王一熙 沈惠平 陳 譜 吳廣磊

1.常州大學(xué)現(xiàn)代機(jī)構(gòu)學(xué)研究中心，常州，2131642.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，大連，116024

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化是指在滿足機(jī)構(gòu)基本功能(自由度、輸出運(yùn)動類型和數(shù)目)的情況下，優(yōu)化機(jī)構(gòu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[1-5]，但目前對并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化的研究還較少，檢索到的關(guān)于拓?fù)鋬?yōu)化的論文大多是關(guān)于連續(xù)體的柔順機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)件的形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)[6-7]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)優(yōu)化一直作為提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能的主要手段[8-9]，而目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能評價(jià)主要有三類性能指標(biāo)，即機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)性能、靜態(tài)性能和動態(tài)性能[10-11]。

運(yùn)動學(xué)性能評價(jià)主要依據(jù)基于工作空間、基于無奇異、基于轉(zhuǎn)動能力的方向工作空間和靈巧度工作空間的性能指標(biāo)來分別評價(jià)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動/力傳遞性能、靈巧度和奇異性能[11]；而靜態(tài)和動態(tài)性能評價(jià)主要依據(jù)全局剛度、動力學(xué)靈巧度指標(biāo)來分別評價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度、動力學(xué)方面的性能[3，10]。車林仙[12]利用帶修復(fù)策略可行性規(guī)則的差分進(jìn)化算法，對球面四桿機(jī)構(gòu)函數(shù)進(jìn)行綜合，提出處理優(yōu)化約束條件的可行性規(guī)則，其可靠性和穩(wěn)健性指標(biāo)優(yōu)于對比算法；池騰騰[13]利用Isight和MATLAB軟件的耦合分析，對2-RPU/SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并結(jié)合商用軟件中的一些數(shù)值工具，較好地提高了優(yōu)化過程的可重復(fù)性和穩(wěn)健性；WU[1]運(yùn)用NSGA-Ⅱ算法對3-RRR球面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化，通過Pareto前沿優(yōu)化結(jié)果得到了兩目標(biāo)下球面機(jī)構(gòu)的優(yōu)化性能；吳超宇[14]采用權(quán)重系數(shù)，將Tripod并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)、剛度三者的多目標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)問題進(jìn)行了優(yōu)化；劉平松[15]基于工作空間大小、速度靈巧度和靜剛度指標(biāo)，對I4R型并聯(lián)機(jī)器人全域性能進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化；ALTUZARRA等[16]將線性驅(qū)動的四自由度并聯(lián)操作手的工作空間體積和靈活性作為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)；TAGHVAEIPOUR等[17]提出了McGill SMG并聯(lián)機(jī)器人的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，旨在最大化機(jī)器人的工作空間和剛度，但使用的剛度指標(biāo)無法充分代表剛度性能；WU等[18]通過預(yù)先確定的工作空間，對Ragar機(jī)器人運(yùn)動學(xué)、靜力學(xué)和動力學(xué)同時(shí)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，利用遺傳算法給出了三目標(biāo)下的Pareto前沿優(yōu)化結(jié)果。CHE[19]用輸入傳遞和輸出傳遞兩個(gè)指標(biāo)來評價(jià)4-RUPaR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動和力傳遞性能，并使其傳遞位置空間最大。

上述研究中還存在以下問題：機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的參數(shù)較單一，無法涵蓋并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動學(xué)、剛度、動力學(xué)的全部設(shè)計(jì)參數(shù)；多目標(biāo)優(yōu)化時(shí)，較多的綜合性能指標(biāo)無法清晰地判斷各自參數(shù)對整個(gè)優(yōu)化過程的效果。

本文主要研究機(jī)構(gòu)的綜合參數(shù)優(yōu)化，包括機(jī)構(gòu)的尺度、截面及質(zhì)量參數(shù)，即從并聯(lián)機(jī)構(gòu)產(chǎn)品設(shè)計(jì)的視角出發(fā)，在其初期設(shè)計(jì)階段，提出基于運(yùn)動學(xué)、剛度和動力學(xué)性能的有序遞進(jìn)三級優(yōu)化設(shè)計(jì)策略和方法，也就是說為滿足運(yùn)動學(xué)層面的性能，首先優(yōu)化機(jī)構(gòu)的尺度參數(shù)以滿足機(jī)構(gòu)的工作空間體積、轉(zhuǎn)動能力和運(yùn)動/力傳遞性能；然后在已優(yōu)化的尺度參數(shù)上，優(yōu)化桿件的截面參數(shù)，使機(jī)構(gòu)的剛度性能達(dá)到優(yōu)化；最后，在已優(yōu)化的尺度參數(shù)和截面參數(shù)的基礎(chǔ)上，再優(yōu)化桿件的質(zhì)量(分布)參數(shù)，使機(jī)構(gòu)的動力學(xué)性能達(dá)到優(yōu)化。以文獻(xiàn)[20]提出的零耦合度且運(yùn)動解耦的2-(RPa3R)3R機(jī)構(gòu)的并聯(lián)操作為例，闡述上述綜合優(yōu)化方法及其求解過程。

