徐贛君 戴 寧

南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京，210016

0 引言

增材制造能針對設(shè)計對象的特點為其提供專屬設(shè)計方案，它不但能在宏觀層面上實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計，還可以利用空間梯度上的變化提高結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。目前，面向增材制造的設(shè)計方法主要有蒙皮點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計[1]、薄壁加筋結(jié)構(gòu)設(shè)計[2]、一體化結(jié)構(gòu)設(shè)計[3]、異形拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計[4]。點陣是結(jié)構(gòu)功能一體化的優(yōu)良載體，對點陣結(jié)構(gòu)的胞元進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計可實現(xiàn)輕質(zhì)化、承載和減振等各項功能的有機(jī)融合[5]，并已成功應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)[6]、汽車[7]和航空航天[8]等領(lǐng)域。早期的點陣結(jié)構(gòu)研究主要通過數(shù)值模擬方法來預(yù)測其形狀或性能的改變。王飛等[9]借助數(shù)值分析方法提出了點陣結(jié)構(gòu)的細(xì)觀力學(xué)模型，并將其用于預(yù)測不同相對密度的點陣結(jié)構(gòu)在單向壓縮過程中的變形、失穩(wěn)和破壞。施月奇等[10]根據(jù)經(jīng)典梁模型理論分析了點陣結(jié)構(gòu)在復(fù)雜載荷作用的變形規(guī)律，研究表明，改變點陣結(jié)構(gòu)的桿結(jié)構(gòu)半徑和傾角可以明顯影響點陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。

將功能點陣的理論研究應(yīng)用到實際工程中的難點集中在探究材料最優(yōu)分布和充分發(fā)揮力學(xué)性能。前者參照有限元分析結(jié)果，將均質(zhì)點陣設(shè)計為梯度點陣，從而實現(xiàn)點陣結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的調(diào)控；后者通過改變點陣結(jié)構(gòu)胞元的構(gòu)型和幾何尺寸，發(fā)揮點陣結(jié)構(gòu)輕質(zhì)高強(qiáng)度的優(yōu)點。探究材料最優(yōu)分布方面，趙芳壘等[11]對三點彎曲模型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析，并依據(jù)三點彎模型的相對密度對點陣結(jié)構(gòu)進(jìn)行重建，實驗表明該方法能有效提高點陣的承載性能。DAYNESA等[12]參照主應(yīng)力分析結(jié)果來改變均質(zhì)點陣結(jié)構(gòu)的胞元大小和構(gòu)型，并將點陣結(jié)構(gòu)沿應(yīng)力等值線重新布局，從而生成承載性能更好的梯度點陣。DU PLESSIS等[13]依據(jù)均質(zhì)點陣的有限元分析結(jié)果來增大高應(yīng)力區(qū)域點陣的桿徑，提高整體結(jié)構(gòu)的承載性能。上述設(shè)計方法均參照有限元仿真結(jié)果對點陣進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，體現(xiàn)了有限元仿真分析對點陣建模的重要參考價值。

充分發(fā)揮力學(xué)性能方面，AREMU等[14]利用共形點陣設(shè)計方法提高了整體連通性，并驗證共形點陣在復(fù)雜載荷下的力學(xué)性能比均質(zhì)點陣的好。任利民等[15]通過邊界強(qiáng)化模型構(gòu)造的一種梯度點陣提高了蒙皮與點陣間的邊界強(qiáng)度，保證了載荷的有效傳遞。KANG等[16]按照均質(zhì)點陣結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化后的相對密度設(shè)計了一種梯度點陣結(jié)構(gòu)，實驗表明該方法設(shè)計的梯度點陣結(jié)構(gòu)的剛度和強(qiáng)度都比均質(zhì)點陣明顯提高。喻長江等[17]提出一種多級點陣結(jié)構(gòu)的建模方法，并通過實驗證明多級點陣具有更大的彈性模量和更優(yōu)的斷裂韌性。上述設(shè)計方法通過改變點陣胞元的構(gòu)型，有效提高了點陣整體的承載能力。

本文提出了一種減振承載一體化的點陣設(shè)計方法，該方法對共形梁線構(gòu)造體素化空間距離場并抽取等值面來生成共形點陣，依據(jù)梁模型的仿真分析結(jié)果對節(jié)點進(jìn)行參數(shù)化調(diào)控。然后，以齒輪為載體對其輻板填充功能點陣。通過搭建的振動檢測平臺檢測點陣型齒輪結(jié)構(gòu)的振幅，并結(jié)合有限元仿真和承載實驗檢測點陣型齒輪結(jié)構(gòu)的承載能力。

