陳圣兵，張 浩，宋玉寶，賀旭照

（中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心，四川綿陽(yáng) 621000）

引言

近年來，聲學(xué)超材料受到物理和聲學(xué)工程領(lǐng)域?qū)W者的廣泛關(guān)注［1-5］。聲學(xué)超材料是一種具有超常物理特性的人工復(fù)合材料，具有產(chǎn)生負(fù)質(zhì)量密度［5］、負(fù)彈性模量［2］、負(fù)折射［6］、亞波長(zhǎng)帶隙［7］等特殊性質(zhì)，被應(yīng)用于聲學(xué)斗篷設(shè)計(jì)［8］、聲聚焦［4］、振動(dòng)與噪聲控制［9］等領(lǐng)域，具有較大的科學(xué)研究?jī)r(jià)值和工程應(yīng)用背景。特別是聲學(xué)超材料具有的亞波長(zhǎng)帶隙可以實(shí)現(xiàn)小尺寸結(jié)構(gòu)控制大波長(zhǎng)彈性波［1］，對(duì)于解決大柔性結(jié)構(gòu)的低頻振動(dòng)與噪聲控制問題具有重要意義。

聲學(xué)超材料的帶隙形成主要由內(nèi)部微振子的局域共振引起，通過設(shè)計(jì)微振子結(jié)構(gòu)可以得到結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲控制中需要的帶隙特性。聲學(xué)超材料內(nèi)的局域共振特性不僅可以由傳統(tǒng)的機(jī)械微振子產(chǎn)生［10］，還可以引入智能材料，形成具有帶隙主動(dòng)可調(diào)能力的智能聲學(xué)超材料。其中，利用壓電分流諧振子產(chǎn)生局域共振帶隙的壓電聲學(xué)超材料具有制作簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、調(diào)節(jié)方便等優(yōu)點(diǎn)，受到學(xué)者的廣泛關(guān)注。Thorp 等［11］首次將壓電分流技術(shù)應(yīng)用于帶隙控制，研究了一維桿中彈性波傳播的衰減和局域化現(xiàn)象。Spadoni 等［12］將壓電分流技術(shù)推廣到二維薄板中彈性波帶隙的調(diào)控，其研究結(jié)論被Casadei 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證［13］。Airoldi 等［14］提出了一種一維可調(diào)諧壓電聲學(xué)超材料設(shè)計(jì)方案，通過理論研究和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證證明了壓電分流諧振子對(duì)帶隙調(diào)控的有效性。本文作者也在壓電聲學(xué)超材料領(lǐng)域開展了大量的研究工作，從算法設(shè)計(jì)、機(jī)理研究、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證等多個(gè)方面對(duì)壓電聲學(xué)超材料進(jìn)行了較為深入的分析和系統(tǒng)的總結(jié)［15-16］。傳統(tǒng)的壓電分流聲學(xué)超材料一般采用被動(dòng)諧振電路，受到壓電材料機(jī)電耦合能力的限制，帶隙一般較窄，難以滿足低頻寬帶振動(dòng)與噪聲控制的工程需求。因此，為了增大帶隙寬度，本文提出利用模擬放大電路對(duì)壓電片信號(hào)進(jìn)行放大，然后再連入諧振電路形成局域共振，以實(shí)現(xiàn)局域共振效果的增強(qiáng)，從而增大帶隙寬度。

本文以一維壓電聲學(xué)超材料梁為研究對(duì)象，將壓電片劃分為傳感極和驅(qū)動(dòng)極，其中傳感極得到的輸入電壓通過正向運(yùn)算放大電路進(jìn)行放大，再與一個(gè)分流電感相連構(gòu)成諧振回路。采用有限元方法對(duì)壓電聲學(xué)超材料梁帶隙特性進(jìn)行求解，分析了帶隙隨放大倍數(shù)的變化和等效彈性模量隨頻率的變化。最后，利用商用有限元軟件建立了有限周期超材料梁模型，仿真分析了有限周期超材料梁的振動(dòng)傳遞特性，驗(yàn)證了帶隙計(jì)算的正確性。