1 2-(RPa3R)3R并聯(lián)操作手

零耦合度且運(yùn)動解耦的四自由度三平移一轉(zhuǎn)動(3T1R)2-(RPa3R)3R并聯(lián)操作手[20]如圖1所示。該機(jī)構(gòu)的動平臺1及靜平臺0由兩條相同的混合支鏈(HSOC)相連，每條混合支鏈由一個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)和子串SOC{-R∥R⊥R-}(例：R22∥R23∥R24)串聯(lián)得到，子并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由與靜平臺0通過R11副相連的子串SOC{-R11∥R12⊥R13-}和子串SOC{-R21-Pa4s-}并聯(lián)得到，其中，Pa4s為由4個(gè)球副(如S1、S2、S3、S4)組成的平行四邊形(Pa)結(jié)構(gòu)，子串SOC{-R22∥R23⊥R24-}的R22副串接在Pa4s結(jié)構(gòu)的短邊上，兩條混合支鏈通過R24、R34與動平臺1相連，且R24∥R34。

2 運(yùn)動學(xué)尺度參數(shù)的優(yōu)化

2.1 參數(shù)化建模

圖1c為2-(RPa3R)3R并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動建模簡圖。靜坐標(biāo)系OXYZ的原點(diǎn)O為靜平臺重心，X軸正向垂直于轉(zhuǎn)動副R41(A4)的軸線并指向其運(yùn)動副中心，而Y軸正向平行于轉(zhuǎn)動副R41的軸線并指向轉(zhuǎn)動副R11(A1)的中心；在動平臺1上建立動坐標(biāo)系PX′Y′Z′，P為動平臺中心，Y′軸正向垂直于轉(zhuǎn)動副R24的軸線并指向其運(yùn)動副中心，Z′軸和Z軸姿態(tài)相同，X′軸由右手法則確定。

(a)機(jī)構(gòu)三維CAD圖

(b)機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖

(c)運(yùn)動學(xué)建模圖圖1 零耦合度且運(yùn)動解耦的四自由度三平移一轉(zhuǎn)動(3T1R)2-(RPa3R)3R并聯(lián)操作手Fig.1 A 4-DOF(3T1R) 2-(RPa3R)3R parallel manipulator with zero-coupling and decoupling motion

定義I、J、K為靜坐標(biāo)系X軸、Y軸和Z軸的方向向量。各運(yùn)動副中心分別記為Ai、Bi、Ci(i=1，2，3，4)和Di、Ei(i=2，3)；在靜坐標(biāo)系中，它們相應(yīng)的位置向量分別記為Ai、Bi、Ci和Di、Ei，符號標(biāo)注如圖1c所示。

在靜平臺0上，各驅(qū)動副中心的位置為

(1)

式中，la為驅(qū)動副Ri1到靜坐標(biāo)系原點(diǎn)O的長度；ai為驅(qū)動副Ri1中心Ai在靜坐標(biāo)系OXY平面的單位向量；R(Z)為繞靜坐標(biāo)系Z軸的旋轉(zhuǎn)矩陣；I為單位陣。

四條支鏈中驅(qū)動副Ri1的軸線方向?yàn)?/p>

(2)

式中，ei為Ri1軸線在靜坐標(biāo)系中的方向向量。

驅(qū)動臂末端Bi的位置向量可表示為

Bi=Ai+lbbi

(3)

式中，lb為驅(qū)動副中心Ai和運(yùn)動副中心Bi間的長度；R(X)為繞靜坐標(biāo)系X軸的旋轉(zhuǎn)矩陣；bi為沿AiBi在靜坐標(biāo)系中的方向向量；θi為驅(qū)動副Ri1的轉(zhuǎn)角，如圖1c所示。

則子動平臺1上各運(yùn)動副中心的位置為

Ci=Bi+lcci

(4)

式中，lc為運(yùn)動副中心Bi和Ci間的長度；ci為沿BiCi在靜坐標(biāo)系中的方向向量。

Ci(i=2，3)也可表示為

(5)

在6R空間結(jié)構(gòu)(R22∥R23⊥R24∥R34⊥R33∥R32)中，位置向量Di和Ei可分別表示為

Di=Ci+lddi

(6)

ld=CiDi

Ei=Di-leK

(7)

le=DiEi

式中，di為沿CiDi的方向向量；ηi為轉(zhuǎn)動副Ri3的轉(zhuǎn)角。

進(jìn)一步，可得動平臺中心的位置向量為

P=Ei+lppii=2，3

(8)

lp=PEii=2，3

式中，pi為沿EiP方向的向量；α為動平臺繞Z軸的順時(shí)針夾角。

于是，末端的動平臺1的中心位姿可表示為χ=[PTα]T。

2.2 逆向運(yùn)動學(xué)

由文獻(xiàn)[20]可知，2個(gè)子動平臺(桿件S3S4，S7S8)均做二維移動，其運(yùn)動平面始終垂直于驅(qū)動副Ri1(i=1，4)的軸線，得到Ci(i=2，3)的約束方程：

(9)

由式(9)可得

i=2，3

再利用幾何約束條件建立約束方程，得

(10)

求得四個(gè)驅(qū)動副轉(zhuǎn)角為

θi=

2.3 運(yùn)動學(xué)性能指標(biāo)

2.3.1可達(dá)工作空間

運(yùn)用離散化方法[21-22]，基于逆向運(yùn)動學(xué)，取搜索步距為1 cm，可得到該并聯(lián)操作手的近似于柱狀的可達(dá)工作空間[23]，它可認(rèn)為是由無數(shù)個(gè)1 cm3的小立方體組成的三維體。因原始尺度參數(shù)下點(diǎn)集的數(shù)量為35 181，故可近似估計(jì)原始工作空間的體積V=35 181×1 cm3=35 181 cm3。據(jù)此，可將該工作空間體積定義為可達(dá)工作空間性能指標(biāo)fv=V。

