葉柳康，葉文華，楊高杰，肖 曉

(1.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院，南京 210016；2.航空工業(yè)濟(jì)南特種結(jié)構(gòu)研究所，濟(jì)南 250023)

0 引言

激光三角測(cè)量技術(shù)因精度高、效率高、測(cè)量無損傷等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛用于加工檢測(cè)中[1-3]。相對(duì)于點(diǎn)激光，線激光測(cè)量效率更高，應(yīng)用更廣。

線激光傳感器只含X、Z軸數(shù)據(jù)，無法完成零件特征檢測(cè)，一般與運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)組成系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)三維測(cè)量[4-5]，系統(tǒng)測(cè)量精度受運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)精度、傳感器分辨率、安裝姿態(tài)、測(cè)量環(huán)境等影響，其中安裝姿態(tài)可在傳感器安裝完成后對(duì)其標(biāo)定，以此提高系統(tǒng)精度。國(guó)內(nèi)外對(duì)激光傳感器系統(tǒng)標(biāo)定問題展開了許多研究，主要研究方向是機(jī)器人測(cè)量系統(tǒng)的手眼標(biāo)定[6-9]，常用方法為定點(diǎn)變位姿法。黃佳等[10]令機(jī)器人變位姿測(cè)量固定球心，由球心位置不變?cè)瓌t解算機(jī)器人與傳感器位姿關(guān)系。吳聊等[11]以平面為靶標(biāo)，以平面在機(jī)器人不同位姿下的測(cè)點(diǎn)求解標(biāo)定參數(shù)。定點(diǎn)變位姿法雖然方法簡(jiǎn)單，但對(duì)幾何誤差敏感[12]，另外，載體為移動(dòng)機(jī)構(gòu)的測(cè)量系統(tǒng)姿態(tài)無法任意變化，以該方法標(biāo)定誤差較大。機(jī)床測(cè)量系統(tǒng)中，徐舒婷[13]提出了一種方向標(biāo)定方法，以階梯面標(biāo)定三個(gè)方向偏角并進(jìn)行角度校正，方法簡(jiǎn)單，但需要額外的調(diào)整機(jī)構(gòu)，且對(duì)階梯面精度要求高。相對(duì)其他特征，球面具有各向同性且定位準(zhǔn)確的特點(diǎn)，但受傳感器測(cè)量特性影響[14]，線激光測(cè)量球面的Z向誤差較大，直接以球面標(biāo)定會(huì)影響精度。雖然平面定位效果與標(biāo)定精度均不如球面[15]，但平面比球面的線激光測(cè)量Z向誤差小。

為了實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確標(biāo)定，本文提出一種線激光傳感器測(cè)量系統(tǒng)的安裝姿態(tài)標(biāo)定方法。建立了測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定模型，并以歐拉角描述安裝姿態(tài)，以平面和球面為靶標(biāo)分析繞X、Y、Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的姿態(tài)角，最后解算姿態(tài)矩陣。該方法結(jié)合了平面與球面的線激光測(cè)量特性，減小測(cè)量誤差對(duì)標(biāo)定的影響，可有效提高標(biāo)定精度。

1 線激光傳感器測(cè)量系統(tǒng)建模

系統(tǒng)由X、Y、Z三軸移動(dòng)機(jī)構(gòu)，線激光傳感器，數(shù)據(jù)傳輸線和上位機(jī)等組成，其中線激光傳感器采用了激光三角測(cè)量技術(shù)。在移動(dòng)機(jī)構(gòu)末端安裝線激光傳感器，使其按指定路徑對(duì)零件掃描，傳感器數(shù)據(jù)與機(jī)構(gòu)數(shù)據(jù)以數(shù)據(jù)線傳輸?shù)缴衔粰C(jī)構(gòu)成三維數(shù)據(jù)，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析得到測(cè)量結(jié)果。實(shí)現(xiàn)精密測(cè)量的關(guān)鍵在于傳感器X、Z軸數(shù)據(jù)與機(jī)構(gòu)數(shù)據(jù)的融合，傳感器姿態(tài)是影響最大的因素之一，因此測(cè)量系統(tǒng)的安裝姿態(tài)標(biāo)定十分必要。