1 數(shù)學(xué)建模

壓電聲學(xué)超材料梁布局如圖1所示，可以看作是由單個(gè)元胞沿著軸向平移形成的一維超晶格結(jié)構(gòu)，每個(gè)元胞包含基體梁、壓電片和諧振放大電路。兩個(gè)相同的壓電片分別布置在基體梁的上下表面相同的位置，壓電片上敷設(shè)有三等分條狀電極（圖中深灰色所示），電極之間留有間隙，其中中間電極部分（S）作為傳感極，兩邊電極部分（A）作為驅(qū)動(dòng)極。傳感極輸出電壓通過正向放大電路后，與一個(gè)分流電感串聯(lián)，然后再施加到驅(qū)動(dòng)極進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)諧振分流放大功能。壓電聲學(xué)超材料梁具有周期性，因而只需要對(duì)單個(gè)元胞進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，結(jié)合Floquet 定理就可以得到整個(gè)一維梁中的彎曲波傳播特性。

圖1 壓電聲學(xué)超材料梁布局示意圖Fig.1 Sketch of the acoustic metamaterial beam

文中壓電聲學(xué)超材料梁元胞如圖2所示。從圖中可以看出壓電片傳感極（S）輸出電壓u1通過一個(gè)運(yùn)算放大電路后得到驅(qū)動(dòng)電壓u2，然后與一個(gè)分流電感L串聯(lián)，輸出電壓u3連接壓電片驅(qū)動(dòng)極，實(shí)現(xiàn)放大輸出回路的諧振和驅(qū)動(dòng)，在基體內(nèi)形成局域共振帶隙效果。

圖2 壓電聲學(xué)超材料梁元胞Fig.2 Unit cell of the acoustic metamaterial beam

1.1 帶隙計(jì)算

運(yùn)算放大電路中，利用運(yùn)算放大器的虛短和虛斷特性，結(jié)合歐姆定律可以得到運(yùn)算放大電路的輸出電壓u2與輸入電壓u1之間的關(guān)系為：

因此，運(yùn)算放大電路的放大倍數(shù)λ為：

諧振回路中，由基爾霍夫定律可知：

式中q為壓電片驅(qū)動(dòng)極上的總電荷。

壓電片為壓電陶瓷材料，極化方向?yàn)楹穸确较颍詰?yīng)力T和電場(chǎng)E為自變量，應(yīng)變S和電位移D為因變量，相應(yīng)的壓電方程可以寫成分量形式：

式中i，j=1，2，3；h，k=1，2，…，6；sE為短路柔度系數(shù)矩陣；d為壓電應(yīng)變常數(shù)；εT為恒應(yīng)力介電常數(shù)。

采用有限元方法對(duì)壓電聲學(xué)超材料梁的元胞進(jìn)行建模，單元類型為二階六面體單元，如圖3所示，根據(jù)節(jié)點(diǎn)位置將自由度分別標(biāo)示為L(zhǎng)（左端）、R（右端）和I（內(nèi)部）。因此，利用Hamilition 原理和標(biāo)準(zhǔn)的有限元建模方法可以得到離散形式的壓電控制方程為：

圖3 元胞有限元網(wǎng)格劃分Fig.3 Mesh of unit cell

式中d=[dLdIdR] 為節(jié)點(diǎn)位移向量，F(xiàn)=[FLFIFR]為節(jié)點(diǎn)力向量，M為質(zhì)量矩陣，K為剛度矩陣，R1和R2分別為傳感極壓電片和驅(qū)動(dòng)極壓電片機(jī)電耦合向量，q為驅(qū)動(dòng)極總電荷，和分別為傳感極和驅(qū)動(dòng)極壓電片的恒應(yīng)變電容。

將式（1）和（3）代入方程（5）整理得：

其中：

假設(shè)壓電聲學(xué)超材料梁的運(yùn)動(dòng)為頻率ω的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，那么方程（6）可以改寫為：

壓電聲學(xué)超材料梁具有周期性，因此元胞邊界條件可以根據(jù)Floquet 定理得到：

式中k為波數(shù)，l為晶格常數(shù)，。

將式（11）代入式（10），整理為特征值形式：

式中S為特征矩陣，為波數(shù)k的函數(shù)，I 為單位矩陣，。

最后，通過在不可約布里淵區(qū)掃略波數(shù)k，求解特征方程（12）得到特征頻率ω，可以獲得壓電聲學(xué)超材料梁的能帶結(jié)構(gòu)。

1.2 等效參數(shù)

等效參數(shù)是分析聲學(xué)超材料的重要手段，對(duì)于如圖2所示的聲學(xué)超材料梁元胞，不考慮梁的三維效應(yīng)影響，假設(shè)壓電片除了垂直于軸向的端面外，其余表面都自由，且壓電片只有厚度方向電場(chǎng)作用，那么壓電方程（4）可以簡(jiǎn)化為：