2.3.2轉(zhuǎn)角工作空間

轉(zhuǎn)角工作空間是指在動平臺位置固定時(shí)，機(jī)構(gòu)所能達(dá)到的所有姿態(tài)。SCARA并聯(lián)操作手具有獨(dú)立的一維轉(zhuǎn)動自由度，轉(zhuǎn)角工作空間是其重要的運(yùn)動學(xué)性能，但動平臺處于某一位置時(shí)，其轉(zhuǎn)角只能在一定范圍[αmin，αmax]變化，結(jié)合原始操作手尺度參數(shù)，得到操作手可達(dá)工作空間中z=-450 mm平面上的轉(zhuǎn)動范圍，如圖2所示。圖中等高線上的數(shù)值分別表示動平臺在該區(qū)域內(nèi)運(yùn)動時(shí)，可達(dá)到的最小轉(zhuǎn)角αmin和最大轉(zhuǎn)角αmax。

但為統(tǒng)一評價(jià)機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的轉(zhuǎn)動性能，定義Δα=αmax-αmin為單個(gè)位置下轉(zhuǎn)角范圍的大小，并用它來評價(jià)該位置下的轉(zhuǎn)動性能，得到該機(jī)構(gòu)在上述平面內(nèi)Δα的變化情況，如圖3所示。

(a)最大轉(zhuǎn)角αmax

(b)最小轉(zhuǎn)角αmin圖2 z=-450 mm位置上的轉(zhuǎn)角極值Fig.2 Extremum rotation angle at z=-450 mm

圖3 工作平面中的轉(zhuǎn)角范圍Fig.3 Range of rotation angle at the working plane

2.3.3運(yùn)動/力傳遞性能

機(jī)構(gòu)的基本功能是實(shí)現(xiàn)從輸入端到輸出端的運(yùn)動和力傳遞，現(xiàn)通過定義機(jī)構(gòu)的全局傳輸性能指標(biāo)來評估機(jī)構(gòu)的傳遞性能[11，24]。

式中，“°”為互易積符號。

為評價(jià)機(jī)構(gòu)的整體輸入傳遞性能，定義機(jī)構(gòu)的輸入傳遞指標(biāo)為各支鏈中能效系數(shù)的最小值：

同樣，通過運(yùn)動旋量和力旋量的互易性，有

因機(jī)構(gòu)整體的傳遞性能同時(shí)受輸入傳遞性能和輸出傳遞性能的影響，為評價(jià)機(jī)構(gòu)整體的運(yùn)動/力傳遞性能，定義機(jī)構(gòu)局部傳遞指標(biāo)(local transmission index，LTI)為機(jī)構(gòu)的輸入傳遞性能和輸出傳遞性能中最差的部分，具體表示為

γL=min(γI，γO)

在該并聯(lián)操作手的原始尺寸參數(shù)下，給出在定姿態(tài)時(shí)，工作高度z分別為-600 mm和-350 mm時(shí)局部傳遞指標(biāo)的分布，其形狀類似塔型，如圖4a所示，而在多個(gè)不同姿態(tài)(轉(zhuǎn)角為-90°，45°，180°)下，即動平臺在靜坐標(biāo)系中的指標(biāo)分布與定姿態(tài)相似，如圖4b所示。

(a)不同高度z

(b)不同姿態(tài)α圖4 局部傳遞性能指標(biāo)的變化Fig.4 Variation about local transmission index

2.4 基于智能優(yōu)化算法的運(yùn)動學(xué)性能優(yōu)化

目前，智能優(yōu)化算法主要有遺傳算法(GA)、免疫算法(IA)、粒子群算法(PSO)、蟻群算法(ACO)、差分進(jìn)化算法(DE)等[25]，其中，GA、PSO、DE算法表現(xiàn)出很好的適用性和可靠性[26]。本文利用這三種智能算法進(jìn)行計(jì)算，一方面，可將三個(gè)算法的優(yōu)化過程和結(jié)果相互對比和驗(yàn)證，了解各自的優(yōu)化進(jìn)程及是否會陷入局部最優(yōu)；另一方面，可比較分析這三種算法對并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的適用性和可靠性。

2.4.1確定尺度參數(shù)的約束條件

以原始尺度參數(shù)的±50%為設(shè)計(jì)變化量，確定設(shè)計(jì)變量的設(shè)計(jì)范圍，如表1所示。

表1 尺度參數(shù)的設(shè)計(jì)變量及其變化范圍

機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間受尺度參數(shù)的大小決定，因此，須對機(jī)構(gòu)尺度參數(shù)的總和進(jìn)行限制，由機(jī)構(gòu)的原始參數(shù)，計(jì)算得

則在優(yōu)化過程中，設(shè)計(jì)變量必須滿足約束

關(guān)節(jié)的運(yùn)動能力是并聯(lián)操作手運(yùn)動的基本保證，受結(jié)構(gòu)和安裝空間等因素的影響，考慮主動桿和靜平臺的干涉，確定驅(qū)動角的變化范圍為θ∈(-78°，78°)[23]；而對于平面四邊形結(jié)構(gòu)Pa4s而言，因長邊桿和短邊桿的相對運(yùn)動存在運(yùn)動干涉和限制，因此限制S副處的空間轉(zhuǎn)角范圍為(-60°，60°)[23]。

2.4.2確定目標(biāo)函數(shù)

