魏冠軍, 梁斌, 戴嵩, 張幸, 王瀚弘

(1.蘭州交通大學(xué)測(cè)繪與地理信息學(xué)院, 蘭州 730070； 2.地理國(guó)情監(jiān)測(cè)技術(shù)應(yīng)用國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心, 蘭州 730070； 3.甘肅省地理國(guó)情監(jiān)測(cè)工程實(shí)驗(yàn)室, 蘭州 730070)

高鐵路基的穩(wěn)定性與變形控制是高鐵施工、運(yùn)營(yíng)過(guò)程的關(guān)鍵,凍土地區(qū)高鐵路基的不均勻凍脹將會(huì)影響路基穩(wěn)定性與軌面平整度,給高鐵行車(chē)安全帶來(lái)嚴(yán)重危害。將高鐵路基凍脹變形看作變化復(fù)雜的時(shí)間序列變化工程,在這個(gè)變化過(guò)程中包含眾多不確定性與復(fù)雜性以及外在影響因素。由于高鐵路基凍脹變形的復(fù)雜性導(dǎo)致單一模型對(duì)高鐵路基凍脹變形進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)時(shí)由于參數(shù)獲取的誤差以及模型自身局限性,使得預(yù)測(cè)結(jié)果不是很理想。

近年來(lái),灰色理論、回歸分析、最優(yōu)化理論以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等數(shù)學(xué)分析方法廣泛應(yīng)用于高鐵路基變形分析、預(yù)測(cè)。陳洋等[1]通過(guò)灰色穩(wěn)健總體最小二乘估計(jì)對(duì)高鐵變形進(jìn)行預(yù)測(cè),先提出部分變量誤差模型的總體最小二乘估計(jì)并在此基礎(chǔ)上提出基于系統(tǒng)抗差估計(jì)方法(institute of geodesy & geophy-sics,IGGⅢ)抗差方案部分變量的總體最小二乘穩(wěn)健估計(jì),解決了預(yù)測(cè)過(guò)程中觀測(cè)值粗差定位與提出的問(wèn)題。劉海鵬等[2]對(duì)路基變形規(guī)律與影響因素進(jìn)行分析并構(gòu)建了預(yù)測(cè)模型,在研究了振次、路基深度和含水率對(duì)路基變形的影響基礎(chǔ)上提出了累計(jì)塑性變形預(yù)測(cè)模型。張獻(xiàn)州等[3]在灰色模型的基礎(chǔ)上通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)與馬爾科夫模型對(duì)預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正,通過(guò)對(duì)預(yù)測(cè)殘差的分解與馬爾科夫修正計(jì)算提高預(yù)測(cè)精度的準(zhǔn)確度。丁恒等[4]通過(guò)將變形周期項(xiàng)與趨勢(shì)項(xiàng)相結(jié)合得到位移預(yù)測(cè)函數(shù)更好的預(yù)測(cè)位移變化?？店蝗A等[5]提出了一種適用于高鐵變形預(yù)測(cè)的組合模型,該模型通過(guò)小波去噪消除高鐵變形過(guò)程中隨機(jī)擾動(dòng)影響的基礎(chǔ)上進(jìn)行灰色模型預(yù)測(cè),并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行馬爾科夫殘差修正實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)殘差的收斂與預(yù)測(cè)精度。李照眾等[6]基于貝葉斯參數(shù)優(yōu)化的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)收斂變形的趨勢(shì)項(xiàng),然后采用支持向量回歸算法修正經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)結(jié)果,在此基礎(chǔ)上構(gòu)建高鐵變形預(yù)測(cè)組合模型。以上學(xué)者不僅對(duì)不同單一模型進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn),并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行誤差修正建立組合模型提高預(yù)測(cè)精度,然而未能考慮到變形觀測(cè)測(cè)數(shù)據(jù)的非等間距特性并且由于單一模型自身本身局限性導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果穩(wěn)定性受到影響。