圖1 測(cè)量系統(tǒng)介紹

為了描述坐標(biāo)系之間的關(guān)系，定義ObXbYbZb表示測(cè)量系統(tǒng)的基坐標(biāo)系，OLXLYLZL表示末端坐標(biāo)系，OsXsYsZs表示傳感器坐標(biāo)系。由于載體是移動(dòng)機(jī)構(gòu)，可定義末端坐標(biāo)系與基坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸同向，傳感器坐標(biāo)系與基坐標(biāo)系的關(guān)系由安裝姿態(tài)決定，如圖1所示。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，被測(cè)點(diǎn)應(yīng)滿足坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系：

xb=RL(Rsxs+Ts)+TL

(1)

式中，xb、xs分別為被測(cè)點(diǎn)在基坐標(biāo)系、傳感器坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；RL、TL為末端坐標(biāo)系相對(duì)基坐標(biāo)系的變換矩陣；Rs、Ts為傳感器坐標(biāo)系相對(duì)末端坐標(biāo)系的變換矩陣。由坐標(biāo)系定義知RL=I3×3，可將式(1)簡(jiǎn)化為：

xb=Rsxs+Ts+TL

(2)

平移矩陣Ts與傳感器安裝位置、末端坐標(biāo)系定義有關(guān)。為了簡(jiǎn)化過程，定義此次安裝標(biāo)定的末端坐標(biāo)系原點(diǎn)OL與傳感器坐標(biāo)系原點(diǎn)Os重合，即Ts=(0,0,0)T，并設(shè)一固定參考點(diǎn)。若需重新安裝標(biāo)定時(shí)，以參考點(diǎn)為基準(zhǔn)校正Ts即可。平移矩陣TL由移動(dòng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系得到，因此只需求解線激光傳感器姿態(tài)即可得到旋轉(zhuǎn)矩陣Rs完成標(biāo)定。

2 測(cè)量系統(tǒng)標(biāo)定方法

2.1 定點(diǎn)變位姿法

圖2 定點(diǎn)變位姿法原理

設(shè)機(jī)器人基坐標(biāo)系下的球心坐標(biāo)為Qi(i=1,2,…,q)，由基坐標(biāo)系下球心位置不變?cè)瓌t，得到以下關(guān)系：

Q1=Q2=…=Qq

(3)

(4)

2.2 安裝姿態(tài)標(biāo)定法

在描述物體姿態(tài)的方法中，除方向余弦矩陣外，還有一種“角度給定法”[16]。角度給定法可分成RPY角和歐拉角兩類，其中后者更常用。歐拉角有12種組合，安裝姿態(tài)標(biāo)定法以其中一種組合描述姿態(tài)，完成測(cè)量系統(tǒng)的安裝姿態(tài)標(biāo)定。

2.2.1 安裝姿態(tài)描述

根據(jù)傳感器坐標(biāo)系相對(duì)末端坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)順序，安裝姿態(tài)以z-x-y歐拉角描述。令繞Zs軸轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角為θ，繞Xs軸轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角為β，繞Ys軸轉(zhuǎn)動(dòng)的歐拉角為α，如圖3所示。

圖3 安裝姿態(tài)描述

2.2.2 安裝姿態(tài)分析

(1)歐拉角α：以平面為對(duì)象，將高精度平面放置與末端坐標(biāo)系OLXLYLZL的XLOYL平面平行。為了保證平面滿足平行的要求，令機(jī)構(gòu)沿Xb軸或Yb軸運(yùn)動(dòng)，調(diào)節(jié)高精度平面使其在傳感器坐標(biāo)系的x=0處測(cè)點(diǎn)始終滿足Z向差值|z2-z1|≤ε(ε為波動(dòng)范圍，根據(jù)實(shí)際平面條件設(shè)置)，如圖4所示。

圖4 平面調(diào)節(jié)過程

線激光傳感器測(cè)量該平面得到由數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,zi)構(gòu)成的輪廓線(i=1,2,…,n1)，如圖5a所示。

設(shè)直線擬合方程為z=a1+b1x，根據(jù)最小二乘法，得到目標(biāo)函數(shù)為：

(5)

由此求出直線參數(shù)a1、b1的大小，再根據(jù)圖5b所示的直線斜率b1與歐拉角α的關(guān)系，得到α的大小為：

α=|arctan(b1)|

(6)

