時不變發(fā)射概率的保守性。在將來的工作中，希望所提控制方法能夠應(yīng)用到更多系統(tǒng)模型中[23-24]。