張雷克， 范宇宏， 張金劍， 馬震岳， 王雪妮

(1. 太原理工大學 水利科學與工程學院，太原 030024；2. 大連理工大學 建設工程學部 水利工程學院，遼寧 大連 116023)

水輪發(fā)電機組的安全穩(wěn)定運行與水電站經(jīng)濟效益以及所在電力系統(tǒng)穩(wěn)定性密切相關(guān)。受水力、機械、電氣等荷載影響，機組在運行過程中不可避免會產(chǎn)生振動，由多振源引發(fā)的水輪發(fā)電機組軸系非線性振動問題一直是本領(lǐng)域的研究熱點與難點，在過去數(shù)十年間吸引國內(nèi)外諸多學者開展了持續(xù)且深入的研究，并取得了豐碩的成果[1-12]。

利用集總參數(shù)法對包括轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪、轉(zhuǎn)軸及軸承在內(nèi)的旋轉(zhuǎn)部件予以簡化從而推導系統(tǒng)運動微分方程是創(chuàng)建水輪發(fā)電機組軸系振動模型一種常見的手段。集總參數(shù)法原理簡單，但公式冗長且建模中存在較多簡化，不能完全反映軸系特征。相比之下，有限元法具有更高的計算精度和更廣的適用范圍。隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，有限元法在機組建模與分析方面的優(yōu)勢逐步凸顯。榮吉利等[13-14]采用有限元法研究了水輪發(fā)電機組軸系非線性振動特性，并著重討論了附加質(zhì)量效應的影響。文獻[15-16]通過有限元方法，對機組進行了數(shù)值模擬分析，得到了臨界頻率及振型的模態(tài)分析結(jié)果。Betting等[17]提出了考慮發(fā)電機電磁力和水輪機不平衡水力的廣義機組有限元模型，據(jù)此研究了系統(tǒng)固有頻率及穩(wěn)定性。肖黎等[18-21]所創(chuàng)建模型考慮因素更為全面，同時對細節(jié)的把控更為精細，故據(jù)此開展的機組軸系在多振源激勵下動力學特性討論能夠較為全面地體現(xiàn)機組的運轉(zhuǎn)特性，為大型水輪發(fā)電機組的振動設計和減振研究提供了重要理論支持。

借助有限元法，國內(nèi)外學者在水輪發(fā)電機組軸系動態(tài)特性分析領(lǐng)域取得了令人矚目的成就，不過需要指出的是，由于軸系橫向振動問題突出，一直以來水電機組建模及相關(guān)動態(tài)特性討論多圍繞平面運動開展。在建模時主要集中于平面單節(jié)點4自由度(2個橫向與2個扭轉(zhuǎn))，鮮有將軸向自由度納入整體研究范疇。相關(guān)研究表明[22]，由于機組在軸向受約束相對有限，故其在該方向即便因較小激振力影響，亦有可能產(chǎn)生較大振動，進而給機組帶來危害。文獻[23]研究結(jié)果表明，機組因軸向水推力和軸向電磁力等軸向激勵作用導致其軸向振動十分明顯，應與橫向和扭轉(zhuǎn)等方向振動一樣得到足夠重視。此外，若將軸向與橫向及扭轉(zhuǎn)疊加在一起形成耦合效應，勢必引起機組軸系產(chǎn)生不同的動態(tài)特性，因此十分有必要開展相關(guān)研究。

鑒于此，本文以單節(jié)點4自由度Euler梁為基礎，通過引入軸向位移構(gòu)建了單節(jié)點5自由度水電機組軸系有限元模型。在此基礎上，利用Newmark-β和Newton-Raphson相結(jié)合方法分別討論了考慮軸向自由度與否，以及考慮軸向電磁力與否等不同情況系統(tǒng)橫向振動特性的差異。本文研究內(nèi)容可為優(yōu)化水電機組軸系模型并為機組早期振動控制提供參考。

1 水輪發(fā)電機組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)有限元模型

1.1 轉(zhuǎn)子-軸承結(jié)構(gòu)

水輪發(fā)電機組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)主要包括發(fā)電機轉(zhuǎn)子、主軸和上、下導軸承等，其三維立體圖如圖1(a)所示。

圖1(b)為轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)有限元模型示意圖，軸系共包含12個節(jié)點，分為11個軸段。其中，轉(zhuǎn)子半徑為0.6 m，位于軸段6上，上、下導軸承分別位于軸段4和軸段8位置。

