林金妮 張麗穎 穆成富

湖州師范學院理學院 浙江湖州 313000

2021年8月18日，歷時17天的東京奧運會落下帷幕，中國體育代表團共收獲88枚獎牌，其中，中國乒乓球隊在五個項目中以4金1銀的好成績收官。

乒乓球作為國球，技術一直處于國際領先水平，在我國有非常廣泛的群眾基礎。乒乓球從技術方面主要可以分為弧圈球、削球、接發(fā)球、搓球等。其中，弧圈球是一種強烈的上旋球，它的特點是既有強大的攻擊力，又有很強的穩(wěn)定性。由于它的旋轉力度非常強，因此，雖然它是上旋球，卻從傳統(tǒng)的上旋球中分離出來成為單獨的一類。當今的弧圈高手比比皆是，其中我國的馬龍等運動員，都以拉弧圈球見長。可見，弧圈球幾乎已經(jīng)成為職業(yè)運動員的一種必備打法。

1 弧圈球二維軌跡

對飛行中的弧圈球進行受力分析，如圖1所示。

圖1 乒乓球受力分析示意圖

乒乓球重力表達式如下：

其中ρp為乒乓球的密度，d為乒乓球的直徑。

空氣給乒乓球的浮力數(shù)值等于乒乓球排開空氣的質量：

其中ρa為空氣密度。

在運動過程中，乒乓球受到與運動方向相反的阻力:

其中Cd為阻力系數(shù)。

若乒乓球并非平動，而有一定的旋轉角速度，則乒乓球還將受到馬格努斯力，其大小為:

其中ω為旋轉角速度。

馬格努斯力的方向可由右手螺旋定則判定，拇指指向旋轉軸，食指指向球運動方向，中指垂直于手面，即為馬格努斯力的方向。

根據(jù)牛頓第二定律，將乒乓球受到的力沿x軸、y軸分解，列出動力學方程組。不妨設乒乓球運動方向與x軸正方向的夾角為α。

將各個力的表達式代入后得：

2 不同角速度對弧圈球軌跡的影響

當一個旋轉物體的旋轉角速度矢量與物體飛行速度矢量不重合時，在與旋轉角速度矢量和平動速度矢量組成的平面相垂直的方向上將產(chǎn)生一個橫向力。在這個橫向力的作用下物體飛行軌跡發(fā)生偏轉的現(xiàn)象，稱作馬格努斯效應，這個橫向力成為馬格努斯力。

以上旋球為例，上旋球在飛行期間，上沿氣流與迎面氣流方向相反，流速減慢，下沿氣流和迎面氣流方向相同，其流速加快，根據(jù)伯努利方程，空氣給球一個向下的馬格努斯力。不同的角速度會影響馬格努斯力的大小，進而影響乒乓球的運動軌跡。

通過查閱資料，對本文中的一些參數(shù)進行合理取值。目前國際乒乓球賽事中專用球的直徑為40mm，質量為2.6～2.8g，本文中取質量為2.7g進行計算。其中空氣密度為ρa=1.293kg/m3。設定初值，阻力系數(shù)取Cr=0.44，初速度v=10m/s，α=15°，選取角速度為ω=0、ω=40r/s、ω=80r/s、ω=120r/s進行計算討論。通過軟件Mathematica對動力學方程進行求解，繪制出不同角速度下乒乓球觸臺前的運動軌跡，如圖2所示。

圖2 不同角速度乒乓球的運動軌跡

由圖2可以看出，初速度相同時，不同的角速度會使運動軌跡有明顯的差別。初速度與出射角速度相同，則四種情況下初速度水平分量相同，故落點的遠近與飛行時間成正比。從圖中可以看出，當乒乓球不旋轉時，飛行距離最遠，即飛行時間最長；為上旋球時，由于受到向下的馬格努斯力飛行時間縮短，與不轉球相比，飛行曲線彎曲度大，弧高要低，落點近；隨著角速度的增加，在馬格努斯力的影響下，乒乓球落點的距離更靠近出發(fā)點，運動軌跡的最高點更低，飛行時間更短。研究表明，運動員的運動機能與神經(jīng)反應有密切的關系，上旋球的旋轉速度越強，在空中的飛行時間就越短，給對手的反應時間就越短，顯然這樣的回球質量更高，也更具有威脅力。

上旋球著臺時，球給臺面一個向后的摩擦力，臺面給球一個大小相同、方向向前的摩擦力，從而使球反彈時，與臺面法線方向夾角增大，前進速度加快，這也給對手回球增加了難度，如圖3所示。

