魯 鑫，鐘紫瀅，吳幼明

（佛山科學技術學院數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，廣東 佛山 528000）

高階微分方程組在應用數(shù)學和物理學的不同領域得到了廣泛的應用，因而受到諸多關注。如何尋找微分方程組的通解，成為求解很多數(shù)學模型的關鍵步驟，因此繼續(xù)深入探究高階微分方程組的求解問題具有重要的實用價值。

由于微分方程組中至少存在兩個未知量，故其研究相對于單個方程更加困難，降階法和特征根法是處理高階齊次線性微分方程的常用方法；求高階非齊次線性微分方程組的特解是微分方程理論的重要內容之一，而對于高階微分方程組的特解研究，當非齊次項是某些特殊函數(shù)時，可通過待定矩陣法和按列比較法求得其特解。國內外很多學者采用上述方法研究了二階常系數(shù)線性微分方程組的求解問題，并得出許多實用成果。2002 年，吳幼明等［1］給出了不含一階導數(shù)項的二階矩陣微分方程Af''-Bf=t（x）的通解，其中非齊次項t（x）為二次多項式。針對文獻［1］中的微分方程組，2006 年，吳幼明等［2-3］分別給出當t（x）為二次多項式乘以指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)這兩種情形下的特解，從而對文獻［1］中其他形式的非齊次項的特解進行了補充。

在二階常系數(shù)線性微分方程組非齊次項t（x）同為二次多項式的情形下，吳幼明等［4-6］研究了如下3種形式的微分方程組Af''-aAf'-Bf=t（x）、Af''-bBf'-Bf=t（x）和Af''-Bf'-Af=t（x），對文獻［1］進行了拓展。2010—2011 年，針對文獻［4］的方程組，吳幼明等［7-8］分別給出當t（x）為二次多項式乘以指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)這兩種形式的特解。而對于文獻［6］的微分方程組，文獻［9-10］分別給出了t（x）為二次多項式乘以指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)這兩種形式的特解，以上研究進一步豐富和完善了文獻［4］和文獻［6］的工作。

相對于二階常系數(shù)微分方程組，三階常系數(shù)微分方程組的研究相對較少。1994 年，陳志勇［11］推導出三階微分方程組f'''-Bf=0 的通解公式，但沒有用特征根法求解。直到2019 年，吳幼明等［12］采用特征根法和降階法推導出三階常系數(shù)微分方程Af'''-aAf'-Bf=0 的通解。接著，吳幼明等［13-14］在文獻［12］的基礎上，運用待定矩陣法和按列比較法進一步研究其非齊次項為三次函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)乘以指數(shù)函數(shù)這兩種情形下的特解公式。

本文在文獻［12-14］的基礎上，采用特征根法和待定矩陣法，求出一類不含二階導數(shù)項的二維三階常系數(shù)線性微分方程組Af'''-bBf'-Bf=t（x）的通解公式，其中，t（x）為三次多項式，最后通過算例對通解進行驗證。本文既是文獻［11］的延續(xù)，亦是文獻［12-14］的補充。

1 符號

為了敘述方便，引入如下記號

其中，fi=fi（x）是關于x 的函數(shù)，ti（x）是關于x 的三次多項式（i=1，2，3），aij，bij及b 均為常數(shù)（i，j=1，2）。將微分方程組（1）寫成如下矩陣形式

則式（2）可寫為

2 方程的通解

2.1 齊次方程的通解

先采用特征根法解方程（4）對應的齊次方程，其形式為

首先，對方程（4）采用降階方法，作變換f1'=f3，f2'=f4，f1''=f3'=f5，f2''=f4'=f6，并代入微分方程組（5），得

記

矩陣D的特征多項式為：│D-λE6│=│（λb+1）C-λ3E2│=0，其中，E6和E2分別為6 階和2 階單位矩陣。若λb+1=0，則特征方程為│D-λE6│=│-λ3E2│=0，解得λ=0 為矩陣D的6 重特征根，這與條件λb+1=0 矛盾，故λb+1≠0，從而矩陣D 的特征方程可化為

這里，E=-（c11+c12），F(xiàn)=│C│。

以下分別來求矩陣D 的6 個特征根各自對應的特征向量。

（1）當λ=λ1，求解特征方程（D-λ1E6）ξ=0，即

解方程組（10），得λ1的特征向量ξ1為。同理，可求得其余5 個特征根λi（i=2，3，…，6）對應的特征向量；

根據(jù)齊次方程組的理論，已求得式（6）的系數(shù)矩陣D 的6 個特征值λi及其該特征根對應的6 個線性無關的特征向量ξi=［ξ1i，ξ2i，ξ3i，ξ4i，ξ5i，ξ6i］T（i=1，2，…，6）。則可得線性方程組（6）的通解為

其中，ci為常數(shù)（i=1，2，…，6）。

利用式（11）的前兩項，并根據(jù)特征向量之間關系，可得齊次線性微分方程組（5）的通解為

2.2 非齊次方程的特解

由式（12）與（13）得方程（2）的通解為

注 當b=0 時，方程（2）的通解公式為

其中，V是矩陣C 的特征根所對應的列特征向量構成的矩陣；Λ1=diag（λ1，λ4），Λ2=diag（λ2，λ5），Λ3=diag（λ3，λ6）；C'1，C'2，C'3為常數(shù)向量。

3 算例

求如下微分方程組的通解

解 將上述方程組寫成矩陣形式，有

綜上所述，方程組（15）的通解為

經(jīng)檢驗，式（17）為齊次方程組（15）的通解。

4 結語

文章對一類微分方程組Af'''-bBf'-Bf=t（x）的通解公式進行了探究。首先采用降階方法，降低三階微分方程組的求解難度，再利用特征根法得出其齊次方程組的通解公式，最后通過利用待定矩陣法得出該類不含二階導數(shù)項的三階微分方程組在非齊次項t（x）為三次多項式情形下的特解公式，并利用具體算例驗證結果的準確性。雖然本文尋找到該微分方程組在非齊次項為三次多項式情形下對應的特解公式，但對于其他更為復雜的非齊次項對應的通解公式并未進行探索。另外，目前求解高階微分方程組通解公式的方法較為統(tǒng)一，這些有待于后面繼續(xù)進行深入探究，進一步完善研究微分方程組的相關理論與方法。