程志鵬，汪志昊，郜 輝，岳方方

（1.華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院，河南鄭州 450045；2.橋梁結(jié)構(gòu)安全技術(shù)國家工程實(shí)驗(yàn)室，北京 100088）

引言

附加被動(dòng)線性黏滯阻尼器（LVD）作為一種最常用的斜拉索減振措施，經(jīng)過國內(nèi)外學(xué)者的廣泛研究，已形成了較為完善的成套理論與技術(shù)體系。Pacheco 等［1］采用Galerkin 方法獲得了斜拉索張緊弦模型的LVD 減振通用設(shè)計(jì)曲線；Krenk［2］進(jìn)一步給出了LVD 的通用設(shè)計(jì)曲線近似解析表達(dá)式；段元鋒等［3］考慮了斜拉索垂度、抗彎剛度及阻尼器支撐剛度、內(nèi)剛度等影響，建立了LVD 拉索減振的工程實(shí)用設(shè)計(jì)方法。但LVD 僅能實(shí)現(xiàn)斜拉索單模態(tài)最優(yōu)控制，且減振效果受到安裝高度的制約，為斜拉索提供的附加模態(tài)阻尼比有限，尤其是非目標(biāo)優(yōu)化模態(tài)。

隨著斜拉橋跨度的逐漸增大，作為其主要承重構(gòu)件的斜拉索長細(xì)比進(jìn)一步增大，極易在外界環(huán)境激勵(lì)下產(chǎn)生各種過量振動(dòng)［4-6］，且超長斜拉索風(fēng)致振動(dòng)通常表現(xiàn)為多模態(tài)振動(dòng)特征［7-8］。因此，有效的斜拉索多模態(tài)減振技術(shù)對(duì)保障大跨度斜拉橋安全運(yùn)營至關(guān)重要［9］。研究表明［10-13］：與LVD 相比，非線性黏滯阻尼器（NVD）對(duì)斜拉索多模態(tài)減振優(yōu)勢(shì)明顯。另一方面，基于MR 阻尼器的半主動(dòng)控制技術(shù)以其優(yōu)良的智能控制特性，逐漸發(fā)展成為提升斜拉索減振效果的重要手段［14-15］，且已成功應(yīng)用于洞庭湖大橋［16］和濱州黃河大橋［17］等實(shí)際工程。研究表明：MR 阻尼器半主動(dòng)控制效果提升主要?dú)w功于其負(fù)剛度特性實(shí)現(xiàn)了阻尼器耗能增效。

受半主動(dòng)控制負(fù)剛度特性實(shí)現(xiàn)斜拉索減振增效的啟發(fā)，基于負(fù)剛度控制原理的被動(dòng)負(fù)剛度阻尼器對(duì)斜拉索振動(dòng)控制研究得到發(fā)展。Zhou 等［18］基于預(yù)壓彈簧式被動(dòng)負(fù)剛度黏滯阻尼器開展了斜拉索減振理論和試驗(yàn)研究；Shi 等［19］基于磁致式被動(dòng)負(fù)剛度阻尼器開展了斜拉索減振試驗(yàn)研究。研究表明［20］：并聯(lián)負(fù)剛度單元的黏滯阻尼器可顯著提升斜拉索減振效果，且可在一定程度上改善傳統(tǒng)被動(dòng)阻尼器因安裝位置過低而引起的嵌固效應(yīng)，主要不足在于當(dāng)負(fù)剛度過大時(shí)可能會(huì)誘發(fā)減振系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。此外，基于慣質(zhì)阻尼器的斜拉索減振研究表明［21-23］：并聯(lián)慣質(zhì)單元的黏滯阻尼器呈現(xiàn)頻率相關(guān)性負(fù)剛度特征，也可有效提升斜拉索減振效果。