1 功能點陣結(jié)構(gòu)設(shè)計

1.1 技術(shù)路線

功能點陣設(shè)計流程如圖1所示。首先，對點陣梁線構(gòu)造體素化空間距離場并抽取等值面，實現(xiàn)點陣結(jié)構(gòu)建模。然后，根據(jù)給定功能設(shè)計要求對點陣結(jié)構(gòu)的梁模型進(jìn)行仿真，并參照仿真分析結(jié)果對節(jié)點進(jìn)行參數(shù)化調(diào)控。

圖1 功能點陣設(shè)計流程Fig.1 Functional lattice design workflow

1.2 點陣梁線

如圖2a所示，在環(huán)形包圍盒中創(chuàng)建點陣結(jié)構(gòu)需要對點陣結(jié)構(gòu)的梁線進(jìn)行裁剪和連接，然而該方法會破壞其完整性，進(jìn)而削弱邊緣強(qiáng)度。因此本文采用適應(yīng)環(huán)形面的共形梁線進(jìn)行后續(xù)點陣設(shè)計，如圖2b所示。

(a)非共形梁線

(b)共形梁線圖2 環(huán)形包圍盒內(nèi)的點陣結(jié)構(gòu)梁線Fig.2 Lattice structure beams for ring box

1.3 體素化空間距離場函數(shù)模型

構(gòu)造點陣實體結(jié)構(gòu)的方式有兩種：方法1，對點陣結(jié)構(gòu)梁線賦半徑相同的圓形截面來生成點陣結(jié)構(gòu)，見圖3a；方法2，先對點陣結(jié)構(gòu)梁線構(gòu)造體素化空間距離場，再對點陣結(jié)構(gòu)梁線抽取等值面來生成點陣結(jié)構(gòu)，見圖3b。相比于方法1，方法2生成的點陣結(jié)構(gòu)的節(jié)點更加飽滿，桿與桿之間的過渡更加平滑，因此減少了節(jié)點的應(yīng)力集中，提高了點陣結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能[20]。本文選擇方法2構(gòu)造點陣結(jié)構(gòu)，該方法主要分為3個步驟：①構(gòu)造距離場函數(shù)模型；②對梁線體素化并計算每個體素的距離場函數(shù)值；③利用Marching Cubes算法對體素化空間抽取等值面，生成點陣結(jié)構(gòu)。如圖3c所示，點陣的曲面模型由許多體素組成，體素(圖3d)是最小組成單元，其中心到每根梁的距離為距離函數(shù)值。由于距離函數(shù)值相同的體素在同一個曲面上，因此對體素化空間抽取等值面便可獲得點陣結(jié)構(gòu)。

(a)方法1生成的點陣結(jié)構(gòu) (b)方法2生成的點陣結(jié)構(gòu)

(c)點陣結(jié)構(gòu)的曲面模型 (d)體素圖3 構(gòu)造點陣結(jié)構(gòu)的方法Fig.3 The method of constructing lattice structure

為獲得體素的距離場函數(shù)值，將體素記為點N，其坐標(biāo)記為(x，y，z)，將梁線記為L。點N到L的距離為該體素的距離函數(shù)值。L的2個端點記為起點S和終點E。如圖4所示，點N與L有3種空間位置關(guān)系，不同的空間位置關(guān)系有不同的點到線的距離計算公式。因此，這里通過下式來判斷點N與點L的空間位置：

t=[(xS-xN)(xS-xE)+(yS-yN)(yS-yE)+

(zS-zN)(zS-zE)][(xS-xE)2+(yS-yE)2+

(zS-zE)2]-1

(1)

式中，t為判斷參數(shù)，(xS，yS，zS)、(xE，yE，zE)、(xN，yN，zN)分別為點S、E和N的坐標(biāo)。

t<0時，點N到線L的距離為點N到點S的線段長度(見圖4a)；0≤t≤1時，點N到線L的距離為點N到線L的垂線段長度(見圖4b)；t>1時，點N到線L的距離就是點N到點E的線段長度(見圖4c)。因此，計算點N到線L的距離公式為

d(N，L)=

(2)

(a)t<0 (b)0≤t≤1 (c)t>1圖4 體素與梁線的空間位置Fig.4 Spatial position of voxels and beams

于是，體素化空間距離場函數(shù)模型為

(3)