針對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)非等間距特性與單一模型預(yù)測(cè)由于自身局限性導(dǎo)致預(yù)測(cè)效果效果不佳的問(wèn)題,在建立非等間距灰色模型與非等間距回歸模型的基礎(chǔ)上,通過(guò)馬爾科夫模型對(duì)兩種模型擬合、預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行殘差修正,以此來(lái)提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度。在此基礎(chǔ)上,應(yīng)用線性定權(quán)方法確定最優(yōu)權(quán)值系數(shù)對(duì)兩種修正后模型進(jìn)行有效組合。通過(guò)組合模型對(duì)高鐵路基進(jìn)行凍脹變形預(yù)測(cè),彌補(bǔ)了單一預(yù)測(cè)模型的局限性以及不穩(wěn)定性,具有更有效的預(yù)測(cè)穩(wěn)定性與更高的預(yù)測(cè)精度。

1 預(yù)測(cè)模型簡(jiǎn)介

1.1 基于冪函數(shù)的非等間距灰色模型

通過(guò)變形序列x0=(x0(1),x0(2),…，x0(n))建立灰色模型[7-8],首先利用冪函數(shù)(x-0.5)處理變形序列后進(jìn)行一次累加處理得到累加數(shù)列為

x1=(x1(1),x2(2),…，x1(n))

(1)

由式(1)序列建立微分方程

(2)

式(2)中：a為發(fā)展系數(shù)；u為灰色作用量。

由最小二乘原理利用凍脹變形觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)參數(shù)a、u求解,將求解后參數(shù)代入微分方程并對(duì)微分 方程求解，公式為

(3)

對(duì)求解序列進(jìn)行累減、冪函數(shù)還原處理得到擬合、預(yù)測(cè)序列。k≤n-1時(shí),求解值為已監(jiān)測(cè)凍脹變形數(shù)據(jù)序列的擬合值；k>n-1時(shí),求解值為未來(lái)時(shí)刻凍脹變形預(yù)測(cè)值。

擬合預(yù)測(cè)序列與原始序列求差計(jì)算殘差序列，公式為

(4)

在灰色模型預(yù)測(cè)過(guò)程中,變形監(jiān)測(cè)序列由于監(jiān)測(cè)時(shí)距差異導(dǎo)致在模型中具有不同的貢獻(xiàn)程度。為解決監(jiān)測(cè)時(shí)距差異對(duì)模型預(yù)測(cè)精度的影響,設(shè)置非等間距加權(quán)矩陣進(jìn)行模型改進(jìn)。定義時(shí)距遞增常數(shù)R與增長(zhǎng)速度t(k), 規(guī)定t(1)=1,t(2)=2,R=1.5,增長(zhǎng)速度與加權(quán)矩陣C為

(5)

(6)

非等間距灰色模型參數(shù)矩陣求解修改為

(7)

式(7)中：

1.2 非等間距回歸模型

采用單變量線性回歸預(yù)測(cè)模型對(duì)凍脹監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè),首先對(duì)路基凍脹變形觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢(shì)分析,依據(jù)數(shù)據(jù)變形趨勢(shì)選取線性回歸模型為

Yt=β0+β1x1+β2x2+…+βnxn

(8)

式(8)中：y為預(yù)測(cè)值因變量；x為觀測(cè)值自變量；β為系數(shù)矩陣。

向量表達(dá)形式為Y=Xβ。展開(kāi)為

(9)

根據(jù)最小二乘原理計(jì)算通過(guò)路基凍脹變形觀測(cè)數(shù)據(jù)求解系數(shù)向量，即

β=(XTX)-1XTY

(10)

依據(jù)系數(shù)向量確定回歸模型狀態(tài),利用回歸模型對(duì)凍脹變形數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合、預(yù)測(cè)。

擬合預(yù)測(cè)結(jié)果與原始數(shù)據(jù)求差計(jì)算得到殘差序列為

(11)

在參考灰色非等間距加權(quán)矩陣設(shè)置的基礎(chǔ)上,提出一種非等間距回歸模型。

非等間距回歸模型系數(shù)向量求解修改為

β=(XTCX)-1XT

(12)

式(12)中：C為非等間距加權(quán)矩陣；X為觀測(cè)值矩陣。

1.3 馬爾科夫預(yù)測(cè)基本原理

馬爾科夫過(guò)程是一種只需知道當(dāng)前情況便可以確定將來(lái)狀態(tài)的隨機(jī)過(guò)程,通過(guò)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移概率計(jì)算下一刻概率區(qū)間更新修正預(yù)測(cè)值[7-9]。通過(guò)馬爾科夫模型對(duì)灰色預(yù)測(cè)與回歸預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行修正提高預(yù)測(cè)精度。基本建模過(guò)程如下：

