陳頌莊，彭紅云

（廣東工業(yè)大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，廣東 廣州 510520）

趨化性指的是細胞對環(huán)境中的某些化學物質(zhì)做出反應(yīng)而移動的趨勢，即這些細胞會趨向或遠離化學物質(zhì)濃度較高的區(qū)域，前者稱為吸引性趨化，后者稱為排斥性趨化。很多學者對各種趨化模型進行了數(shù)學研究，例如，在20 世紀70 年代，Keller 等［1］提出了經(jīng)典的趨化性模型，該模型描述了細胞黏菌對化學物質(zhì)環(huán)腺苷酸（cAMP）的反應(yīng)行為，Keller-Segel 模型的一般形式為

其中，D＞0 和ε≥0 分別表示細胞擴散系數(shù)和化學物質(zhì)擴散系數(shù)，u 和c 分別表示細胞密度和化學物質(zhì)濃度，?（c）是描述信號檢測機制的趨化敏感函數(shù)，g（u，c）是描述化學信號生長和降解的函數(shù)，而則表示化學信號的強度。當χ＞0 時趨化性是吸引的，而當χ＜0 時是排斥的。對于趨化函數(shù)?，研究的三種類型分別為?（v）=kv（線性律），?（v）=klog（v）（對數(shù)律）和?（v）=kvm/（1+vm）（受體定律），其中，k＞0 且m∈N。文獻［2］將線性系統(tǒng)?（v）=kv 和g（u，v）=u-v 命名為極小趨化模型。此外，文獻［3］給出了該趨化模型相應(yīng)的數(shù)學結(jié)果。而文獻［4］研究了具有對數(shù)敏感性且g（u，v）=u-v 的模型（1）的穩(wěn)態(tài)解，并在文獻［5］中得到了全局解的存在性。本文研究在g（u，v）=uc-μc 和對數(shù)趨化函數(shù)?（c）=k ln（c）下的一維模型

其中，μ＞0 表示化學物質(zhì)降解速率的常數(shù)。該模型采用了Weber-Fechner 定律描述細胞趨化反應(yīng)，并在文獻［3，6-7，8］中給出了一些相應(yīng)的生物學應(yīng)用。隨后，文獻［9］給出了解的局部存在性和全局存在性。

其中初值條件和無窮遠狀態(tài)如下

當ε=0 時，系統(tǒng)（3）轉(zhuǎn)化為以下的拋物-雙曲方程

事實上，文獻［10-13］首先建立了一維空間中系統(tǒng)（3）在ε≥0 時，行波解的存在性和非線性穩(wěn)定性，其中波的強度可以任意大。此外，對于ε=0，文獻［14］研究了一維空間中，系統(tǒng)（6）的Cauchy 問題在H2框架下經(jīng)典解的整體存在性，進一步地，文獻［15］研究了系統(tǒng)（6）具有不連續(xù)初值的Cauchy 問題的存在性、穩(wěn)定性和正則性。而高維空間中系統(tǒng)（6）Cauchy 問題的一些研究可以參考文獻［16］。在本文中，我們將考慮系統(tǒng)（3）在擴散系數(shù)ε＞0 時的初值問題

本文的目標是在初值（u0，v0）僅具有Lp-正則性（p≥1）條件下，證明弱解的全局存在性和穩(wěn)定性。

1 主要結(jié)果說明

定理1 假設(shè)初值滿足：u0-1∈L2（R）∩L4（R），v0∈L2（R），u0＞0，則Cauchy 問題（7）存在全局弱解（u，v）（x，t）滿足

且有以下漸近收斂行為，當t→∞時

注1 初始值（u0，v0）（x）在定理1 初值條件下可能不連續(xù)，并且系統(tǒng)（7）中出現(xiàn)了類對流項［（v）2］x，這給能量估計帶來了一些困難。為了證明定理1，我們構(gòu)造光滑解序列逼近弱解。首先，對初始數(shù)據(jù)進行磨光，構(gòu)造全局光滑解（uδ，vδ），得到一些（uδ，vδ）與δ 無關(guān)的能量估計，再取δ→0 的極限。

2 預(yù)備引理

引理1（Aubin-Lions-Simon）設(shè)X0，X，X1為三維Banach 空間，且滿足X0?X?X1，X0緊嵌入X中，X 連續(xù)嵌入X1。對任意1≤p，q≤∞，記W=f∈Lp（［0，T］；X0）│?t∈Lq（［0，T］；X1），有如下結(jié)論：