式中，Nx、Ny、Nz分別為包圍盒沿X軸、Y軸、Z軸劃分所得到體素的數(shù)量。

如表1所示，改變距離場函數(shù)值可以改變點陣胞元的節(jié)點半徑和桿徑。

1.4 節(jié)點參數(shù)化調(diào)控

桿結(jié)構(gòu)的連接處存在應(yīng)力集中，因此節(jié)點往往被視為點陣最薄弱處。由點陣結(jié)構(gòu)的細(xì)觀力學(xué)模型[11]可知，增大節(jié)點半徑可提高點陣強(qiáng)度。本節(jié)提出的參數(shù)化調(diào)控方法根據(jù)給定工況對點陣的梁模型進(jìn)行有限元分析，并依據(jù)其分析結(jié)果增大強(qiáng)度不足的節(jié)點半徑，從而實現(xiàn)點陣整體強(qiáng)度的提高。節(jié)點半徑由參與調(diào)控的節(jié)點體素的距離場函數(shù)值及參與調(diào)控的節(jié)點體素的數(shù)量決定。點陣

表1 距離場函數(shù)值對點陣胞元的影響

模型的體素化信息可表示為(I，x，y，z，V)，其中，I為體素號，(x，y，z)為體素坐標(biāo)，V為距離場函數(shù)值。梁模型仿真結(jié)果中，節(jié)點分析的結(jié)果表示為(I，x，y，z，F(xiàn))，其中，F(xiàn)為梁節(jié)點的變形量。實現(xiàn)梁模型仿真結(jié)果對點陣體素的調(diào)控的具體算法如下。

算法1:計算節(jié)點半徑的增大倍數(shù)輸入:(I,x,y,z,F)。輸出:(I,x,y,z,w)。1. for i ← 1 to n∥n為點陣的節(jié)點數(shù)量2. wi=1 +(Fi-Fmin)/(Fmax-Fmin)∥w為梁模型節(jié)點的半徑增大倍數(shù),將節(jié)點半徑增大至與其變形量匹配的倍數(shù),從而對點陣結(jié)構(gòu)進(jìn)行補(bǔ)強(qiáng)3. end for4. ∥僅增大存在破壞風(fēng)險的節(jié)點的半徑5. for i ← 1 to n∥n為點陣的節(jié)點數(shù)量6. if Fi < Frisk∥ Frisk為梁模型仿真中存在破壞風(fēng)險的節(jié)點的變形7. wi=18. else if9. wi=wi10. end if11.end for

算法2:利用八叉樹調(diào)控節(jié)點體素輸入:(I,x,y,z,V)、(I,x,y,z,w)。輸出:(I,x,y,z,R)。1. for i ← 1 to m∥ m為點陣體素的數(shù)量2. voxel_octree ← voxel[i].(x, y,z)3. end for4. for i ← 1 to n∥ n為點陣的節(jié)點數(shù)量5. Query ← w[i].(x,y,z)∥ Query為當(dāng)前查詢的節(jié)點坐標(biāo)

6. Ri=wi ? R0∥ R0為初始節(jié)點半徑7. Function FindPointsWithRadius(Ri, Query, result)∥以Ri為查詢半徑在voxel_octree中查找參與調(diào)控的節(jié)點體素,并將查詢結(jié)果放入result中8. for i ← 1 to k∥k為result的數(shù)量9. map[i]← result[i].(x,y,z)10. end for11.end for12.for i ← 1 to h∥h為參與調(diào)控的節(jié)點體素的數(shù)量13. map_octree ← map[i].(x,y,z)14.end for15.for i ← 1 to m∥ m為點陣體素的數(shù)量16. Query← voxel[i].(x,y,z)∥Query為當(dāng)前查詢的體素坐標(biāo)17. I=FindClosestPoint(Query)∥在map_octree 中查找需要調(diào)控的體素,I為查詢到的體素18. if I=0∥未查詢到則該體素的距離場函數(shù)值不變19. Ri=Vi20. else if∥查詢到則修改該體素的距離場函數(shù)值21. Ri=Vi ? map[i].w22. end if23.end for