根據(jù)模型擬合值與凍脹監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)之間比值劃分狀態(tài)區(qū)間為

(13)

MI=[mi1,mi2]

(14)

計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率,假設(shè)k時(shí)刻狀態(tài)i一步轉(zhuǎn)移到j(luò)次數(shù)為mij(k)，狀態(tài)i出現(xiàn)總次數(shù)為mi(k)，則狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

(15)

由狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率構(gòu)成狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

(16)

選取離目標(biāo)最近的s期預(yù)測(cè)數(shù)據(jù),按照由近到遠(yuǎn)順序所需轉(zhuǎn)移步數(shù)分別為1,2，…，s。在轉(zhuǎn)移步數(shù)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣中選取起始狀態(tài)對(duì)應(yīng)行向量為各狀態(tài)出現(xiàn)的概率,并將各自概率求和選取出現(xiàn)概率最大的狀態(tài)即為預(yù)測(cè)值所對(duì)應(yīng)狀態(tài)。

得到預(yù)測(cè)值狀態(tài)區(qū)間選取區(qū)間中位數(shù)作為預(yù)測(cè)時(shí)刻相對(duì)值,預(yù)測(cè)修正值為

(17)

2 組合模型簡(jiǎn)介

目前，針對(duì)高鐵路基凍脹變形的預(yù)測(cè)往往采用單一模型進(jìn)行預(yù)測(cè),每種模型都具有自身的優(yōu)勢(shì)與不足[10-15]。由于凍脹變形的復(fù)雜性,采用單一預(yù)測(cè)模型可能存在片面性與不穩(wěn)定性。在對(duì)非等間距灰色模型與非等間距回歸模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行馬爾科夫殘差修正的基礎(chǔ)上,按照最優(yōu)權(quán)重比例進(jìn)行并聯(lián)組合,預(yù)測(cè)結(jié)果具有更好的精度與穩(wěn)定性,組合模型預(yù)測(cè)流程，如圖1所示。

圖1 組合預(yù)測(cè)流程圖Fig.1 Combined prediction flow chart

2.1 最優(yōu)權(quán)重確定方法

組合模型關(guān)鍵在于定權(quán)[16],定權(quán)方法主要有線性定權(quán)與非線性定權(quán),其中線性定權(quán)是以誤差平方和最小為約束條件,對(duì)非等間距灰色模型與非等間距回歸模型擬合結(jié)果進(jìn)行殘差修正后,兩種模型擬合結(jié)果準(zhǔn)確度較高,因此選取線性定權(quán)方法。

組合模型權(quán)重通過(guò)模型擬合誤差按照極小化準(zhǔn)測(cè)進(jìn)行權(quán)重計(jì)算。

L個(gè)模型組合形式為

t=1,2，…，N

(18)

組合模型擬合誤差可以表示為

(19)

式(19)中：e(t)為殘差序列;ωn為權(quán)重系數(shù)。

Q=eTe=WTEW

(20)

RTW=1

(21)

式中:RT=(1,1,…,1);WT=(ω1,ω2,…,ωn);E=(eij),eij=eiTej。W為系數(shù)向量；E為誤差矩陣；R為單位向量。

若各個(gè)模型擬合誤差不相關(guān),按照最小二乘法求解系數(shù)向量為

W=(RTE-1R)-1E-1R

(22)

2.2 精度分析

三種模型模擬預(yù)測(cè)結(jié)果分別采用三種精度評(píng)價(jià)指標(biāo)[14-15]。

平均相對(duì)誤差：

(23)

式(23)對(duì)模型模擬預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)準(zhǔn)確度進(jìn)行評(píng)價(jià)。

誤差平方和：

(24)

式(24)對(duì)模型擬合預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與原始觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的離散程度進(jìn)行評(píng)價(jià)。

平均絕對(duì)誤差：

(25)

式(25)對(duì)模擬預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值的偏離情況進(jìn)行評(píng)價(jià)。