機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)性能的三個(gè)重要指標(biāo)已在2.3節(jié)闡述，因此，可將工作空間(可達(dá)、轉(zhuǎn)角)和運(yùn)動/力傳遞的性能指標(biāo)作為性能優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，即

fV(x)=V(cm3)→max

于是，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)性能優(yōu)化問題等效為對上述三個(gè)目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)優(yōu)化問題[27]。由2.3節(jié)可知，該機(jī)構(gòu)的工作空間形狀規(guī)則，但可達(dá)工作空間較小，而機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)角范圍較大，因此，可適當(dāng)提高可達(dá)工作空間的優(yōu)化權(quán)重，這樣，可將基于可達(dá)工作空間體積和運(yùn)動/力傳遞的性能指標(biāo)作為主要目標(biāo)函數(shù)，分別得到50%和35%的權(quán)重，則轉(zhuǎn)角工作空間性能指標(biāo)為15%。進(jìn)一步，為合理表達(dá)性能指標(biāo)在優(yōu)化過程中的變化，將各性能指標(biāo)進(jìn)行歸一化，最終，得到的運(yùn)動學(xué)多性能優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(11)

2.4.3優(yōu)化過程分析和結(jié)果比較

對三種算法參數(shù)進(jìn)行初始化設(shè)置[25]，如表2所示。再借助MATLAB用三種算法分別進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，其優(yōu)化過程如圖5所示。從圖5中可看出，隨著迭代次數(shù)的增加，目標(biāo)函數(shù)的變化趨向穩(wěn)定值。將三種優(yōu)化算法得到的尺度參數(shù)最優(yōu)解、最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)fk及計(jì)算時(shí)間t進(jìn)行比較，結(jié)果如表3所示。由圖5可知，有限次迭代后，GA算法遠(yuǎn)未達(dá)到最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值就已接近收斂；從優(yōu)化效果(即fk值)來看，DE算法取得了最好的效果，PSO算法取得的優(yōu)化效果與DE算法極為接近，但PSO算法用時(shí)較多。由圖5和表3可知，在優(yōu)化效果極為接近的情況下，DE算法與PSO算法得到的尺度參數(shù)有一定區(qū)別，PSO算法取了較大的la值和較小的lc值，DE算法與之相反，但DE算法的效果更優(yōu)，說明PSO算法陷入了局部最優(yōu)，也說明該機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)性能優(yōu)化時(shí)存在相近峰值，但DE算法能更準(zhǔn)確地得到最優(yōu)解。

表2 智能算法的初始化

圖5 尺度參數(shù)優(yōu)化過程及其計(jì)算曲線Fig.5 Optimization process and calculation curve of dimension parameters

表3 優(yōu)化前后的結(jié)構(gòu)參數(shù)和最優(yōu)適應(yīng)度函數(shù)fk

將DE算法優(yōu)化后的尺度參數(shù)進(jìn)行圓整，以適應(yīng)設(shè)計(jì)加工需要，并對比分析優(yōu)化前后的運(yùn)動學(xué)性能(工作空間、運(yùn)動/力傳遞)指標(biāo)，如表4所示。

由表4可知，優(yōu)化后雖然機(jī)構(gòu)的運(yùn)動/力傳遞性能減弱了13.714%，但其可達(dá)工作空間的體積增加了233.282%，轉(zhuǎn)角工作空間也增加了21.299%，如圖6所示。

圖6 優(yōu)化前后的可達(dá)工作空間Fig.6 Reachable workspace before and after optimization

3 剛度截面參數(shù)的優(yōu)化

3.1 剛度建模

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度是指動平臺在外力作用下，因機(jī)構(gòu)中彈性構(gòu)件的變形而引起動平臺產(chǎn)生微小位姿的難易程度。文獻(xiàn)[28]提出虛擬彈簧法(virtual spring method，VSM)，在不考慮預(yù)載荷的情況下，利用多自由度虛擬彈簧描述桿件在空間中多維彈性變形(扭轉(zhuǎn)變形、彎曲變形和拉伸變形)，并考慮桿件的拉伸/扭轉(zhuǎn)變形之間的耦合特性；文獻(xiàn)[29]利用旋量計(jì)算簡化了該方法中運(yùn)動映射的計(jì)算過程，可快速地對機(jī)構(gòu)進(jìn)行剛度建模分析與優(yōu)化。本文采用VSM方法對2-(Pa3R)3R并聯(lián)操作手進(jìn)行剛度建模。因該并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由兩條混合支鏈組成的，因此先將每條混合支鏈分解為子并聯(lián)機(jī)構(gòu)和串聯(lián)支鏈部分，并依次建立子并聯(lián)機(jī)構(gòu)、混合支鏈的柔性模型，然后，通過靜力平衡方程得到支鏈的笛卡兒剛度矩陣，最后，將支鏈的剛度疊加，得到機(jī)構(gòu)的整體剛度矩陣。

3.1.1分支鏈1、2的剛度矩陣

(a)R‖R‖R支鏈

(b)R-Pa4s支鏈圖7 子并聯(lián)機(jī)構(gòu)中分支鏈的柔性模型Fig.7 Flexible model of limbs in sub-parallel mechanism

在R-Pa4s支鏈中，4-DOF是將Pa4s中被補(bǔ)償而消失的自由度當(dāng)作被動關(guān)節(jié)放置在平行四邊形前端；2-DOF虛擬彈簧是為減去Pa4s中4-DOF的被動運(yùn)動只保留存在剛度的自由度方向。由此，得到支鏈的一般性運(yùn)動變形方程如下：

(12)

文獻(xiàn)[29]中給出了支鏈的笛卡兒矩陣表達(dá)形式：

(13)

i=1，2

而分支鏈1、2中相應(yīng)的柔度矩陣為

3.1.2子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度矩陣

這樣，混合支鏈的柔性模型為子并聯(lián)機(jī)構(gòu)和串聯(lián)支鏈部分的組合，如圖8所示。

圖8 混合支鏈的柔性模型Fig.8 Flexible model of the mixed limb

其中，子并聯(lián)機(jī)構(gòu)末端的6-DOF虛擬彈簧是將子并聯(lián)機(jī)構(gòu)看作整體，描述其在笛卡兒空間內(nèi)的六自由度的彈性變形。