為進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)斜拉索減振增效，本文融合被動(dòng)負(fù)剛度控制技術(shù)和非線性黏滯阻尼特征開展了負(fù)剛度非線性黏滯阻尼器（NSNVD）對(duì)斜拉索的振動(dòng)控制研究，理論研究與仿真分析了NSNVD 對(duì)斜拉索的單模態(tài)和多模態(tài)減振效果，參數(shù)分析了NSNVD負(fù)剛度系數(shù)和黏滯阻尼速度指數(shù)對(duì)斜拉索單模態(tài)和多模態(tài)減振效果的影響規(guī)律，并對(duì)比分析了NSNVD 與LVD，NVD 以及負(fù)剛度線性黏滯阻尼器（NSLVD）對(duì)斜拉索的減振效果。

1 斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析

1.1 NSNVD 線性等效力學(xué)模型

由負(fù)剛度單元和非線性黏滯阻尼單元并聯(lián)而成的NSNVD 如圖1所示，其作用于斜拉索的橫向力可表示為：

圖1 NSNVD 力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of NSNVD

式中u(xd，t)和分別表示斜拉索xd位置處、t時(shí)刻的位移和速度；kd，cd和α分別表示NSNVD 的負(fù)剛度系數(shù)、黏滯阻尼系數(shù)和黏滯阻尼指數(shù)；sign（·）表示符號(hào)函數(shù)。

值得說明的是，當(dāng)α=1.0 時(shí)，NSNVD 退化為負(fù)剛度線性黏滯阻尼器（NSLVD）；當(dāng)k=0 時(shí)，NSNVD 退化為非線性黏滯阻尼器（NVD）；當(dāng)α=1.0 且k=0 時(shí)，NSNVD 退化為線性黏滯阻尼器（LVD）。

采用能量等效線性化方法［11］，式（1）可進(jìn)一步表示為：

式中ceq表示NSNVD 的等效線性阻尼系數(shù)，其計(jì)算式為［11］：

NSNVD 在振幅和頻率分別為Ud和ω的位移ud=Udeiωt激勵(lì)下的出力幅值可表示為：

式中 系數(shù)函數(shù)g（α）的表達(dá)式為［11］：

式中 Γ（·）表示伽馬函數(shù)。

由式（2）和（4）可知，NSNVD 的等效阻尼系數(shù)可由下式計(jì)算：

1.2 系統(tǒng)特征方程

斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)分析模型如圖2所示。l，T與m分別表示斜拉索的長度、索力與單位長度質(zhì)量，x和x′分別表示從斜拉索左端和右端開始并分別指向另一端的坐標(biāo)軸，xd表示阻尼器安裝位置距斜拉索左側(cè)錨固端的距離，x′d=l-xd表示阻尼器安裝位置距斜拉索右側(cè)錨固端的距離。忽略斜拉索垂度、抗彎剛度的影響，斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程可表示為［11］：

圖2 斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)分析模型Fig.2 Analysis model of the cable-NSNVD system

式中u（x，t）表示斜拉索x位置處、t時(shí)刻的橫向位移；Fd（t）表示NSNVD 作用于斜拉索的橫向力；δ（·）表示Dirac-Delta 函數(shù)。

方程（7）應(yīng)滿足斜拉索邊界條件：

且斜拉索在阻尼器安裝位置處滿足力的平衡條件［11］：

設(shè)斜拉索自由振動(dòng)時(shí)的橫向位移和NSNVD 作用于斜拉索的橫向力可分別表示為：

式中U（x）和分別表示斜拉索的振型坐標(biāo)和阻尼器作用于斜拉索的橫向力幅值；ω為斜拉索-阻尼器系統(tǒng)的復(fù)特征頻率。

將式（10）代入方程（7）得：

方程（11）的解可表示為：

將式（4）和（12）代入式（9），斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)的特征方程可表示為：

式（13）特征方程的復(fù)波數(shù)解記為βn（n為模態(tài)階次，即n=1，2，…），與之對(duì)應(yīng)的復(fù)特征頻率記為ωn，斜拉索的附加模態(tài)阻尼比ζn與復(fù)特征頻率ωn之間的關(guān)系為［11］：