2.3 模型等級(jí)評(píng)價(jià)

本文預(yù)測(cè)結(jié)果采用后驗(yàn)差方法檢驗(yàn),具體評(píng)價(jià)方法如下：

計(jì)算原始數(shù)列與殘差序列方差:

(26)

(27)

然后計(jì)算后驗(yàn)差比值：

(28)

和小誤差概率：

(29)

模型精度評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)表1。

表1 模型精度等級(jí)

3 工程實(shí)例分析

3.1 哈大高鐵路基凍脹監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)

采用哈大線某區(qū)域路基表層凍脹期數(shù)據(jù)(表2)[14],該數(shù)據(jù)通過(guò)安裝在哈大線鲅魚(yú)圈K186+600處與K148+600處的非接觸式測(cè)量裝備對(duì)路基表層凍融數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)測(cè),該數(shù)據(jù)精度可達(dá)0.01 mm,真實(shí)反映了該路段的路基凍融變化情況。

表2 算例1凍脹變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

3.1.1 非等間距灰色預(yù)測(cè)

計(jì)算非等間距灰色模型參數(shù)得到：a=0.026 5，u=0.619 9。由式(3)、式(4)計(jì)算得到非等間距灰色模型擬合值、預(yù)測(cè)值。

3.1.2 非等間距回歸預(yù)測(cè)

對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行趨勢(shì)分析后選用與本文數(shù)據(jù)擬合度最高的二次曲線,由式(7)～式(11)計(jì)算系數(shù)向量確定非等間距回歸模型為y=2.169+0.21x-0.001 7x2。由式(7)計(jì)算非等間距回歸模型擬合值與預(yù)測(cè)值。

3.1.3 馬爾可夫模型殘差修正

以灰色模型第20期馬爾可夫模型殘差修正過(guò)程為例簡(jiǎn)要介紹馬爾可夫模型計(jì)算過(guò)程。

根據(jù)灰色預(yù)測(cè)模型的擬合結(jié)果,計(jì)算凍脹變形實(shí)際觀測(cè)值與模型擬合值的比值,根據(jù)比值的變化狀態(tài)劃分狀態(tài)區(qū)間為[0.89,0.96][0.97,1.01][1.02,1.08][1.09,1.22]。

根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率公式[式(12)～式(15)]計(jì)算一步狀態(tài)概率轉(zhuǎn)移矩陣，即

由于狀態(tài)劃分為4個(gè),選取離預(yù)測(cè)時(shí)刻最近的4期作為原始對(duì)象,其轉(zhuǎn)移步數(shù)分別為1、2、3、4,計(jì)算轉(zhuǎn)移概率見(jiàn)表3。

表3 算例1狀態(tài)預(yù)測(cè)

由表3可知,第20期預(yù)測(cè)值處于狀態(tài)區(qū)間2的概率最大,由式(17)計(jì)算得到該期預(yù)測(cè)修正值為7.135 mm。

3.1.4 權(quán)重系數(shù)計(jì)算與預(yù)測(cè)結(jié)果評(píng)價(jià)

由式(15)～式(18)計(jì)算灰色模型與回歸模型系數(shù)為ω1=0.711 5,ω2=0.288 5。

三種模型擬合、預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表4、表5。

預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比可得,本文組合模型的擬合、預(yù)測(cè)結(jié)果更具穩(wěn)定性,預(yù)測(cè)結(jié)果更加接近于真實(shí)值。

3.1.5 模型等級(jí)、精度分析

表4 算例1擬合結(jié)果對(duì)比

表5 算例1預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

由表1可得,組合模型預(yù)測(cè)精度等級(jí)滿足一級(jí)模型精度要求,組合模型可以較好地預(yù)測(cè)路基凍脹變形。

由式(22)～式(24)并結(jié)合表4、表5中數(shù)據(jù)計(jì)算2種模型誤差分析情況,如表6所示,三種模型對(duì)應(yīng)的3項(xiàng)誤差單項(xiàng)數(shù)據(jù)變化情況如圖2～圖4所示。