通過代入相應(yīng)的截面系數(shù)和材料系數(shù)，得到混合支鏈1、 2中相應(yīng)的柔度矩陣分別為

3.1.3機(jī)構(gòu)的剛度矩陣

3.2 基于CAD模型的參數(shù)識別

依次施加不同方向的單位力與力矩，得到局部坐標(biāo)系中相應(yīng)方向的變形，將變形作為主動臂柔度矩陣中的元素，如下式所示：

Ksθ=

(14)

用同樣的方法，可分別得到該操作手中其他各桿件的柔度矩陣[23]，為后續(xù)的剛度性能分析提供參數(shù)。

3.3 剛度性能指標(biāo)的分析

笛卡兒剛度矩陣中存在量綱不一致的問題。為避免量綱不一致對所分析機(jī)構(gòu)在不同位置時(shí)剛度特性的影響，文獻(xiàn)[32]提出基于虛功原理的剛度指標(biāo)，定義虛功剛度指標(biāo)(單位：1/J)為

在相同單位外力/外力矩funit下，外力做功越小，產(chǎn)生的動平臺位姿變化越小，因此，WV指標(biāo)數(shù)值越大，該位置的剛度性能越好。

3.3.1機(jī)構(gòu)的單方向承載性能

對該并聯(lián)操作手而言，假設(shè)動平臺在靜坐標(biāo)系中受到重力方向單位負(fù)載fg=(0，0，0，0，0，-1)T(N)，運(yùn)用WV剛度指標(biāo)可計(jì)算得到該負(fù)載下的指標(biāo)值WVg。例如在工作空間中，z=-350 mm和z=-600 mm的平面在定姿態(tài)α=45°下的剛度指標(biāo)變化如圖9a所示；同時(shí)，在z=-450 mm的平面上選定多個(gè)姿態(tài)的剛度指標(biāo)變化，如圖9b所示。

(a)不同平面(α=45°)

(b)不同姿態(tài) (z=-450 mm)圖9 WVg指標(biāo)的變化圖Fig.9 Variation about WVg index

由圖9可知，該并聯(lián)操作手在工作空間中的承載性能大體一致，即邊界差、中間好；但隨著動平臺工作高度的減小或動平臺轉(zhuǎn)角的增大，承載性能會出現(xiàn)不同程度的減弱。

3.3.2機(jī)構(gòu)的整體剛度性能

(a)不同平面(α=45°)

(b)不同姿態(tài)(z=-450 mm)圖10 WVe指標(biāo)的變化圖Fig.10 Variation about WVe index

由圖10可知，該機(jī)構(gòu)的整體剛度性能的變化趨勢與承載性能相反，在邊界時(shí)剛度性能較好，中間時(shí)剛度性能差；而在不同姿態(tài)下，整體剛度性能變化趨勢發(fā)生了改變，動平臺轉(zhuǎn)角越大，指標(biāo)值呈波浪式變化的趨勢越明顯。

3.4 基于智能算法的剛度性能優(yōu)化

3.4.1確定截面參數(shù)約束條件

由于復(fù)雜構(gòu)件(如主動桿為多孔構(gòu)件)的柔度矩陣很難通過具體公式進(jìn)行計(jì)算，因此，優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)需將柔度矩陣中所有的元素作為設(shè)計(jì)變量，但過多的設(shè)計(jì)變量又會明顯增加優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中的計(jì)算量和時(shí)間損耗，因此，可適當(dāng)簡化復(fù)雜構(gòu)件的設(shè)計(jì)變量，在材料參數(shù)與尺度參數(shù)不變的情況下，通過復(fù)雜構(gòu)件的柔度矩陣，近似估計(jì)出與其對應(yīng)的規(guī)則截面的桿件，從而減少設(shè)計(jì)變量數(shù)目，提高優(yōu)化思路的實(shí)用性。

通過式(14)和截面慣性矩的計(jì)算方法[33]，對各復(fù)雜拓?fù)錁?gòu)件的截面參數(shù)進(jìn)行近似估計(jì)，表5所示為各構(gòu)件等效后的截面參數(shù)和彈性參數(shù)，而構(gòu)件彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3。

2.3節(jié)已對機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)性能(工作空間、運(yùn)動/力傳遞)進(jìn)行優(yōu)化，并得到一組優(yōu)化的結(jié)構(gòu)參數(shù)。在桿件壁厚確定的情況下，限制桿件材料體積，以達(dá)到優(yōu)化桿件截面參數(shù)、提高材料利用率，并降低制造成本的目的，因此，確定桿件壁厚均為2 mm，則桿件的剛度設(shè)計(jì)參數(shù)簡化為單一的外徑Q。

表6中各桿件的外徑分別記為Qi(i=1，2，3，4)，則設(shè)計(jì)變量為Q=[Q1Q2Q3Q4]。為避免優(yōu)化后桿件直徑過小不易加工，設(shè)計(jì)變量的上下限參考第2.4.1節(jié)，也以原始設(shè)計(jì)變量的50%作為優(yōu)化時(shí)設(shè)計(jì)變量的取值范圍，見表6。

表6 截面參數(shù)的設(shè)計(jì)變量及其變化范圍

3.4.2確定目標(biāo)函數(shù)