（1）如果p＜∞，則W 緊嵌入Lp（［0，T］；X），即W 在Lp（［0，T］；X）中是相對緊的；

（2）如果p=∞，q＞1，則W 緊嵌入C（［0，T］；X0）。

3 先驗估計

接下來，通過引入一系列引理來證明具有如上所述初值的近似系統(tǒng)（10）的近似解滿足一些與磨光參數(shù)δ 無關(guān)的全局先驗估計。那么我們可以得到定理1 的近似解序列的δ-極限。在不引起混淆的情況下，將（uδ，vδ）記為（u，v）。

引理2 設(shè)（u，v）是方程組（7）的光滑解且滿足定理1，那么存在一個不依賴于t 和δ 的常數(shù)C，使得

證明 將方程組（7）的第1 個方程與ln u 進行L2內(nèi)積，將方程組（7）的第2 個方程與v 進行L2內(nèi)積，并將結(jié)果相加，進而在［0，t］上進行分部積分，得到

以上不等式直接導(dǎo)出不等式（11），從而證明了引理2。

接下來，我們的目標是獲得解關(guān)于時間的一致估計。

計算2×（15）-（16）可得

這里

由Cauchy-Schwarz 不等式可得

聯(lián)立不等式（19），（20）和（21），可得

其中

這意味著

因此

將式（25）代入式（22），運用Gronwall 不等式可得式（14），引理3 證明完成。

為了得到最終的結(jié)果，還需要估計（u，v）的一階導(dǎo)數(shù)。我們計劃用磨光函數(shù)（uδ，vδ），通過令δ→0 逼近系統(tǒng)（7）的解（u，v），這要求（uδ，vδ）的一階導(dǎo)數(shù)在與δ 無關(guān)的情況下一致收斂到（u，v）。在文獻［12-14］中，可直接由H1估計得到該結(jié)果。然而，采用H1估計得到具有正則性低于H1（R）的初始值（u0，v0）問題的結(jié)果是不可能的。事實上，在L2（R）范數(shù)下，在H1估計過程中引入的項具有次有界［18］。因此，我們引用了一種巧妙的方法：利用加權(quán)函數(shù)σ=σ（t）=min｛1，t｝。值得注意的是，通過上述方法，我們只有在擴散系數(shù)ε 很小且不能被忽略的時候才能得到關(guān)于δ 的一致估計，卻由于方程組（7）的第2 個雙曲方程中存在v 的擴散項和以及v 只具有低正則性的初始值v0∈L2（R）∈L∞（R）），而不能得到關(guān)于δ 的一致估計。也就是說，我們只能得到以下uδ和εvδ的一階導(dǎo)數(shù)的L2估計。

其中，σ=σ（t）=min｛1，t｝。

接下來，我們將估計式（23）右邊的每一項。首先，由式（14）可知

對于H1，由Sobolev 不等式≤2‖f‖‖fx‖，Cauchy-schwarz 不等式以及式（14）可得

類似地

這里取η＞0 足夠小。把H1-H4的估計整合到式（29）可得

對于式（27）右邊的最后兩項，有

聯(lián)立式（27）～（32）可得

以下，通過對式（13）關(guān)于時間t 微分來估計式（32）右端項，這里有

由式（14）和式（33）可得

對于J3和J4，運用Sobolev 不等式和Cauchy-schwarz 不等式以及式（14）可得

將J1-J4插入式（35），有

由此，式（33）可簡化為

令η 足夠小可直接得到

上式結(jié)合式（36）可得

整合式（37）和（38）直接得到式（26），引理4 得證。

證明 由式（14）和式（26）可得

其中，當t≥1 時，σ=1，導(dǎo)出

因此

以下，我們開始推導(dǎo)v 關(guān)于時間的一致上界。由引理4 和5 可知

其中，C（ε）獨立于t。

4 定理1 的證明

根據(jù)引理3 和引理4，有

這表示

可以看出，當擴散系數(shù)ε＞0 時，上述結(jié)果與相同條件下ε=0 時的非擴散方程的結(jié)果一致。由式（42）和Aubin-Lions-Simon 引理（詳見引理1），可以很自然地得到一個逼近序列（uδ，vδ），令δ→0，得到以下收斂結(jié)果

根據(jù)以上討論過程，（u，v）確實是問題（7）的弱解，并且式（41）所示的上界成立。此外，我們必須在最后給出式（9）的證明來完成定理1 的證明。由引理4、引理5 和插值不等式可得

聯(lián)立式（43）和（49），得到

結(jié)合v 的L2估計以及引理5，得到式（9）。