歐拉角α的正負(fù)判斷方法是直線上偏為正，下偏為負(fù)。

(a) 平面測(cè)量(b) 直線與α的關(guān)系

(2)歐拉角β：在歐拉角α標(biāo)定的基礎(chǔ)上，傳感器坐標(biāo)系的Xs軸與末端坐標(biāo)系的XLOLYL面共面。在基坐標(biāo)系Zb軸方向上選擇位置1、2，將位置2處傳感器坐標(biāo)系的Zs2軸延長(zhǎng)至位置1處傳感器坐標(biāo)系的Xs1O1Ys1平面交于A0得到ΔO1O2A0，則歐拉角β的大小可由∠O1O2A0表示，如圖6a所示。歐拉角β的正負(fù)判斷方法是傳感器Zs軸左偏為正，右偏為負(fù)，如圖6b所示。

(a) 歐拉角β大小(b) 歐拉角方向判斷

O1O2長(zhǎng)度等于位置1、2的基坐標(biāo)系Zb軸的坐標(biāo)差Zb2-Zb1，O1A0長(zhǎng)度Δs由交點(diǎn)A0到Y(jié)s1軸的距離ΔXs與到Xs1軸的距離ΔYs確定，即：

(7)

因此，得到以下關(guān)系：

(8)

Zb1與Zb2可直接從機(jī)構(gòu)坐標(biāo)獲取，分析出ΔXs與ΔYs的值即可得到歐拉角β的大小。首先，分析ΔXs的大小。將標(biāo)準(zhǔn)球放置合適并固定，在位置1處測(cè)量球面得到在傳感器坐標(biāo)系下的截面圓輪廓點(diǎn)數(shù)據(jù)，圓擬合得到圓心坐標(biāo)C1；將傳感器移動(dòng)到位置2，同理可得圓心坐標(biāo)C2，如圖7a所示。

截面圓輪廓數(shù)據(jù)擬合采用最小二乘法，設(shè)擬合圓方程為：

(9)

(10)

F分別對(duì)a2、b2、c2求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于0得到偏導(dǎo)數(shù)方程組f2，求解方程組f2可得F的最小值，若令：

(11)

則方程組f2的解為：

(12)

則圓心坐標(biāo)(xc,zc)與半徑Rc可表示為：

(13)

由最小二乘圓擬合方法得到位置1的圓心坐標(biāo)C1(xc1,zc1)和半徑Rc1，位置2的圓心坐標(biāo)C2(xc2,zc2)和半徑Rc2，則ΔXs的大小為：

ΔXs=|xc2-xc1|

(14)

其次，分析ΔYs的大小。ΔYs可由球心在位置1、2傳感器坐標(biāo)系的Ys軸坐標(biāo)差值表示。但截面圓擬合半徑誤差較大，以半徑Rc1、Rc2與球基準(zhǔn)半徑R0計(jì)算球心坐標(biāo)[10]不準(zhǔn)確，從而難以得到準(zhǔn)確的ΔYs值。由于線激光傳感器安裝姿態(tài)的歐拉角通常較小，可由球心在機(jī)構(gòu)Yb軸坐標(biāo)的差值近似替代ΔYs值。在位置1處通過機(jī)構(gòu)Yb軸運(yùn)動(dòng)使傳感器掃描球面，將Yb軸坐標(biāo)與傳感器Xs、Zs軸坐標(biāo)結(jié)合構(gòu)成球面輪廓數(shù)據(jù)(xsk,ybk,zsk)，k=1,2,…,n2，如圖7b所示。

(a) 截面圓測(cè)量 (b) 球心測(cè)量

采用最小二乘法進(jìn)行球面擬合，原理與最小二乘圓擬合方法類似，由此得到位置1處的擬合球心為(xQ1,yQ1,zQ1)，半徑為RQ1。在位置2處同理得到擬合球心為(xQ2,yQ2,zQ2)，半徑為RQ2。則可以得到ΔYs的大小為：

ΔYs≈|yQ2-yQ1|

(15)

從而歐拉角β大小為：

(16)

實(shí)際標(biāo)定過程中，可以多次改變位置1、2測(cè)量球心來計(jì)算歐拉角β，剔除其中的粗大誤差并幾何平均計(jì)算得到最優(yōu)值，能夠有效減小機(jī)構(gòu)幾何誤差影響。