3.3節(jié)已基于虛功剛度性能指標(biāo)分別建立了關(guān)于機(jī)構(gòu)單方向承載性能、整體剛度性能的指標(biāo)，由此，定義操作手的這兩個(gè)剛度性能指標(biāo)為其優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)，即

將并聯(lián)機(jī)構(gòu)的承載剛度性能和整體剛度性能綜合考慮，分別賦予50%的指標(biāo)權(quán)重，經(jīng)過歸一化處理，得到剛度性能優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

(15)

3.4.3優(yōu)化過程分析和結(jié)果比較

取2.4.3節(jié)中表5的尺度優(yōu)化參數(shù)，對三種智能算法進(jìn)行初始化設(shè)置(表2)，再分別對機(jī)構(gòu)的剛度性能進(jìn)行優(yōu)化，其優(yōu)化過程如圖11所示。

圖11 剛度參數(shù)優(yōu)化過程及其計(jì)算曲線Fig.11 Optimization process and calculation curve of stiffness parameters

將三種優(yōu)化算法得到的截面參數(shù)最優(yōu)解、最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值、計(jì)算時(shí)間等進(jìn)行比較，如表7所示。

表7 優(yōu)化前后的截面參數(shù)和剛度性能指標(biāo)fs

由圖11可看出：①有限次迭代后，GA算法未達(dá)到最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值就已收斂；②就優(yōu)化效果(即fs值)而言，DE算法取得了最好的效果，GA和PSO算法均未求得最優(yōu)解；③由表7可知，從優(yōu)化結(jié)果(即截面參數(shù)值)分析，DE與PSO和GA算法得到的截面優(yōu)化參數(shù)區(qū)別不大，但DE算法的效果最優(yōu)，說明PSO算法陷入了局部最優(yōu)，也說明該機(jī)構(gòu)剛度性能優(yōu)化時(shí)存在相近峰值。

將DE方法優(yōu)化后的截面參數(shù)進(jìn)行圓整，對優(yōu)化前后的兩個(gè)剛度性能指標(biāo)(承載性能、整體剛度)進(jìn)行比較，如表8所示。

由表8可知，優(yōu)化后，選定的兩種剛度性能指標(biāo)都有明顯提高，承載剛度提高了150.788%，整體剛度提高了88.548%。

表8 剛度性能優(yōu)化后的截面參數(shù)及性能

根據(jù)優(yōu)化前后截面參數(shù)變化的對比，得到該機(jī)構(gòu)截面尺度設(shè)計(jì)的一些準(zhǔn)則：①Pa4s結(jié)構(gòu)中長邊桿的剛度對機(jī)構(gòu)的剛度性能影響較小，可大幅減小Q2的尺寸；②子并聯(lián)機(jī)構(gòu)和混合支鏈中的被動桿的直徑Q3、Q4都應(yīng)增大，以提高機(jī)構(gòu)的整體剛度。

4 動力學(xué)質(zhì)量參數(shù)的優(yōu)化

4.1 基于動力學(xué)普遍方程的動力學(xué)建模

目前，剛體動力學(xué)建模主要有牛頓-歐拉(Newton-Euler)方程[34-36]、動力學(xué)普遍方程(又稱虛功原理)[37-38]、拉格朗日(Lagrange)方程[39-40]、凱恩(Kane)方程[41-42]等四種方法。本節(jié)運(yùn)用動力學(xué)普遍方程，通過對該并聯(lián)操作手的每個(gè)構(gòu)件進(jìn)行受力分析，并利用虛功原理得到機(jī)構(gòu)的動力學(xué)方程，進(jìn)而求解動平臺受力與輸入力矩的關(guān)系。

4.1.1速度模型

由式(9)、式(10)即可得到兩個(gè)子并聯(lián)機(jī)構(gòu)中關(guān)于Ci(i=1，2，3，4)和θi(i=1，2，3，4)的位置約束方程：

((C2-A1)-lbb1)·e1=0

((C3-A4)-lbb4)·e4=0

將上述方程分別對t求導(dǎo)，得

(16)

(17)

(18)

(P-lppi+leK-Ci)·ei=0

(19)

i=2，3

(20)

(21)

i=2，3

Wi=P-lppi+leK-Ci

將式(20)和式(21)化為矩陣形式，得到雅可比矩陣：

(22)

式中四個(gè)分量的表達(dá)式請掃描本文OSID二維碼查看。

將式(17)代入式(22)得

(23)

(24)

(25)

i=2，3

(26)

因子動平臺僅有平移運(yùn)動，則質(zhì)心處的速度為

(27)

因主動桿AiBi(i=1，2，3，4)的角速度可表示為

(28)

i=1，2，3，4

則主動桿末端的速度可表示為

i=1，2，3，4

由此，可得到被動桿的角速度

主動桿一端固定在靜平臺上，因此其質(zhì)心速度應(yīng)為

4.1.2加速度模型

對式(23)關(guān)于時(shí)間t求一階偏導(dǎo)，得

(29)

對式(24)求一階偏導(dǎo)，得桿件DiEi(i=2，3)質(zhì)心的加速度為

(30)

i=2，3

對式(26)求一階偏導(dǎo)，得桿件CiDi(i=2，3)的角加速度

(31)

(32)

進(jìn)一步，可解得桿件BiCi、主動桿件AiBi(i=1，2，3，4)質(zhì)心的加速度分別為

(33)

4.1.3動力學(xué)普遍方程建模

設(shè)均勻動平臺的質(zhì)心在其中心，利用達(dá)朗貝爾原理，動平臺的受力情況可表示為

(34)