2 實驗設(shè)計

2.1 實驗方法

為驗證所提方法的有效性，本節(jié)以齒輪為載體對輻板填充功能點陣結(jié)構(gòu)，并通過振動實驗和承載實驗驗證點陣結(jié)構(gòu)的功能特性和承載能力。實驗齒輪樣件的齒數(shù)為24，模數(shù)為6，內(nèi)部填充點陣結(jié)構(gòu)的輻板外圓、內(nèi)圓的直徑分別為119 mm和54 mm，以光敏樹脂為材料，采用光固化成形工藝制造。如圖5所示，針對輻板的內(nèi)外圓環(huán)面設(shè)計出共形點陣梁線，通過有限元模擬齒輪的振動工況，得到梁模型的振動仿真結(jié)果(圖5a)。通過對共形梁線構(gòu)造體素化空間距離場并抽取等值面，得到共形點陣(圖5b)。為降低共形點陣齒輪的振幅，依據(jù)梁模型的振動仿真結(jié)果對共形點陣中強(qiáng)度不足的節(jié)點進(jìn)行參數(shù)化調(diào)控，得到功能點陣(圖5c)。相比共形點陣，節(jié)點增強(qiáng)后的功能點陣質(zhì)量有所增加，因此，為客觀評價功能點陣的功能特性，通過等比例增大共形點陣體素的距離場函數(shù)值，得到質(zhì)量與功能點陣基本相同的增強(qiáng)型共形點陣(圖5d)。上述點陣齒輪的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量如表2所示。

對實心齒輪S和共形點陣齒輪G組成的齒輪副S-G、實心齒輪S和增強(qiáng)型共形點陣齒輪Q組成的齒輪副S-Q、實心齒輪S和功能點陣齒輪F組成的齒輪副S-F進(jìn)行振動性能檢測實驗。為保證3種齒輪副具有相同的測試工況，采用手持型轉(zhuǎn)速表對電機(jī)轉(zhuǎn)速進(jìn)行檢測與調(diào)控。齒輪轉(zhuǎn)速的檢測方法如下：①將反光貼紙貼在電機(jī)輸出軸上；②齒輪轉(zhuǎn)動時，啟動手持型轉(zhuǎn)速表，發(fā)射出光束并將其始終對準(zhǔn)電機(jī)輸出軸；③從手持型轉(zhuǎn)速表顯示器讀取齒輪轉(zhuǎn)速。通過分析齒輪副嚙合產(chǎn)生的振動信號，獲得不同齒輪副的加速度頻譜。加速度頻譜中，主頻振幅表征結(jié)構(gòu)振動的最大變形，主頻振幅越大，結(jié)構(gòu)振動越劇烈。因此，以主頻振幅為標(biāo)準(zhǔn)，評估點陣的振動性能。

(a)共形梁線及其梁模型的振動仿真結(jié)果 (b)共形點陣

(c)功能點陣 (d)增強(qiáng)型共形點陣圖5 實驗齒輪樣件Fig.5 Experimental gears

表2 不同齒輪的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動慣量

承載能力檢測實驗中，以恒壓頻比的方式啟動電機(jī)，以齒輪斷裂時的電機(jī)變頻器示數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，評估點陣的承載能力。

2.2 實驗平臺搭建

實驗齒輪樣件的振動性能由搭建的振動檢測平臺檢測(圖6a)，該平臺由傳動系統(tǒng)(圖6b)和信號分析系統(tǒng)組成。傳動系統(tǒng)包括1根傳動軸、1對軸承座、1臺調(diào)頻電動機(jī)、1個傳感器和1對待測齒輪副。1對待測齒輪副的中心距等于單個齒輪的分度圓直徑，以滿足齒輪副的嚙合要求。齒輪副的振動信號在傳動系統(tǒng)中產(chǎn)生。利用PCB加速度傳感器(型號8703450M1)采集待測齒輪副的振動信號，利用Spider-80XI模塊處理信號，最后由Crystal軟件將振動信號轉(zhuǎn)換為加速度頻譜。

(a)振動檢測平臺

(b)傳動系統(tǒng) (c)承載能力檢測平臺圖6 實驗系統(tǒng)搭建Fig.6 Experimental system construction

齒輪的承載能力在承載能力檢測平臺上檢測(圖6c)。該平臺由傳動系統(tǒng)改裝而得，即將傳動系統(tǒng)的傳動軸更換為固定軸后，在固定軸上安裝金屬齒輪。電機(jī)驅(qū)動待測齒輪轉(zhuǎn)動時，固定金屬齒輪不動，與其嚙合的待測齒輪也無法轉(zhuǎn)動，此時的電機(jī)轉(zhuǎn)速為0，轉(zhuǎn)差率為0，待測齒輪承受的是電機(jī)的啟動扭矩。變頻器以恒壓頻比的方式啟動電機(jī)，增大電機(jī)頻率可增大施加在待測齒輪上的扭矩，從而增大輪齒上的法向力。當(dāng)法向力達(dá)到輪齒的極限載荷時，待測齒輪發(fā)生破壞。實驗過程中，輪齒上的法向力隨電機(jī)頻率的增大而增大，因此，通過對比齒輪破壞時的電機(jī)頻率，可對比點陣的極限載荷，進(jìn)而對比其承載能力。

