楊鈞捷

(江蘇省海門中學(xué) 江蘇 南通 226100)

1 問(wèn)題引入

在一次習(xí)題教學(xué)中筆者講述了這樣一道習(xí)題，題目如下.

【例題】如圖1所示，球a振動(dòng)后，通過(guò)水平細(xì)繩迫使b和c振動(dòng)，下列說(shuō)法中正確的是( )

圖1 例題題圖

A.只有球a和球c振動(dòng)周期相等

B. 球c的振幅比球b小

C. 球c的振幅比球b大

D. 球a,球b,球c的振動(dòng)周期不等

教輔資料中給出的參考答案是： 球a振動(dòng)充當(dāng)驅(qū)動(dòng)球，b和c兩球的振動(dòng)周期都應(yīng)當(dāng)?shù)扔谇騛的振動(dòng)周期，所以A和D錯(cuò)誤.球c的擺長(zhǎng)與球a的擺長(zhǎng)相同，周期也相同，所以球c做受迫振動(dòng)的振幅大，B錯(cuò)誤，C正確.

教學(xué)中學(xué)生提出這樣一個(gè)問(wèn)題，球b雖然不能產(chǎn)生共振，但它的質(zhì)量小，道理上它的振動(dòng)更“容易”，這樣，會(huì)不會(huì)導(dǎo)致其振幅比球c共振時(shí)的振幅還要大呢？這個(gè)問(wèn)題同時(shí)也引發(fā)筆者思考，在周期性驅(qū)動(dòng)力作用下，單擺的振幅與質(zhì)量到底有些什么關(guān)系？鑒于此問(wèn)題對(duì)于中學(xué)命制此類試題有一定價(jià)值和意義，為此，本文嘗試在此作出深入探討.

2 問(wèn)題探討

2.1 建立模型

球b提供驅(qū)動(dòng)力，認(rèn)為b和c兩球都受到相同的驅(qū)動(dòng)力，則

F=F0cosωt

其中,F0是驅(qū)動(dòng)力的幅值，ω是驅(qū)動(dòng)力的角頻率，單擺在回復(fù)力和驅(qū)動(dòng)力的作用下，根據(jù)牛頓第二定律

其中,m為擺球質(zhì)量，l為擺長(zhǎng),用微分方程表示為

求解可得，當(dāng)振動(dòng)穩(wěn)定下來(lái)后，單擺位移隨時(shí)間的變化關(guān)系為

2.2 分析結(jié)果

就本文前述習(xí)題而言，球b雖然質(zhì)量小，其振幅會(huì)有所增加，但由于球c發(fā)生了共振，從理論上講，其振幅可以接近無(wú)窮大，所以球c的振幅一定是最大.

2.3 拓展與討論

實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，我們觀察到共振時(shí)，單擺的周期并不是無(wú)窮大[1].這主要是因?yàn)榇嬖谧枘嶙饔?，如果考慮這個(gè)因素，單擺的運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)?/p>

求解微分方程可得，當(dāng)振動(dòng)穩(wěn)定下來(lái)后，單擺位移隨時(shí)間變化情況滿足

易得，球b受迫振動(dòng)的振幅為

同理，球c受迫振動(dòng)的振幅為

3 結(jié)束語(yǔ)

本文從振動(dòng)微分方程求解的角度，證明了擺球質(zhì)量確實(shí)會(huì)影響受迫振動(dòng)振幅，但無(wú)論是否考慮阻尼影響，質(zhì)量是否相同，共振的振幅是大于其他情況的.此探討主要是為了便于教師從本質(zhì)上更好理解受迫振動(dòng)和共振，從另一個(gè)角度思考此類力學(xué)問(wèn)題.

致謝

本文撰寫過(guò)程中得到昆明市五華區(qū)教育體育局副局長(zhǎng)、五華區(qū)基礎(chǔ)教育發(fā)展研究院趙堅(jiān)老師的悉心指導(dǎo).