式中T1和S1分別為壓電片沿軸向的應(yīng)力和應(yīng)變，D3和E3分別為壓電片電極上的電位移和內(nèi)部電場(chǎng)，為短路柔順系數(shù)，為厚度方向恒應(yīng)力介電常數(shù)，d31為壓電應(yīng)變常數(shù)。

壓電片傳感極上電位移為零，那么由方程（13）可得傳感極壓電片內(nèi)電場(chǎng)為：

將式（14）代入式（13），可以得到傳感極壓電片等效彈性模量，表示為：

傳感極壓電片內(nèi)電場(chǎng)與輸出電壓u1之間的關(guān)系為：

式中hp為壓電片厚度。

聯(lián)立式（14）和（17）可以得到傳感極輸出電壓，表示為：

對(duì)于驅(qū)動(dòng)極壓電片，同樣采用壓電方程（13）可得驅(qū)動(dòng)極電位移為：

式中Ea3為驅(qū)動(dòng)極壓電片內(nèi)電場(chǎng)。

驅(qū)動(dòng)極壓電片內(nèi)電場(chǎng)與輸入電壓u3之間的關(guān)系為：

采用長(zhǎng)波假設(shè)，即壓電片內(nèi)應(yīng)變和電極上電位移近似處處相等，那么驅(qū)動(dòng)極上的電荷q可以寫成：

式中As為驅(qū)動(dòng)極壓電片電極面積。

假設(shè)壓電片的運(yùn)動(dòng)為頻率ω的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，整理得到驅(qū)動(dòng)極壓電片內(nèi)電場(chǎng)，表示為：

將式（22）代入式（13）可得驅(qū)動(dòng)極壓電片等效彈性模量為：

對(duì)等效彈性模量進(jìn)行歸一化處理，定義歸一化等效彈性模量為：

為了分析等效模量對(duì)聲學(xué)超材料梁帶隙的影響，需要進(jìn)一步推導(dǎo)得到超材料梁的等效彎曲剛度。從圖2 可以看出，超材料梁是由壓電片和基體梁形成的復(fù)合梁，其彎曲剛度可以表示為：

式中Is，Ia和Ih分別為傳感器壓電片、驅(qū)動(dòng)極壓電片和基體梁的橫截面慣性矩。

超材料梁彎曲剛度受到電路放大倍數(shù)λ的影響，為了方便分析，將復(fù)合梁的等效彎曲剛度對(duì)λ=0 的值進(jìn)行歸一化處理得：

2 算例與討論

算例中，壓電聲學(xué)超材料基體梁為鋁，壓電片材料為PZT-5H。元胞幾何參數(shù)如下：元胞晶格常數(shù)為40 mm；基體梁寬度為20 mm，厚度為2 mm；壓電片長(zhǎng)度為30 mm，厚度為0.5 mm，寬度為20 mm，傳感極和驅(qū)動(dòng)極的寬度都為6 mm，傳感極與驅(qū)動(dòng)極之間留有1 mm 間隙。電路參數(shù)中，L=0.8 H。

采用文中帶隙計(jì)算方法和參數(shù)計(jì)算得到諧振放大壓電聲學(xué)超材料梁能帶結(jié)構(gòu)如圖4所示，分別計(jì)算了諧振放大電路開路和放大倍數(shù)情況下色散曲線的變化情況。

圖4 壓電聲學(xué)超材料能帶結(jié)構(gòu)Fig.4 Band structure of the acoustic metamaterial beam

從圖4 中可以看出，諧振放大電路開路時(shí)，壓電聲學(xué)超材料梁中沒有局域共振單元，沒有局域共振帶隙出現(xiàn)；諧振放大電路閉合，且λ=5 時(shí)，受到諧振電路的局域共振作用，壓電聲學(xué)超材料梁內(nèi)出現(xiàn)了一個(gè)局域共振帶隙，帶隙位置為831～920 Hz，帶隙寬度為89 Hz。因此，文中提出的諧振放大電路可以在梁內(nèi)產(chǎn)生局域共振帶隙。

局域共振帶隙隨放大倍數(shù)的變化如圖5所示，圖中實(shí)線為帶隙上邊界頻率，虛線為帶隙下邊界頻率。

從圖5 中可以看出，帶隙上下邊界頻率都是隨著放大倍數(shù)λ的增大而降低，但是帶隙下邊界降低得更快，因而帶隙寬度是隨著放大倍數(shù)增大而增大的，從λ=0 時(shí)的15 Hz 增大到λ=10 時(shí)的162 Hz。特別是當(dāng)λ=0 時(shí)，放大電路失去作用，電路退化為普通的諧振分流電路，帶隙寬度要遠(yuǎn)比諧振放大電路形成的帶隙寬度窄。因而，諧振放大電路經(jīng)過電壓放大后，與傳統(tǒng)諧振分流電路相比，不僅可以使諧振頻率降低，還可以大大提高帶隙寬度，形成低頻寬度帶隙。