由表6組合模型平均誤差指標(biāo)小于非等間距灰色模型與非等間距回歸模型,圖2～圖4可以看出組合模型對(duì)于凍脹變形的預(yù)測(cè)表現(xiàn)優(yōu)于單一模型。構(gòu)建組合模型既 可以避免灰色模型對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)不明顯的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)效果不佳的問(wèn)題,又可以改善回歸模型預(yù)測(cè)可靠性較弱的缺點(diǎn)。

表6 算例1精度評(píng)價(jià)指標(biāo)

圖2 算例1相對(duì)誤差對(duì)比Fig.2 Relative error compare of example 1

圖3 算例1絕對(duì)誤差對(duì)比Fig.3 Absolute error comparison of example1

圖4 算例1誤差平方和對(duì)比Fig.4 Error sum of squares comparison of example 1

3.2 算例2-某寒區(qū)高鐵路基變形數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)

以某寒區(qū)高鐵建設(shè)工程施工過(guò)程為例,選取項(xiàng)目?jī)?nèi)高速鐵路路基52號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的24期變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)(表7)。

3.2.1 非等間距灰色預(yù)測(cè)

計(jì)算非等間距灰色模型參數(shù)得到a=0.003 7，u=1.244 1，由式(3)、式(4)計(jì)算得到模型擬合值、預(yù)測(cè)值。

3.2.2 非等間距回歸預(yù)測(cè)

對(duì)已有變形數(shù)據(jù)進(jìn)行變形趨勢(shì)分析,選用與本文數(shù)據(jù)變形趨勢(shì)擬合度最高的二次曲線,由式(7)～式(11)計(jì)算系數(shù)向量確定非等間距回歸模型：y=0.622 5+0.416 0x-0.002 5x2。

表7 算例2凍脹變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)

由式(7)計(jì)算非等間距回歸模型擬合值與預(yù)測(cè)值。

3.2.3 權(quán)重系數(shù)計(jì)算與預(yù)測(cè)結(jié)果評(píng)價(jià)

由式(15)～式(18)計(jì)算灰色模型與回歸模型系數(shù)：ω1=0.479 6,ω2=0.520 4。

三種模型擬合、預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)表8、表9。

表8 算例2擬合結(jié)果對(duì)比

表9 算例2預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比

3.2.4 模型等級(jí)、精度分析

由表10可得,組合模型預(yù)測(cè)精度等級(jí)為一級(jí)。

由式(22)～式(24)及結(jié)合表8、表9中數(shù)據(jù)得3種模型誤差分布,如表10所示。三種模型對(duì)應(yīng)的單項(xiàng)誤差數(shù)據(jù)變化情況如圖5～圖7所示。

表10 算例2精度評(píng)價(jià)指標(biāo)

圖5 算例2相對(duì)誤差對(duì)比Fig.5 Relative error comparison of example 2

圖6 算例2絕對(duì)誤差對(duì)比Fig.6 Relative error comparison of example 2

圖7 算例2誤差平方和對(duì)比Fig.7 Relative error comparison of example 2

由表10可得,組合模型平均誤差指標(biāo)明顯小于非等間距回歸模型。圖5～圖7可以看出組合模型在相對(duì)誤差、絕對(duì)值誤差、平方和誤差三個(gè)方面明顯優(yōu)于非等間距灰色模型與非等間距回歸模型。可以更好地為季節(jié)性凍土區(qū)的高鐵運(yùn)營(yíng)、運(yùn)行安全提供保障

4 結(jié)論

本文提出組合模型針對(duì)高鐵路基凍脹監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)研究，主要得出以下結(jié)論。

(1)利用馬爾科夫模型對(duì)非等間距灰色模型與非等間距回歸模型預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行修正,提高了預(yù)測(cè)精度,由于模型本身局限性無(wú)法長(zhǎng)期保持穩(wěn)定性理想效果。

(2)以高鐵路基監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)分析,在預(yù)測(cè)馬爾科修正基礎(chǔ)上進(jìn)行最優(yōu)權(quán)組合預(yù)測(cè),相對(duì)于單一的模型預(yù)測(cè)結(jié)果具有更好的穩(wěn)定性,離散程度更低,準(zhǔn)確度更高。采用組合模型擬合、預(yù)測(cè)高鐵凍脹變形降低了相對(duì)誤差、絕對(duì)誤差、誤差平方和。