王永強(qiáng) ， 王瑞東 ， 李 敏

（長(zhǎng)安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710064）

0 引言

模態(tài)分析這一概念源于20世紀(jì)60年代的控制工程研究領(lǐng)域，是控制工程中系統(tǒng)辨識(shí)在機(jī)械工程中的應(yīng)用。結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析是從結(jié)構(gòu)的材料和連接特性角度出發(fā)，建立數(shù)值模型，然后通過(guò)矩陣的特征值求解得到模態(tài)參數(shù)[1]。模態(tài)分析方法是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的逆向求解問(wèn)題，通過(guò)系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)或僅基于輸出信號(hào)獲得結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。機(jī)械結(jié)構(gòu)中的典型零部件（如軸承、圓盤、齒輪等）都具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)，而具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)特性中包含有密集模態(tài)[2]。從實(shí)際的工程實(shí)踐角度出發(fā)，密集模態(tài)是指經(jīng)常被誤認(rèn)為單階模態(tài)的兩階或者多階模態(tài)。對(duì)稱結(jié)構(gòu)以及系統(tǒng)大阻尼的存在使得各階模態(tài)分布緊湊從而很難辨識(shí)。因此，密集模態(tài)識(shí)別是基于振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)提取模態(tài)參數(shù)問(wèn)題的難點(diǎn)，密集模態(tài)最顯著的特點(diǎn)是各階的頻率分量都很密集，這使得各階的模態(tài)混疊成為密集模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的一個(gè)主要問(wèn)題。針對(duì)密集模態(tài)的模態(tài)混疊問(wèn)題，榮欽彪等[3]提出了一種基于互補(bǔ)總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（CEEMD）和信號(hào)調(diào)頻變換（FM）結(jié)合的改進(jìn)的希爾伯特變換（HHT）模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，并將該方法應(yīng)用于密集模態(tài)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。Chen和Xu[4]通過(guò)對(duì)HHT進(jìn)行改進(jìn)，提取出具有密集模態(tài)的線性系統(tǒng)的各階模態(tài)參數(shù)，他們?cè)诮?jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）篩選過(guò)程中建立了最小截止頻率準(zhǔn)則，以確保分離一系列固有模態(tài)函數(shù)（IMF）的頻帶寬度。由于附加的截止頻率是對(duì)EMD過(guò)程的主觀干預(yù)，會(huì)在無(wú)意間扭曲IMF，因此要進(jìn)行必要的間歇性檢查。Peng等[5]將小波包變換與HHT相結(jié)合，首先用小波包變換將信號(hào)分解成一組窄帶信號(hào)，然后用EMD分解出單分量IMF信號(hào)。Chen等[6]利用波浪的拍擊現(xiàn)象來(lái)促進(jìn)EMD分解過(guò)程。Zheng等[7]提出了采取奇異值分解方法和帶通濾波器技術(shù)相結(jié)合的方法提取密集模態(tài)的參數(shù)，但是這種方法在兩個(gè)頻率成分之間的空間變小時(shí)，密集模態(tài)分離的挑戰(zhàn)仍然存在。總的來(lái)說(shuō)，結(jié)構(gòu)的密集模態(tài)參數(shù)識(shí)別仍然是動(dòng)力學(xué)分析的重要挑戰(zhàn)。

1 特征提取過(guò)程

1.1 Hilbert變換

在信號(hào)處理中，復(fù)信號(hào)更加方便分析，對(duì)于一個(gè)實(shí)信號(hào)x(t)來(lái)說(shuō)，借助Hilbert變換可以求出與之對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)Z(t)。

1.2 頻率調(diào)制

在頻率調(diào)制（FM）中，利用調(diào)制信號(hào)將載波的頻率調(diào)高、降低或保持不變。通過(guò)調(diào)制將密集模態(tài)從一個(gè)高頻頻段轉(zhuǎn)換到一個(gè)低頻頻段以降低密集模態(tài)的混合度。定義調(diào)頻函數(shù)ei2πfdt，可以得到調(diào)頻信號(hào)：

1.3 變分模態(tài)分解

VMD是一種新的自適應(yīng)非遞歸信號(hào)分解方法。它利用迭代求解變分模型的最優(yōu)解，并能自適應(yīng)地分離分量以獲得每個(gè)IMF的頻率中心和帶寬。總體框架是變分模型問(wèn)題，利用VMD分解復(fù)雜信號(hào)的過(guò)程實(shí)際上是構(gòu)造的變分函數(shù)問(wèn)題的求解過(guò)程。VMD從本質(zhì)上來(lái)講相當(dāng)于一個(gè)濾波器組[8]。