由式（14）可知，斜拉索附加模態(tài)阻尼比可由下式計(jì)算：

1.3 斜拉索附加模態(tài)阻尼比的近似解

假定NSNVD 的安裝位置遠(yuǎn)小于斜拉索長度，且NSNVD 僅會(huì)引起斜拉索自振頻率的微小攝動(dòng)［11］，即：

根據(jù)上述假定，可以得到下列近似式：

將式（17）代入式（13）可得：

聯(lián)立式（15）和式（18），斜拉索第n階附加模態(tài)阻尼比的近似解可表示為：

綜合式（6）和（20）可知，斜拉索附加模態(tài)阻尼比不僅與NSNVD 的負(fù)剛度系數(shù)與黏滯阻尼系數(shù)密切相關(guān)，還體現(xiàn)出明顯的位移相關(guān)性特征。

1.4 斜拉索附加模態(tài)阻尼比的迭代解

方程（13）可采用固定點(diǎn)迭代法進(jìn)行求解，迭代方程可由下式表示：

其中，

式中j表示迭代次數(shù)，且j=1，2，…。

迭代初值取無阻尼波數(shù)β0n，將迭代方程求解得到的復(fù)波數(shù)βn值代入式（15），即可獲得斜拉索第n階附加模態(tài)阻尼比的迭代解。

2 NSNVD 對(duì)斜拉索減振數(shù)值仿真分析方法

2.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

根據(jù)圖2所示的斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)分析模型，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為［9］：

式中 斜拉索的抗彎剛度、垂度參數(shù)和單位長度阻尼分別記為EI，λ2和c；f（x，t）表示施加于斜拉索的分布荷載。

斜拉索兩端的邊界條件：

采用有限差分法，選取N個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)將斜拉索均勻劃分為N+1 個(gè)單元，斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程的矩陣形式可表示為：

式中M，C和K分別表示斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；u和f分別表示斜拉索的位移向量和外荷載向量；γ表示阻尼器作用位置向量。根據(jù)文獻(xiàn)［24］，上述矩陣或向量可分別表示為：

式中a=l/（N+1）表示斜拉索單元長度；IN為N階單位矩陣；BN×N中每個(gè)元素都等于1；ε=EIT-1l-2表示斜拉索的抗彎剛度參數(shù)：

其中，

式中ui和fi分別表示斜拉索第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移和外荷載；γi由NSNVD 的安裝位置決定，若NSNVD 安裝在斜拉索第φ個(gè)節(jié)點(diǎn)：

式（25）狀態(tài)空間方程形式可表示為：

其中，

其中，

2.2 數(shù)值仿真方法

以表1 某實(shí)橋斜拉索為例，開展NSNVD 對(duì)斜拉索減振效果的數(shù)值仿真分析。斜拉索被離散為200 個(gè)相同單元，NSNVD 安裝在距離斜拉索下錨固端的2% 斜拉索長度位置。仿真分析基于MATLAB/Simulink 工具箱，采用變步長的四階龍格-庫塔算法進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算。仿真計(jì)算時(shí)首先進(jìn)行斜拉索目標(biāo)模態(tài)的穩(wěn)態(tài)激勵(lì)，然后去除外激勵(lì)，使斜拉索做自由衰減振動(dòng)。斜拉索激勵(lì)荷載取為［12］：

表1 某斜拉索參數(shù)Tab.1 Parameters of a stay cable

式中n表示斜拉索-阻尼器系統(tǒng)的模態(tài)階次；ωn表示斜拉索-阻尼器系統(tǒng)的第n階模態(tài)振動(dòng)圓頻率；ti表示激勵(lì)持續(xù)時(shí)間；H（ti-t）表示單位階躍函數(shù)。

鑒于非線性阻尼器斜拉索減振系統(tǒng)的附加模態(tài)阻尼比與斜拉索振幅相關(guān)，特定義如下：

式中 自由衰減初始周期位移振幅峰值A(chǔ)n=0.08 m，終止周期位移振幅峰值A(chǔ)n+τ=0.02 m。

3 斜拉索單模態(tài)減振效果

3.1 附加模態(tài)阻尼比近似解、迭代解和仿真解對(duì)比

為了便于對(duì)比分析NSNVD 提供的斜拉索各階最大附加模態(tài)阻尼比及對(duì)應(yīng)的阻尼器最優(yōu)參數(shù)，引入下列無量綱參數(shù)：