為便于分析系統(tǒng)，對模型假設為：

(1) 定子假設為剛體，僅考慮轉(zhuǎn)子振動；

(2) 在應變能計算中忽略剪切變形、橫向位移對拉壓變形能的影響。

此外，本文在模型構(gòu)建時不考慮推力軸承影響。其原因在于：如考慮推力軸承作用，一方面，須將推力軸承本體及軸向水推力荷載納入整體模型，從而增加建模的復雜性；另一方面，則不便于對考慮軸向自由度和軸向電磁力與否兩種情況下系統(tǒng)橫向振動特性差異進行辨識與分析。故本文在建模過程中忽略推力軸承作用。

對于機組各軸段，其兩端節(jié)點自由度包括

(1)

式中：xA，yA，xB，yB，θxA，θyA，θxB，θyB為梁單元各節(jié)點在x，y方向上的位移和轉(zhuǎn)角；zA，zB為梁單元各節(jié)點在z方向上的位移。

圖1 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of rotor-bearing system

1.2 軸向電磁力

軸向電磁力作為引起系統(tǒng)軸向振動的關(guān)鍵外激勵之一，其選取適當與否對于系統(tǒng)整體計算的準確性與穩(wěn)定性具有十分重要的作用。目前，獲取軸向電磁力的數(shù)學表述大致包括三種方式：基于傳導紙模型、通過保角變換方法以及新的均方根方法。本文在此選用基于傳導紙模型獲得式(2)形式軸向電磁力[24]

(2)

(3)

式中： Δz為軸向氣隙偏心；δ為徑向氣隙長度。

1.3 水輪發(fā)電機組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)有限元模型

水輪發(fā)電機組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)運動微分方程為

(4)

式中：M，D，K分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；F_rub為發(fā)電機轉(zhuǎn)子處碰摩力，其表達式詳見張雷克等的研究；F_ump為發(fā)電機轉(zhuǎn)子處考慮動、靜偏心下UMP，其表達式詳見Zhang等的研究；M_ump為發(fā)電機轉(zhuǎn)子處電磁轉(zhuǎn)矩，其表達式詳見文獻[26]；Fz為發(fā)電機轉(zhuǎn)子處軸向電磁力?？紤]軸向位移的單節(jié)點5自由度單元平移質(zhì)量矩陣、轉(zhuǎn)動質(zhì)量矩陣、陀螺力矩矩陣和剛度矩陣具體形式分別為

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：l為單元長度；EI為抗彎剛度；μ為單位長度質(zhì)量；r為單元半徑。

本文采用瑞利阻尼建立系統(tǒng)阻尼矩陣，其形式為

C=αM+βK

(9)

其中，

式中：ξ1，ξ2為阻尼系數(shù)；ω1，ω2為轉(zhuǎn)子的一、二階臨界轉(zhuǎn)速。

2 數(shù)值計算分析

由于式(4)具有較強的非線性及非連續(xù)特性，故本文采用Newmark-β和Newton-Raphson相結(jié)合方法對系統(tǒng)運動微分方程進行求解。

計算所選用的主要參數(shù)如下：轉(zhuǎn)子質(zhì)量m1=1.44×105kg，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω=4 Hz，不平衡量的初始相位φ=0，轉(zhuǎn)子半徑R=0.6 m，轉(zhuǎn)子長度L=0.3 m，定轉(zhuǎn)子均勻氣隙δ0=2×10-3m，空氣磁導系數(shù)μ0=4×π×10-7H/m，發(fā)電機轉(zhuǎn)子磁極對數(shù)p=12，內(nèi)功率角ψ=30.64 rad，氣隙基波磁動勢系數(shù)kj=0.8，定子氣隙基波磁動勢Fsm=19 210 A。

2.1 軸向自由度對系統(tǒng)橫向振動的影響

圖2為Ij=345 A、靜偏心δs=0.6×10-3m、動偏心δd=0.7×10-3m，krub=4.74×109N/m時，是否考慮軸向自由度轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨質(zhì)量偏心變化的橫向運動軌跡圖。

從圖中可以看出，隨著e0的增加，轉(zhuǎn)子橫向位移呈遞增趨勢。不過，軸向自由度的加入對其運動軌跡形態(tài)及大小起到了明顯改變作用。當e0=0.5×10-3m時，由于忽略軸向自由度的影響，如圖2(a)所示，其運動軌跡表現(xiàn)為封閉不規(guī)則形狀，最大振幅為0.76；當考慮軸向自由度后，轉(zhuǎn)子運動形態(tài)為一規(guī)則封閉圓環(huán)，最大振幅為0.65。而在e0增至1.4×10-3m后，雖然在軸心軌跡形態(tài)方面幾乎相同，但考慮軸向自由度與不考慮軸向自由度其振幅存在明顯差異，相比于前者，因計及軸向自由度，轉(zhuǎn)子橫向振幅下降約15%。由此可見，軸向自由度的存在對抑制系統(tǒng)橫向振動響應具有一定作用，特別是在振幅較大時較為明顯。