3 實驗結(jié)果

3.1 振動實驗

在電機(jī)的不同轉(zhuǎn)速下對3種齒輪副進(jìn)行振動測試，測試結(jié)果如表3所示。電機(jī)轉(zhuǎn)速為80 r/min時，功能點陣的主頻振幅下降最多，下降了33.60%。

表3 不同電機(jī)轉(zhuǎn)速下的振動實驗結(jié)果

電機(jī)轉(zhuǎn)速為80 r/min時，重復(fù)3次振動實驗，3次振動實驗中的所有齒輪副的加速度頻譜如圖7所示。實驗結(jié)果如表4所示。增強(qiáng)型共形點陣和功能點陣的質(zhì)量基本相同，但后者減振效果更好(相比前者，后者的主頻振幅下降了20.90%)。

表4 80 r/min下的不同齒輪副的主頻振幅

3.2 承載實驗

采取有限元仿真及齒輪承載實驗來驗證功能點陣的承載能力。有限元仿真模型的網(wǎng)格在3-matic軟件中劃分，網(wǎng)格尺寸為1 mm，網(wǎng)格單元為四面體單元，約束設(shè)置為輪轂內(nèi)表面固定，載荷為垂直于輪齒齒面的100 N法向力，加載位置在齒輪分度圓處，如圖8所示。有限元仿真模型中，材料密度為1.16 g/cm3，彈性模量為2.5 GPa，泊松比為0.41。

不同點陣的應(yīng)力分布與破壞情況如圖9所示，承載實驗結(jié)果如表5所示。由圖9可知，共形點陣的桿結(jié)構(gòu)存在密集的高應(yīng)力區(qū)域，最大應(yīng)力為14.70 MPa；增強(qiáng)型共形點陣桿結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中仍然存在，最大應(yīng)力為6.25 MPa；功能點陣桿結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中有所減少，最大應(yīng)力為5.76 MPa。

表5 承載實驗結(jié)果

(a)齒輪副S-G

(b)齒輪副S-Q

(c)齒輪副S-F圖7 3次振動實驗中的3種齒輪副的加速度頻譜Fig.7 Acceleration spectrum of three kinds of gear pairs in three times vibration experiments

圖8 點陣結(jié)構(gòu)的承載有限元模型Fig.8 Finite element model of lattice in loading experiment

(a)共形點陣

(b)增強(qiáng)型共形點陣

(c)功能點陣圖9 不同點陣的應(yīng)力分布與破壞情況Fig.9 Stress distribution and fracture of different lattices

由破壞情況和承載實驗結(jié)果可知，共形點陣破壞時，其最內(nèi)圈的所有桿結(jié)構(gòu)斷裂，點陣與輪轂分離，破壞時的電機(jī)頻率為2.4 Hz；增強(qiáng)型共形點陣破壞時，部分桿結(jié)構(gòu)隨輪轂和輪齒一起斷裂，其余桿結(jié)構(gòu)保持完整，破壞時的電機(jī)頻率為3.0 Hz；功能點陣破壞時，最內(nèi)圈的少數(shù)桿結(jié)構(gòu)隨輪轂一起斷裂，大部分桿結(jié)構(gòu)保持完整，破壞時的電機(jī)頻率為3.9 Hz。增強(qiáng)型共形點陣和功能點陣的質(zhì)量基本相同，而功能點陣的承載能力更好，破壞頻率較增強(qiáng)型共形點陣提高了30.00%。

4 結(jié)論

(1)依據(jù)梁模型的振動仿真結(jié)果對強(qiáng)度不足的節(jié)點進(jìn)行參數(shù)化調(diào)控，可在保證點陣結(jié)構(gòu)自身輕量化效果的同時降低點陣結(jié)構(gòu)的振幅。

(2)依據(jù)梁模型的振動仿真結(jié)果對強(qiáng)度不足的節(jié)點進(jìn)行參數(shù)化調(diào)控，可減少周圍桿結(jié)構(gòu)的應(yīng)力集中，使點陣的承載能力得到充分發(fā)揮，從而能夠抵抗較大載荷。

(3)對比質(zhì)量相同的點陣結(jié)構(gòu)，功能點陣的主頻振幅降低了20.90%，承載能力提高了30.00%。