(3)歐拉角θ：在歐拉角α，β標(biāo)定的基礎(chǔ)上，末端坐標(biāo)系OLXLYLZL與傳感器坐標(biāo)系OsXsYsZs之間僅存在歐拉角θ。在位置3處使線激光傳感器測(cè)量球面得到截面圓輪廓數(shù)據(jù)(xm,zm)與當(dāng)前位置基坐標(biāo)系的Yb軸坐標(biāo)yc3(m=1,2,…,n3)。對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)(xm,zm)進(jìn)行最小二乘圓擬合，得到圓心坐標(biāo)C3(xc3,zc3)；位置4同理可得圓心坐標(biāo)C4(xc4,zc4)與該位置基坐標(biāo)系的Yb軸坐標(biāo)yc4，如圖8a所示。

根據(jù)末端坐標(biāo)系與傳感器坐標(biāo)系的幾何關(guān)系構(gòu)建ΔC3C4B0，如圖8b所示。歐拉角θ大小為：

θ=sin-1(|xc4-xc3|/|yc4-yc3|)

(17)

歐拉角θ正負(fù)判斷方法是Ys軸上偏為正，下偏為負(fù)。為減小機(jī)構(gòu)幾何誤差的影響，多次改變位置3、4測(cè)量計(jì)算歐拉角θ求解最優(yōu)值。

(a) 截面圓測(cè)量 (b) 坐標(biāo)系的幾何關(guān)系

2.3 安裝姿態(tài)標(biāo)定

根據(jù)“從左到右”的原則排列三次旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的矩陣R(z,θ)、R(x,β)、R(y,α)，從而表示安裝姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣Rs為：

(18)

式中，R(z,θ)、R(x,β)、R(y,α)分別為：

將上述分析得到的歐拉角α、β、θ代入式(18)解算旋轉(zhuǎn)矩陣Rs，根據(jù)式(2)完成線激光傳感器測(cè)量系統(tǒng)的安裝姿態(tài)標(biāo)定。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與分析

3.1 系統(tǒng)標(biāo)定試驗(yàn)

標(biāo)定實(shí)驗(yàn)中，運(yùn)動(dòng)載體為X、Y、Z三軸移動(dòng)機(jī)構(gòu)，其單軸重復(fù)定位精度≤5 μm、線激光傳感器型號(hào)為GOcator2420，其技術(shù)指標(biāo)有：測(cè)量范圍為25 mm，X向分辨率為0.014 mm，Z向分辨率為0.001 8 mm、標(biāo)定靶標(biāo)為φ30 mm且圓度≤1 μm的啞光陶瓷球和1級(jí)精度的啞光量塊，裝置如圖9所示。

圖9 標(biāo)定實(shí)驗(yàn)裝置

采用定點(diǎn)變位姿法進(jìn)行標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。分別改變移動(dòng)機(jī)構(gòu)的X、Y、Z軸坐標(biāo)值6次，然后對(duì)固定的標(biāo)準(zhǔn)球測(cè)量，得到18組機(jī)構(gòu)坐標(biāo)與傳感器坐標(biāo)系下的球截面圓心坐標(biāo)與半徑，由此求出傳感器坐標(biāo)系下的球心坐標(biāo)，其中的6組數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 定點(diǎn)變姿法實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) (mm)

由18組數(shù)據(jù)求出表示傳感器安裝姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣Rs1為：

采用安裝姿態(tài)標(biāo)定法進(jìn)行標(biāo)定實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)得到表示傳感器安裝姿態(tài)的歐拉角α、β、θ具體數(shù)值，如表2所示。

表2 安裝姿態(tài)角數(shù)據(jù) (°)

由三個(gè)歐拉角得到表示傳感器安裝姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣Rs2為：

3.2 誤差驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

測(cè)量系統(tǒng)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)點(diǎn)絕對(duì)位置較難確定，為了驗(yàn)證標(biāo)定精度，線激光傳感器測(cè)量系統(tǒng)分別以上述兩種方法標(biāo)定后，對(duì)一組數(shù)據(jù)點(diǎn)之間的空間距離進(jìn)行測(cè)量，并與基準(zhǔn)距離比較得到測(cè)量誤差，以此評(píng)價(jià)標(biāo)定效果。