式中表示NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)，表示斜拉索第n階模態(tài)NSNVD 無量綱阻尼系數(shù)。

由于斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)復(fù)模態(tài)分析求得的斜拉索附加模態(tài)阻尼比的近似解和迭代解與阻尼器安裝位置處的斜拉索振幅密切相關(guān)，為便于對(duì)比分析斜拉索附加模態(tài)阻尼比的近似解、迭代解和仿真解，統(tǒng)一取仿真解識(shí)別對(duì)應(yīng)的斜拉索自由衰減區(qū)段初始周期和終止周期的位移振幅峰值的平均值作為計(jì)算近似解和迭代解時(shí)的阻尼器安裝位置處的斜拉索振幅。圖3 和4 分別對(duì)比了斜拉索前2 階附加模態(tài)阻尼比隨NSNVD（α=0.5）阻尼系數(shù)的變化關(guān)系，可見：

圖3 斜拉索第1 階附加模態(tài)阻尼比隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數(shù)的變化關(guān)系Fig.3 Variations of the first supplemental modal damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of the NSNVD（α=0.5）

圖4 斜拉索第2 階附加模態(tài)阻尼比隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數(shù)的變化關(guān)系Fig.4 Variations of the second supplemental modal damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of NSNVD（α=0.5）

（2）若考慮斜拉索垂度和抗彎剛度的影響，NSNVD 為斜拉索前2 階附加模態(tài)阻尼比顯著降低。

鑒于阻尼器對(duì)斜拉索減振效果受斜拉索垂度和抗彎剛度的影響［25］，且考慮斜拉索垂度和抗彎剛度更符合實(shí)際，本文后續(xù)開展NSNVD 對(duì)斜拉索單模態(tài)減振效果參數(shù)分析和多模態(tài)減振效果優(yōu)化研究均依據(jù)考慮斜拉索垂度和抗彎剛度時(shí)的仿真解。

3.2 NSNVD 參數(shù)分析

圖5 和6 進(jìn)一步對(duì)比分析了NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)和黏滯阻尼指數(shù)對(duì)斜拉索前2 階最大附加模態(tài)阻尼比和相應(yīng)最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)的影響規(guī)律。由圖可知：

圖5 NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)和黏滯阻尼指數(shù)對(duì)斜拉索第1 階最大附加模態(tài)阻尼比和對(duì)應(yīng)最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)的影響規(guī)律Fig.5 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the first maximum supplemental modal damping ratio of the cable and corresponding optimal dimensionless damping coefficient

（1）對(duì)應(yīng)相同黏滯阻尼指數(shù)且NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)小于1 時(shí)，斜拉索前2 階最大附加模態(tài)阻尼比隨NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)的增大而提高，而斜拉索最大附加模態(tài)阻尼比對(duì)應(yīng)的NSNVD 最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)則隨NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)的增大而降低。

圖6 NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)和黏滯阻尼指數(shù)對(duì)斜拉索第2 階最大附加模態(tài)阻尼比和對(duì)應(yīng)最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)的影響規(guī)律Fig.6 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the second maximum supplemental modal damping ratio of the cable and corresponding optimal dimensionless damping coefficient

（2）對(duì)應(yīng)相同的無量綱負(fù)剛度系數(shù)，斜拉索前2階最大附加模態(tài)阻尼比受NSNVD 黏滯阻尼指數(shù)的變化影響較小，但斜拉索前2 階最大附加模態(tài)阻尼比對(duì)應(yīng)的NSNVD 最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)隨NSNVD黏滯阻尼指數(shù)的減小而顯著下降。