圖5 帶隙隨放大倍數(shù)的變化Fig.5 Variation of band gap with amplification coefficient

驅(qū)動(dòng)極壓電片等效彈性模量隨頻率的變化如圖6所示。從圖中可以看出，等效彈性模量隨著頻率的增大而減小，在諧振頻率附近變?yōu)樨?fù)值并趨于負(fù)無(wú)窮大，然后跳躍到正無(wú)窮大并逐漸減小。通過對(duì)比帶隙位置和負(fù)等效模量出現(xiàn)位置，可以看出負(fù)等效模量是帶隙形成的主要原因，但受到基體梁的影響，驅(qū)動(dòng)極壓電片較小的負(fù)模量還不足以形成局域共振帶隙。因而，局域共振帶隙的上邊界和負(fù)模量頻率上邊界相近，而下邊界比負(fù)模量下邊界頻率高很多。

圖6 等效彈性模量隨頻率的變化Fig.6 Variation of equivalent modulus with frequency

進(jìn)一步分析超材料梁等效彎曲剛度隨頻率的變化如圖7所示。從圖中可以看出等效彎曲剛度的變化趨勢(shì)與驅(qū)動(dòng)極壓電片等效彈性模量變化（參看圖6）相似，主要不同在于負(fù)剛度起始頻率比負(fù)模量起始頻率高很多，而負(fù)剛度終止頻率與負(fù)模量終止頻率相同。顯然，負(fù)剛度產(chǎn)生的區(qū)域與帶隙產(chǎn)生位置基本一致。因此，通過對(duì)壓電片等效彈性模量和梁等效彎曲剛度的分析可以發(fā)現(xiàn)：壓電片的負(fù)等效模量是帶隙形成的誘因，但是受到基體梁的影響，壓電片較小的負(fù)等效模量不足以抵消基體梁的彎曲剛度而形成負(fù)等效彎曲剛度，只有壓電片負(fù)模量增大到一定值后才能使整個(gè)復(fù)合梁呈現(xiàn)負(fù)等效剛度，這也是帶隙起始頻率要遠(yuǎn)大于壓電片負(fù)等效模量起始頻率的原因。復(fù)合梁的負(fù)等效剛度是帶隙形成的直接原因，兩種頻率基本一致。

圖7 等效彎曲剛度隨頻率的變化Fig.7 Variation of equivalent rigidity with frequency

為了驗(yàn)證帶隙計(jì)算的正確性，在商用有限元軟件中建立了10 周期壓電聲學(xué)超材料梁仿真分析模型，如圖8所示。電路放大倍數(shù)λ=5，分流電感L=0.8 H。在梁的一端施加單位幅值橫向力激勵(lì)，利用頻響分析得到梁的兩端位移幅值，計(jì)算得到0～1200 Hz 內(nèi)壓電聲學(xué)超材料梁的振動(dòng)傳遞特性。

圖8 有限元仿真模型Fig.8 Finite element simulation model

為了確保有限元仿真結(jié)果可靠，分別采用不同的網(wǎng)格密度對(duì)仿真收斂性進(jìn)行了分析。網(wǎng)格采用六面體二階拉格朗日插值單元，選擇三種網(wǎng)格密度進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元數(shù)N分別為700，2240 和5610。計(jì)算得到超材料梁的振動(dòng)傳遞特性如圖9所示，可以看出網(wǎng)格數(shù)為2240 和5610 計(jì)算得到結(jié)果基本一致，表明當(dāng)網(wǎng)格數(shù)為2240 時(shí)結(jié)果已經(jīng)趨于收斂。

圖9 仿真收斂性Fig.9 Convergence of simulation

商業(yè)有限元軟件仿真結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖10所示。其中，圖10（a）所示為理論求解元胞色散曲線得到的帶隙位置，圖10（b）所示為仿真軟件利用頻響分析得到的10 周期梁振動(dòng)傳遞特性，對(duì)比兩圖可以看出，在帶隙位置振動(dòng)傳遞出現(xiàn)了較大衰減，證明了帶隙對(duì)振動(dòng)傳遞抑制的有效性，也驗(yàn)證了文中帶隙理論計(jì)算方法的正確性。

圖10 壓電聲學(xué)超材料梁振動(dòng)傳遞特性Fig.10 Vibrational transmission properties of the acoustic metamaterial beam