注：ⅰ為不考慮軸向自由度；ⅱ為考慮軸向自由度。圖2 不同質(zhì)量偏心下系統(tǒng)響應的軌跡圖Fig.2 Trajectory diagram of system response under different mass eccentricity

2.2 軸向電磁力對系統(tǒng)橫向振動的影響

由2.1節(jié)分析可知，軸向自由度的加入對水電機組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)運動特性影響顯著。本節(jié)在2.1節(jié)分析基礎上，引入軸向電磁力激勵，進一步討論其存在與否對系統(tǒng)橫振的影響。

圖3為當Ij=345 A，Δz=2.0×10-3m，δd=0.7×10-3m，e0=0.30×10-3m，krub=4.79×109N/m時，是否考慮軸向電磁力轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨靜偏心變化的橫向運動軌跡圖。從圖3中可知，軸向電磁力的加入對轉(zhuǎn)子橫向運動軌跡起到了明顯改變作用。當δs=0.56×10-3m時，由于忽略軸向電磁力的影響，如圖3(a)所示，其運動軌跡表現(xiàn)為一規(guī)則封閉圓環(huán)，最大振幅為0.42；當考慮軸向電磁力后，轉(zhuǎn)子運動形態(tài)為封閉不規(guī)則形狀，最大振幅為0.52。而在δs增至2.0×10-3m后，雖然在軸心軌跡形態(tài)方面二者幾乎相同，但考慮軸向電磁力與不考慮軸向電磁力其振幅存在明顯差異，相比于前者，考慮軸向電磁力，轉(zhuǎn)子橫向振幅上升約29%。造成該現(xiàn)象的原因在于機組軸向受約束相對較弱，軸向不平衡電磁力引起系統(tǒng)出現(xiàn)軸向振動，并將其傳遞給發(fā)電機轉(zhuǎn)子形成橫/軸耦合振動效應，從而使機組轉(zhuǎn)子部位橫向振動加大。

注：ⅰ為不考慮軸向電磁力；ⅱ為考慮軸向電磁力。圖3 不同靜偏心下系統(tǒng)響應的軌跡圖Fig.3 Trajectory diagram of system response under different static eccentricity

由Zhang等的研究可知，動偏心δd和靜偏心δs與徑向氣隙長度δ密切相關(guān)。從式(2)和式(3)可以看出δ是影響軸向電磁力大小的關(guān)鍵參數(shù)之一，換言之，動、靜偏心的改變不僅會造成系統(tǒng)橫向UMP的變化，同時也會間接對軸向電磁力產(chǎn)生影響。因此，軸向電磁力和動、靜偏心下的UMP存在復雜耦聯(lián)關(guān)系。當δs增至某一程度后，由于動、靜偏心下UMP和軸向電磁力的共同作用，造成轉(zhuǎn)子橫向振動加大，所以考慮軸向電磁力后轉(zhuǎn)子橫向位移出現(xiàn)明顯增加。

3 結(jié) 論

針對機械和電磁故障引起的水輪發(fā)電機組軸系橫、軸向耦合振動問題，本文以單節(jié)點4自由度Euler梁為基礎，將軸向位移納入軸系整體，推導并建立了單節(jié)點5自由度水電機組轉(zhuǎn)子-軸承有限元模型，利用Newmark-β和Newton-Raphson相結(jié)合方法分別研究了是否考慮軸向自由度和軸向電磁力下質(zhì)量偏心、靜偏心對系統(tǒng)橫向振動特性的影響，主要結(jié)論如下：

(1) 軸向自由度的加入對系統(tǒng)運動軌跡形態(tài)及大小起到了明顯改變作用。同未考慮軸向自由度相比，轉(zhuǎn)子運動軌跡相對減小。軸向自由度對抑制系統(tǒng)振動響應具有一定作用，特別是在振幅較大時較為明顯。因此，從實際建模和改善系統(tǒng)運動特性角度出發(fā)，應充分考慮軸向自由度的影響。

(2) 軸向電磁力與動、靜偏心下不平衡磁拉力形成電磁激勵耦聯(lián)效應，二者共同作用明顯加大系統(tǒng)橫向運動振幅。因此，出于對故障診斷識別及更為全面洞悉系統(tǒng)振動特性的需要，將軸向電磁激勵納入水電機組軸系整體建模范疇較為合理。