4 斜拉索多模態(tài)減振效果

4.1 多模態(tài)優(yōu)化方法

圖7 給出了斜拉索前4 階附加模態(tài)阻尼比隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數(shù)的變化關(guān)系。由圖可知：斜拉索各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的NSNVD 最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)隨無量綱負(fù)剛度系數(shù)的增大而降低，且斜拉索第1 階模態(tài)由于垂度降低效應(yīng)其最大附加模態(tài)阻尼比要明顯小于高階模態(tài)。此外，結(jié)合圖5 和6可知，與NSLVD 相比，NSNVD（α=0.5）大幅度降低了斜拉索各階模態(tài)的最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)，且顯著縮小了各階模態(tài)最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)之間的差異。

圖7 斜拉索前4 階附加模態(tài)阻尼比隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數(shù)的變化關(guān)系Fig.7 Variations of the first four supplemental model damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of the NSNVD（α=0.5）

為精準(zhǔn)評(píng)估NSNVD 對(duì)斜拉索的多模態(tài)減振效果，本文采用文獻(xiàn)［25］提出的基于斜拉索各階模態(tài)阻尼比均值和標(biāo)準(zhǔn)差的斜拉索多模態(tài)減振參數(shù)優(yōu)化方法。即：當(dāng)斜拉索各階附加模態(tài)阻尼比的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的差值最大時(shí)，斜拉索多模態(tài)減振效果達(dá)到最優(yōu)。斜拉索附加模態(tài)阻尼比的均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及二者的差值最大值的計(jì)算式分別為：

式中n為考慮的斜拉索控制模態(tài)階次。

圖8 為考慮斜拉索前4 階模態(tài)控制相應(yīng)優(yōu)化指標(biāo)隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數(shù)的變化關(guān)系。由圖可知：斜拉索前4 階附加模態(tài)阻尼比的均值、標(biāo)準(zhǔn)差以及均值與標(biāo)準(zhǔn)差二者的差值均隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數(shù)的增大，先逐漸增大到最大值后再減小，即斜拉索前4 階附加模態(tài)阻尼比的均值和標(biāo)準(zhǔn)差二者的差值存在最大值，此時(shí)斜拉索多模態(tài)減振效果達(dá)到最優(yōu)。

圖8 考慮斜拉索前4 階模態(tài)控制相應(yīng)優(yōu)化指標(biāo)隨NSNVD（α=0.5）無量綱阻尼系數(shù)的變化關(guān)系Fig.8 Variations of the multi-mode damping ratio optimization index considering the first four supplemental modal damping ratio of the cable with the dimensionless damping coefficient of the NSNVD（α=0.5）

4.2 NSNVD 參數(shù)分析

圖9 對(duì)比分析了NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)和黏滯阻尼指數(shù)對(duì)斜拉索前4 階附加模態(tài)阻尼比的均值與標(biāo)準(zhǔn)差二者的差值最大值的影響規(guī)律。由圖可知：對(duì)應(yīng)相同黏滯阻尼指數(shù)且NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)小于1 時(shí)，斜拉索前4 階附加模態(tài)阻尼比的均值與標(biāo)準(zhǔn)差二者的差值最大值隨NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)的增大而提高，即NSNVD 對(duì)斜拉索多模態(tài)減振效果隨NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)的增大而提升；對(duì)應(yīng)相同無量綱負(fù)剛度系數(shù)，斜拉索前4 階附加模態(tài)阻尼比的均值與標(biāo)準(zhǔn)差二者的差值最大值隨NSNVD 黏滯阻尼指數(shù)的減小而提高，即NSNVD對(duì)斜拉索多模態(tài)減振效果隨NSNVD 黏滯阻尼指數(shù)的減小而提升。

圖9 NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)和黏滯阻尼指數(shù)對(duì)斜拉索前4 階附加模態(tài)阻尼比的均值與標(biāo)準(zhǔn)差二者的差值最大值的影響規(guī)律Fig.9 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the maximum difference between the mean and standard deviation of the first four supplemental modal damping ratios of the cable