3 帶隙展寬特性分析

從理論分析和軟件仿真結(jié)果可以看出，諧振放大電路可以有效拓展帶隙寬度，使帶隙寬度從λ=0時(shí)的15 Hz 增大到λ=10 時(shí)的162 Hz。為了對(duì)諧振放大電路的帶隙展寬性能進(jìn)行評(píng)估，進(jìn)一步開展了諧振放大電路與傳統(tǒng)帶隙展開方法的性能對(duì)比分析。

壓電聲學(xué)超材料的傳統(tǒng)帶隙展寬方法主要包括帶隙耦合［17］、尺寸［17-18］及壓電片形狀［19］優(yōu)化等。帶隙耦合主要通過改變基體材料或晶格參數(shù)，使布拉格帶隙與局域共振帶隙形成耦合；尺寸及形狀優(yōu)化主要通過增大壓電片面積或改變壓電片外形，提高壓電片機(jī)電耦合能力；負(fù)電容放大電路是通過引入負(fù)電容來提高壓電片等效機(jī)電耦合系數(shù)。

針對(duì)文中一維壓電聲學(xué)超材料梁，分別采用三種方法對(duì)帶隙進(jìn)行展寬，包括帶隙耦合、尺寸優(yōu)化和諧振放大。其中，帶隙耦合通過修改晶格常數(shù)實(shí)現(xiàn)布拉格帶隙與局域共振帶隙耦合，將晶格常數(shù)從40 mm 增大到75 mm；尺寸優(yōu)化通過增大壓電片長(zhǎng)度實(shí)現(xiàn)，從30 mm 增大到40 mm；諧振放大通過改變放大倍數(shù)實(shí)現(xiàn)，放大倍數(shù)從0 增大到10。最終得到的帶隙展寬效果如表1所示，可以看出三種方法都可以展寬帶隙寬度，其中尺寸優(yōu)化效果較差，文中提出的諧振放大效果最好，帶隙耦合也產(chǎn)生了較好的效果。不同的帶隙展寬方法都有其優(yōu)缺點(diǎn)：帶隙耦合的優(yōu)點(diǎn)是不需要外部能量輸入，穩(wěn)定可靠，帶隙展寬效果較好，缺點(diǎn)是尺寸大，難以實(shí)現(xiàn)小尺寸控制大波長(zhǎng)；尺寸優(yōu)化的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單可靠，通過增大壓電片尺寸提高機(jī)電耦合能力，不需要外部能量輸入，缺點(diǎn)是帶隙展寬能力較差；諧振放大的優(yōu)點(diǎn)是帶隙展寬效果非常好，尺寸較小，調(diào)節(jié)方便，缺點(diǎn)是需要外部能量輸入。

表1 帶隙展寬效果對(duì)比Tab.1 Comparison of band broadening effects

因此，文中提出的諧振放大電路具有較好的帶隙展寬效果，尤其是對(duì)于結(jié)構(gòu)尺寸受限，需要利用局域共振帶隙實(shí)現(xiàn)小尺寸控制大波長(zhǎng)的時(shí)候，諧振放大具有非常大的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

本文提出了一種諧振放大壓電聲學(xué)超材料梁，將壓電片劃分為傳感極和驅(qū)動(dòng)極，傳感極輸出電壓經(jīng)過運(yùn)算放大電路放大，然后與諧振電路相連，實(shí)現(xiàn)局域共振效果的增強(qiáng)，從而增大帶隙寬度。與傳統(tǒng)壓電分流聲學(xué)超材料相比，諧振放大壓電聲學(xué)超材料梁增加了電壓放大環(huán)節(jié)，可以有效增強(qiáng)諧振回路的局域共振效果，改善帶隙寬度。隨著放大倍數(shù)的增大，帶隙寬度從λ=0時(shí)的15 Hz增大到λ=10時(shí)的162 Hz。等效模量分析結(jié)果表明負(fù)等效模量是帶隙形成的主要原因，但較小的負(fù)模量不足以形成局域共振帶隙，局域共振帶隙的上邊界和負(fù)模量頻率上邊界相近，而下邊界比負(fù)模量下邊界頻率高很多。最后，利用商用有限元軟件仿真分析了有限周期壓電聲學(xué)超材料梁的振動(dòng)傳遞特性，在帶隙位置振動(dòng)傳遞特性出現(xiàn)了較大衰減，證明了帶隙對(duì)振動(dòng)傳遞抑制的有效性，也驗(yàn)證了文中帶隙計(jì)算方法的正確性。