式中，fex、Mex分別為作用在動平臺中心的外力和外力矩；mP為動平臺質(zhì)量；OIP為動平臺在靜坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)動慣量。

桿件DiEi(i=2，3)在靜坐標(biāo)系中僅有移動沒有轉(zhuǎn)動，則

(35)

i=2，3

式中，mDE為桿件DiEi(i=2，3)的質(zhì)量。

因桿件CiDi始終做平面轉(zhuǎn)動，則

(36)

i=2，3

因子動平臺始終只有移動沒有轉(zhuǎn)動，則子動平臺的受力為

(37)

i=2，3

式中，mC為子動平臺的質(zhì)量。

桿件BiCi的受力為

(38)

i=1，2，3，4

式中，mBC為桿件BiCi的質(zhì)量；BIBC為桿件BiCi在局部坐標(biāo)系中的轉(zhuǎn)動慣量，因桿件BiCi在局部坐標(biāo)中存在二維轉(zhuǎn)動，則其轉(zhuǎn)動慣量需進(jìn)行坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換[23]。

桿件AB的受力為

(39)

i=1，2，3，4

根據(jù)虛位移原理[43]，由各桿件的受力方程得到機(jī)構(gòu)的動力學(xué)普遍方程為

(40)

式中，δP、δα為各構(gòu)件對應(yīng)的虛位移和虛轉(zhuǎn)角。

根據(jù)式(23)～式(33)，將式(40)改寫為關(guān)于驅(qū)動副虛轉(zhuǎn)角δθ的形式，得到

δθ=0

(41)

因式(41)是針對任意虛轉(zhuǎn)角δθ的，則可得到

(JP)TfP+(Jα)TMP+

(42)

將式(23)、式(33)代入式(42)中，化簡得到動力學(xué)方程的一般形式為

(43)

4.2 動力學(xué)性能指標(biāo)的分析

4.2.1動力學(xué)靈巧度

KM=‖M(θ)‖2·‖M(θ)-1‖2

(44)

式中，KM為慣性矩陣的條件數(shù)，KM越小，機(jī)構(gòu)的加速度性能越好。

因慣性矩陣僅與機(jī)構(gòu)位姿有關(guān)，在原始尺度參數(shù)和質(zhì)量參數(shù)下，可計(jì)算該機(jī)構(gòu)在不同位姿下的動力學(xué)靈巧度變化。例，圖12a所示為z=-350 mm和z=-600 mm的平面在定姿態(tài)α=45°下的動力學(xué)靈巧度變化；圖12b所示為在z=-450 mm的平面上，多個(gè)姿態(tài)(α=45°，90°，180°)下的動力學(xué)靈巧度變化。

(a)不同平面(α=45°)

(b)不同姿態(tài)(z=-450 mm)圖12 動力學(xué)靈巧度的變化Fig.12 Variation about dynamics dexterity

由圖12可知：該機(jī)構(gòu)在不同高度上，靈巧度的變化趨勢不同，即工作高度越高，運(yùn)動學(xué)靈巧度變化趨勢越明顯，其中，在工作平面中心處，加速度性能較差，越往邊緣移動，性能越好；而在較低的工作平面上變化比較平穩(wěn)。當(dāng)動平臺在不同位姿時(shí)，靈巧度呈現(xiàn)完全不同的變化趨勢，在α=45°時(shí)，加速度性能中間差，四周好；而在兩對稱姿態(tài)(α=-90°和α=180°)下，加速度性能從運(yùn)動邊界的一側(cè)，逐漸減弱到另一側(cè)。

4.2.2能量傳遞效率

為克服慣性矩陣量綱不一致問題，有學(xué)者提出基于能量傳遞效率的動力學(xué)指標(biāo)[44]，即將其定義為動平臺的動能(EP)與機(jī)構(gòu)系統(tǒng)整體動能(T)的比值，用ζP表示能量傳遞效率：

(45)

4.3 基于智能算法的動力學(xué)性能優(yōu)化

4.3.1確定質(zhì)量參數(shù)的約束條件

在已優(yōu)化尺度參數(shù)和截面參數(shù)，即給定構(gòu)件體積的情況下，對構(gòu)件的質(zhì)量參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。為方便優(yōu)化計(jì)算，將機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動慣量視為常量，僅考慮各構(gòu)件質(zhì)量對機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能的影響，而動平臺處的質(zhì)量受外負(fù)載影響而定，因此，確定設(shè)計(jì)變量為m={mDE，mCD，mC，mBC，mAB}。

同樣，以原始質(zhì)量的50%作為變化量，確定各構(gòu)件的質(zhì)量變化范圍，如表9所示。

表9 質(zhì)量參數(shù)的設(shè)計(jì)變量及其變化范圍

通過計(jì)算各構(gòu)件的原始質(zhì)量，得到

mmin=mDE，min+mCD，min+mC，min+

mBC，min+mAB，min=1.645 kg

則優(yōu)化過程中設(shè)計(jì)變量應(yīng)滿足總體約束：

mDE+mCD+mC+mBC+mAB>mmin

4.3.2確定目標(biāo)函數(shù)

機(jī)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)是動力學(xué)靈巧度及能量傳遞效率同時(shí)達(dá)到最大化，即定義

fP→max

動力學(xué)靈巧度反映的是機(jī)構(gòu)在一定輸入力矩下的加速度能力，而能量傳遞效率反映的是動平臺在機(jī)構(gòu)總體動能中的占比，物理意義比較明確，因此，分別賦予60%和40%的指標(biāo)權(quán)重。經(jīng)計(jì)算在原始質(zhì)量參數(shù)下，這兩個(gè)動力學(xué)指標(biāo)分別為fM=0.075，fP=0.697，由此，得到動力學(xué)性能優(yōu)化的整體目標(biāo)函數(shù)為