式中，｛uk｝=｛u1,u2,…,uk｝與｛ωk｝=｛ω1,ω2,…,ωk｝分別為第k個(gè)模態(tài)分量及其相應(yīng)中心頻率，共K個(gè)模態(tài)，δ(t)為單位脈沖函數(shù)，j表示虛數(shù)單位，*表示卷積運(yùn)算，?(t)為偏導(dǎo)運(yùn)算，f為目標(biāo)信號(hào)[9]。

1.4 Laplace小波

Laplace小波是由英國(guó)學(xué)者G.Strang構(gòu)造的單邊衰減函數(shù)，定義為：

式中，ψr(t)是小波字典ψ之一，Kr是一個(gè)矩陣，其維數(shù)由｛ω,ζ,τ｝的參數(shù)向量決定，Kτ為該過(guò)程中產(chǎn)生的峰值，定義和為與峰值相關(guān)的Laplace參數(shù)。是給定τ值時(shí)的局部峰值[10]。

2 構(gòu)造三階模態(tài)參數(shù)

在理想情況下構(gòu)造三階密集模態(tài)仿真信號(hào)，并加入了信噪比為15的高斯白噪聲。所構(gòu)造的仿真信號(hào)由f(i=1,2,3)分別為100 Hz、120 Hz、140 Hz三個(gè)頻率和ζ(i=1,2,3)分別為0.007、0.006、0.008三個(gè)單階信號(hào)構(gòu)造而成。采樣頻率為1 000 Hz，獲得0～7 s之間的時(shí)域信號(hào)。添加噪聲的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)和頻譜圖如圖1所示。

圖1 添加噪聲的振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)和頻譜圖

根據(jù)FM-VMD理論，首先對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行調(diào)頻，將密集模態(tài)從高頻域轉(zhuǎn)化到低頻域，以便于單階模態(tài)的分解，如圖2所示。

圖2 調(diào)頻信號(hào)的時(shí)域圖和頻域圖

3 參數(shù)提取

利用FM-VMD將含有密集模態(tài)的調(diào)頻信號(hào)分解為三個(gè)單階模態(tài)，最后對(duì)三個(gè)分離的單階模態(tài)分別進(jìn)行調(diào)頻的反變換，然后通過(guò)Laplace小波相關(guān)濾波得到單階模態(tài)信號(hào)的實(shí)際模態(tài)參數(shù)。IMFs的時(shí)域圖和頻譜圖如圖3所示。

圖3 IMFs的時(shí)域圖和頻譜圖

由圖3可知，提出的FM-VMD分離出包含有密集模態(tài)的三階模態(tài)。由于FM-VMD首先從三階模態(tài)中分離出低頻分量，因此三階模態(tài)中頻率最低的IMF1對(duì)應(yīng)于第一階模態(tài)。IMF2和IMF3分別對(duì)應(yīng)是第二階模態(tài)和第三階模態(tài)?？紤]到Laplace小波與各階模態(tài)的形態(tài)相似性，采用Laplace小波相關(guān)濾波方法提取各階模態(tài)的固有頻率和阻尼比。通過(guò)Laplace小波相關(guān)濾波分析的每個(gè)模態(tài)的結(jié)果如圖4所示。

用Laplace小波相關(guān)濾波方法提取的所有信息如表1所示。

表1 噪聲條件下相關(guān)濾波的結(jié)果

由表1可知，通過(guò)FM-VMD處理，可在有噪聲環(huán)境下有效分離三階模態(tài)，之后通過(guò)Laplace小波相關(guān)濾波可得到各階模態(tài)參數(shù)，提取出各階模態(tài)的固有頻率和阻尼比。

圖4 提取的單模態(tài)和模態(tài)參數(shù)

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要研究了FM-VMD與Laplace小波在密集模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的應(yīng)用，并且闡述了實(shí)際求解過(guò)程，并將其運(yùn)用到測(cè)得的振動(dòng)信號(hào)的分析中來(lái)驗(yàn)證這兩種方法在密集模態(tài)參數(shù)識(shí)別中的可行性。