圖3 上旋球落臺后運動軌跡

而在實戰(zhàn)中，并非角速度越大，回球的質量就一定越高。隨著角速度的增加，軌跡最高點會降低，便有可能出現(xiàn)不過網(wǎng)的情況，那便會讓對方直接得分。(國際標準的乒乓球桌尺寸為長2.740m，寬1.525m，網(wǎng)高0.1525m。)

3 不同阻力系數(shù)對弧圈球軌跡的影響

為探究阻力系數(shù)對弧圈球運動軌跡的影響，須設定合適的初值。不妨設初速度v=10m/s，速度與x軸的夾角α=18°，角速度ω=80r/s，分別取阻力系數(shù)Cr=0.2、0.3、0.4、0.5進行討論，繪制出不同阻力系數(shù)下乒乓球觸臺前的運動軌跡，如圖4所示。

圖4 不同阻力系數(shù)乒乓球的運動軌跡

由圖可知，改變阻力系數(shù)會對乒乓球的運動軌跡造成一定的影響。其影響主要體現(xiàn)在軌跡的后半段，從原點到最高點的運動軌跡基本重合。在其他條件相同時，阻力系數(shù)較小，乒乓球的落點較遠，反之則較近。

4 不同初速度對弧圈球軌跡的影響

運動員揮拍的速度和力道以及球拍膠面的材質等多種因素，都會影響到乒乓球的初速度。初速度的不同會影響乒乓球在空中的飛行速度，從而進一步影響其飛行軌跡。一方面，空氣阻力使得乒乓球的飛行受阻，前進速度越快，空氣阻力越大；另一方面，當乒乓球運動具有一定旋轉角速度時，飛行速度越大，其所受到的馬格努斯力越大。由于空氣阻力和馬格努斯力的存在，使得乒乓球飛行速度的大小和方向會發(fā)生非線性改變，能夠形成不同的落點。因此，初速度的選擇對于乒乓球的飛行軌跡和落點都有著很大影響。

國家隊運動員的一般球速為10～15m/s，日常打球時的平均球速可能會低于10m/s。參考該數(shù)值，設定初值角速度ω=80r/s，阻力系數(shù)Cr=0.44，速度與x軸的夾角α=15°。選取初速度v=7m/s、v=10m/s、v=13m/s、v=16m/s進行計算討論，繪制出其運動軌跡，如圖5所示。

圖5 不同初速度乒乓球的運動軌跡

由圖5可以看出，其他條件相同時，不同的初速度會使乒乓球的飛行軌跡會有明顯的差別。初速度較大時，乒乓球的落點會較遠，最高點也會較高。為上旋球時，由于速度大的乒乓球所受到向下的馬格努斯力較大，使得飛行弧線變低，從圖可以看出乒乓球的飛行并非是拋物線軌跡。在比賽中，運動員的出球速度越快，留給對手的反應時間就短。顯然，一個速度較快的弧圈球更具有殺傷力，能夠增大對方回球時的失誤概率，但是速度過快也會容易使乒乓球出球臺而失分。因此，經(jīng)過分析可得，在本文設置的條件下，v=13m/s和v=16m/s乒乓球會落在球臺之外，v=7m/s乒乓球會下網(wǎng)而無法到達對方半球臺，在四個設定的速度中，v=10m/s為質量最高的弧圈球。

5 不同出球角度對弧圈球軌跡的影響

上文論述到，乒乓球的角速度和初速度等因素會對弧圈球的質量有較大的影響，還有一個較為重要的因素是出球角度，它與揮拍方向和拍面角度息息相關，運動員可以通過日常訓練揮拍方向和拍面角度，來控制乒乓球的出球角度。

設定初值，角速度ω=80r/s，阻力系數(shù)Cr=0.44，初速度v=10m/s，選取出球角度α=10°、α=14°、α=18°、α=22°進行計算討論，繪制出其運動軌跡，如圖6所示。

圖6 不同出球角度乒乓球的運動軌跡

由圖可知，其他條件相同時，不同的出球角度會使其運動軌跡會有明顯的差別。出球角度較大時，乒乓球的落點會較遠，最高點也會較高。在比賽中，一個速度較快的弧圈球顯然會更加有殺傷力，但是這也會容易使乒乓球出球臺而失分。在本文設置的條件下，α=22°乒乓球會落在球臺之外，α=10°乒乓球會下網(wǎng)而無法到達對方半球臺，α=14°的運動軌跡中，最高點在0.14m左右，有可能存在擦網(wǎng)而過的運氣球，但比較危險，在四個設定的速度中，α=18°為質量最高的弧圈球。