圖10 驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)裝置

數(shù)據(jù)點(diǎn)通過行程為25×25×10 mm的X、Y、Z三軸微調(diào)平臺(tái)與直徑為12.01 mm的基準(zhǔn)孔工件實(shí)現(xiàn)，其中微調(diào)平臺(tái)X、Y、Z軸的分辨率均為0.01 mm、精度<0.03 mm。將基準(zhǔn)孔工件固定在微調(diào)機(jī)構(gòu)上，如圖10所示。

通過微調(diào)平臺(tái)的X、Y、Z軸構(gòu)建坐標(biāo)系，以初始位置的基準(zhǔn)孔坐標(biāo)為參考點(diǎn)，依次沿坐標(biāo)系X軸方向改變10次位置、Y軸方向改變10次位置、Z軸方向改變4次位置及X、Y、Z軸同時(shí)改變3次位置得到27個(gè)全局坐標(biāo)系下的圓心數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)點(diǎn)到參考點(diǎn)的基準(zhǔn)距離由微調(diào)平臺(tái)坐標(biāo)計(jì)算得到。為了減小基準(zhǔn)孔測(cè)量誤差影響，每次測(cè)量圓孔的區(qū)域基本保持不變，并以相同的數(shù)據(jù)處理算法進(jìn)行去噪處理、圓孔輪廓提取及圓擬合。

由上述兩種方法分別標(biāo)定后的測(cè)量系統(tǒng)對(duì)27個(gè)位置的基準(zhǔn)孔測(cè)量，得到各位置的基準(zhǔn)孔測(cè)量半徑及其與參考點(diǎn)的測(cè)量距離，與基準(zhǔn)距離比較得到兩種方法標(biāo)定后的距離測(cè)量誤差，如圖11和圖12所示。

圖11 基準(zhǔn)孔測(cè)量半徑圖12 距離測(cè)量誤差圖

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)一步處理分別得到定點(diǎn)變位姿法M1與安裝姿態(tài)標(biāo)定法M2的數(shù)據(jù)點(diǎn)距離測(cè)量誤差絕對(duì)值的最大值Emax、最小值Emin和均方根誤差Erms_d，以及27次基準(zhǔn)孔測(cè)量半徑的均值Rave及其均方根誤差Erms_r，如表3所示。

表3 測(cè)量結(jié)果分析 (mm)

根據(jù)圖11、圖12和表3可知，定點(diǎn)變位姿法標(biāo)定后的距離測(cè)量誤差不穩(wěn)定，存在誤差敏感方向且誤差較大，而安裝姿態(tài)標(biāo)定法標(biāo)定后的距離測(cè)量誤差較穩(wěn)定且誤差較?。话惭b姿態(tài)標(biāo)定法的距離測(cè)量均方根誤差為0.039 mm、圓孔測(cè)量半徑均方根誤差為0.011 mm，比定點(diǎn)變位姿法的0.803 mm與0.162 mm減少了0.764和0.151。結(jié)果表明，安裝姿態(tài)標(biāo)定法精度優(yōu)于定點(diǎn)變位姿法，且基本達(dá)到現(xiàn)有研究[4]標(biāo)準(zhǔn)偏差在0.065 mm以內(nèi)的精度水平，可滿足零件加工檢測(cè)需求。

另外，測(cè)量結(jié)果誤差來源除了標(biāo)定誤差，還有X、Y、Z三軸移動(dòng)機(jī)構(gòu)與微調(diào)平臺(tái)的幾何誤差、圓孔測(cè)量誤差以及環(huán)境噪聲等?？赏ㄟ^機(jī)構(gòu)誤差補(bǔ)償?shù)却胧?，減小這些因素對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，進(jìn)一步提高測(cè)量精度。

4 結(jié)論

本文針對(duì)多軸移動(dòng)機(jī)構(gòu)與線激光傳感器構(gòu)建的測(cè)量系統(tǒng)提出了一種安裝姿態(tài)標(biāo)定方法，解決了標(biāo)定精度不足的問題。以歐拉角描述了測(cè)量系統(tǒng)的安裝姿態(tài)，以平面和球面為靶標(biāo)分析了歐拉角大小，并構(gòu)建了姿態(tài)矩陣完成標(biāo)定。測(cè)量結(jié)果表明，該方法標(biāo)定精度較高，達(dá)到了現(xiàn)有研究的精度水平，可滿足相關(guān)需求。