圖10 進(jìn)一步對(duì)比分析了NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)和黏滯阻尼指數(shù)對(duì)斜拉索前4 階模態(tài)最優(yōu)控制對(duì)應(yīng)的NSNVD 無量綱最優(yōu)阻尼系數(shù)的影響規(guī)律。由圖可知：對(duì)應(yīng)相同黏滯阻尼指數(shù)且NSNVD無量綱負(fù)剛度系數(shù)小于1 時(shí)，NSNVD 最優(yōu)阻尼系數(shù)隨NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)的增大而降低，即NSNVD 實(shí)現(xiàn)斜拉索多模態(tài)減振效果（隨NSNVD無量綱負(fù)剛度系數(shù)的增大而提升）的阻尼成本隨NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)的增大而降低；對(duì)應(yīng)相同無量綱負(fù)剛度系數(shù)，NSNVD 最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)隨NSNVD 黏滯阻尼指數(shù)的減小而降低，即NSNVD 實(shí)現(xiàn)斜拉索多模態(tài)減振效果（隨NSNVD 黏滯阻尼指數(shù)的減小而提升）的阻尼成本隨NSNVD 黏滯阻尼指數(shù)的減小而降低。

圖10 NSNVD 無量綱負(fù)剛度系數(shù)和黏滯阻尼指數(shù)對(duì)NSNVD 多模態(tài)最優(yōu)無量綱阻尼系數(shù)的影響規(guī)律Fig.10 The influence of the dimensionless negative stiffness coefficient and viscous damping exponent of the NSNVD on the optimal dimensionless multi-modal damping coefficient of the NSNVD

圖11（a）和（b）分別對(duì)比研究了斜拉索多模態(tài)優(yōu)化后前4 階附加模態(tài)阻尼比隨NSNVD（α=0.8）無量綱負(fù)剛度系數(shù)與黏滯阻尼指數(shù)的變化關(guān)系。由圖可知：斜拉索各階附加模態(tài)阻尼比隨NSNVD（α=0.8）無量綱負(fù)剛度系數(shù)的增大而提高；斜拉索第1 階附加模態(tài)阻尼比隨NSNVD黏滯阻尼系數(shù)的減小而有所下降，而其余各階附加模態(tài)阻尼比均隨黏滯阻尼系數(shù)的減小而提高?？梢姡篘SNVD 的被動(dòng)負(fù)剛度效應(yīng)和非線性黏滯阻尼特征均有助于提升斜拉索多模態(tài)減振效果，且基于斜拉索各階模態(tài)阻尼比的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的多模態(tài)減振參數(shù)優(yōu)化方法同樣適用于斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)。

圖11 斜拉索多模態(tài)優(yōu)化后的前4 階附加模態(tài)阻尼比Fig.11 The first four supplemental modal damping ratio of the cable after multi-mode optimization

5 結(jié)論

（1）能量等效線性化方法對(duì)NSNVD 斜拉索減振系統(tǒng)基本適用，但當(dāng)阻尼系數(shù)超過最優(yōu)值時(shí)，相應(yīng)結(jié)果存在一定偏差。

（2）被動(dòng)負(fù)剛度效應(yīng)有助于提升NSNVD 對(duì)斜拉索的單模態(tài)和多模態(tài)減振效果，且相應(yīng)的NSNVD 最優(yōu)阻尼系數(shù)隨其負(fù)剛度系數(shù)的增大而降低。

（3）黏滯阻尼非線性特征有助于實(shí)現(xiàn)NSNVD對(duì)斜拉索的多模態(tài)減振增效，其可有效提高斜拉索各階模態(tài)阻尼比的均值與標(biāo)準(zhǔn)差二者的差值最大值，且可顯著降低相應(yīng)NSNVD 的最優(yōu)阻尼系數(shù)。

（4）基于斜拉索各階模態(tài)阻尼比的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的多模態(tài)減振參數(shù)優(yōu)化方法同樣適用于斜拉索-NSNVD 系統(tǒng)。

（5）當(dāng)NSNVD 的負(fù)剛度系數(shù)和黏滯阻尼指數(shù)匹配合理時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)斜拉索減振雙重增效。