(46)

4.3.3優(yōu)化問題分析和結(jié)果比較

同樣，先對三種智能算法進(jìn)行初始化設(shè)置，再用這三種方法分別對機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，其優(yōu)化過程如圖13所示。

圖13 動力學(xué)質(zhì)量參數(shù)優(yōu)化過程及其計(jì)算曲線Fig.13 Optimization process and calculation curve of dynamic mass parameters

將三種算法得到的質(zhì)量參數(shù)的最優(yōu)解、目標(biāo)函數(shù)和計(jì)算時(shí)間進(jìn)行比較，如表10所示。

表10 優(yōu)化前后的質(zhì)量參數(shù)和性能指標(biāo)fd

由圖13可知，有限次迭代后，①GA算法遠(yuǎn)未達(dá)到最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)值就已接近收斂；②就優(yōu)化效果(即fd值)而言，DE算法取得了最好的效果，且用時(shí)最短，GA和PSO算法均未求得最優(yōu)解。③從優(yōu)化結(jié)果(即質(zhì)量參數(shù)值)分析，DE和PSO算法得到的質(zhì)量參數(shù)的區(qū)別較小，但DE算法的結(jié)果更優(yōu)，說明PSO算法陷入了局部最優(yōu)，也說明該機(jī)構(gòu)動力學(xué)性能優(yōu)化時(shí)存在相近峰值。

將DE方法優(yōu)化前后得到的動力學(xué)性能指標(biāo)進(jìn)行比較，如表11所示。

表11 動力學(xué)性能優(yōu)化前后的質(zhì)量參數(shù)及其指標(biāo)的對比

由表11可知，優(yōu)化后，選定的兩種動力學(xué)性能指標(biāo)都有明顯提高，動力學(xué)靈巧度提高了73.333%，能量傳遞效率提高了16.069%。

根據(jù)優(yōu)化前后質(zhì)量參數(shù)變化的對比，得到該機(jī)構(gòu)質(zhì)量參數(shù)設(shè)計(jì)的一些準(zhǔn)則：①Pa4s結(jié)構(gòu)中長邊桿的質(zhì)量對機(jī)構(gòu)的動力學(xué)性能影響較小，可大幅減小mBC的大??；②應(yīng)盡量減小從動桿的質(zhì)量(如mDE、mCD)，從而改善機(jī)構(gòu)的動力學(xué)性能。

上述優(yōu)化計(jì)算時(shí)計(jì)算機(jī)硬件配置信息如下：處理器為Intel(R) Core(TM) i5-8300H CPU，四核八線程；基本頻率為2.30 GHz；內(nèi)存為16 G；軟件為MATLAB 2016a。

本文提出的基于運(yùn)動學(xué)、剛度和動力學(xué)性能的有序遞進(jìn)三級優(yōu)化策略和方法及其在2-(RPa3R)3R型SCARA并聯(lián)操作手機(jī)構(gòu)的綜合參數(shù)優(yōu)化(尺度、截面及質(zhì)量參數(shù))上的應(yīng)用過程可用圖14的流程圖表示。這種有序遞進(jìn)三級優(yōu)化策略和方法，如果再考慮機(jī)構(gòu)的拓?fù)涮卣鱗45]，更有利于參數(shù)求解和提高計(jì)算效率。

圖14 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的有序遞進(jìn)三級優(yōu)化策略和方法流程圖Fig 14 Flow chart of the three-level orderly proceeding optimization strategy and method of parallel mechanism

5 結(jié)論

提出一種基于運(yùn)動學(xué)、剛度和動力學(xué)性能的并聯(lián)機(jī)構(gòu)有序遞進(jìn)三級優(yōu)化策略和方法，以20(RPa3R)3R并聯(lián)操作手為例，對其運(yùn)動學(xué)性能、剛度性能和動力學(xué)性能分別進(jìn)行了分析，并運(yùn)用GA、PSO、DE三種智能算法分別進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到以下結(jié)論：

(1)有序遞進(jìn)三級優(yōu)化設(shè)計(jì)策略和方法具有優(yōu)化參數(shù)全面(涉及尺度參數(shù)、截面參數(shù)、質(zhì)量參數(shù))、優(yōu)化方法綜合運(yùn)算能力強(qiáng)、各自優(yōu)化結(jié)果不抵觸且優(yōu)化有序等優(yōu)勢；而該并聯(lián)操作手的耦合度為零并具有部分運(yùn)動解耦性，使得其運(yùn)動學(xué)、剛度和動力學(xué)分析求解方便。

(2)通過對比GA、PSO、DE三種智能算法在運(yùn)動學(xué)、剛度和動力學(xué)中的優(yōu)化計(jì)算效果，DE算法在犧牲了一定計(jì)算速度的基礎(chǔ)上得到了最好的優(yōu)化結(jié)果，其收斂的準(zhǔn)確性最高，因此，在并聯(lián)操作手的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，DE智能算法中具有較明顯的優(yōu)勢。

(3)目標(biāo)函數(shù)的不同權(quán)重并不總能指導(dǎo)智能算法進(jìn)行計(jì)算，若單一目標(biāo)性能增幅過大，會影響權(quán)重系數(shù)發(fā)揮作用；而過多的目標(biāo)函數(shù)，又很難進(jìn)行清晰的表達(dá)，因此，在目標(biāo)性能優(yōu)化時(shí)，各性能優(yōu)化的有效性上還需要進(jìn)一步研究和探索。