高 躍， 房立金， 許繼謙， 鞏云鵬

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819; 2. 東北大學(xué) 機(jī)器人科學(xué)與工程學(xué)院， 遼寧 沈陽 110169)

傳統(tǒng)的工業(yè)機(jī)械臂通常最多具有6自由度，6個(gè)自由度是具有完成空間定位能力的最小自由度數(shù)，因其機(jī)構(gòu)屬性，當(dāng)其末端位姿軌跡規(guī)定之后，不可避免地存在一些問題，比如無法避障、運(yùn)動(dòng)靈活性差、不能克服關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)極限、動(dòng)力學(xué)性能偏弱等天然弱點(diǎn).而增加自由度便可改善機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)特性，7自由度是機(jī)械臂對(duì)人類手臂最真實(shí)的還原，它能夠在不改變末端位姿狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)有效避障.另外，冗余的自由度還具有容錯(cuò)性，這對(duì)于很多特殊環(huán)境的應(yīng)用場(chǎng)合有著極其重要的實(shí)用價(jià)值[1].

隨著工業(yè)機(jī)械臂的應(yīng)用拓展與深入，在鉆鉚、銑削、打磨、鋪絲、裝配等高精度作業(yè)領(lǐng)域中對(duì)機(jī)器人提出了更高精度技術(shù)要求.目前對(duì)于提高機(jī)械臂定位精度方法的研究主要是通過標(biāo)定技術(shù)對(duì)參數(shù)修正補(bǔ)償，對(duì)于如何從設(shè)計(jì)階段即從誤差源頭消除誤差來提高機(jī)器人精度的研究還比較少.文獻(xiàn)[2-3]通過正運(yùn)動(dòng)學(xué)建立了機(jī)械臂幾何位置誤差數(shù)學(xué)模型，Shiakolas 等[4]通過對(duì)機(jī)械臂的定位精度分析得出機(jī)器人構(gòu)件結(jié)構(gòu)參數(shù)的幾何誤差是引起機(jī)器人絕對(duì)定位誤差的主要影響因素，Chen 等[5]對(duì)五軸機(jī)床的誤差進(jìn)行了敏感性分析，文獻(xiàn)[6-9]對(duì)并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行了幾何誤差建模及靈敏度分析，找出了對(duì)并聯(lián)機(jī)器人精度影響的主要因素.本文在建立7-DOF機(jī)械臂幾何位置誤差模型的基礎(chǔ)上，基于原始誤差獨(dú)立作用原理對(duì)參數(shù)誤差進(jìn)行合成.為了找到各參數(shù)對(duì)機(jī)械臂幾何位置誤差的影響程度，進(jìn)行了敏感性分析.通過對(duì)機(jī)械臂末端執(zhí)行器的幾何位置誤差分析，得到了其在工作空間內(nèi)服從瑞利分布的結(jié)論，為機(jī)械臂的精度設(shè)計(jì)與應(yīng)用提供理論依據(jù).

1 機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

由文獻(xiàn)[10-12]可知，雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)的機(jī)械臂關(guān)節(jié)具有回差小、傳動(dòng)精度高、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn).本文設(shè)計(jì)制造了一種閉環(huán)伺服控制的雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，驅(qū)動(dòng)原理及樣機(jī)如圖1所示.利用雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)漸開線齒輪機(jī)構(gòu)替代高精度旋轉(zhuǎn)矢量(rotate vector, RV)減速器或者諧波減速器來實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)傳動(dòng)系統(tǒng)的高精度傳動(dòng)，具有啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩小、附加轉(zhuǎn)矩小、壽命長(zhǎng)、噪音小、成本低等優(yōu)點(diǎn).

圖1 雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)的原理圖及樣機(jī)

雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)控制具有消除間隙和共同負(fù)載驅(qū)動(dòng)兩種模式.雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)消除間隙的實(shí)質(zhì)是傳動(dòng)系統(tǒng)的阻抗控制，即在輸出軸上預(yù)加定值反向力矩，使輪系保持單面嚙合，通過將兩臺(tái)驅(qū)動(dòng)電機(jī)按照對(duì)稱結(jié)構(gòu)帶動(dòng)兩個(gè)主動(dòng)輪共同驅(qū)動(dòng)從動(dòng)輪，在伺服系統(tǒng)起動(dòng)或換向過程中，對(duì)兩臺(tái)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩進(jìn)行聯(lián)動(dòng)控制，使得至少有一個(gè)驅(qū)動(dòng)輪與從動(dòng)輪相嚙合，保證系統(tǒng)無間隙傳動(dòng).雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)通過編碼器實(shí)現(xiàn)閉環(huán)控制確保輸出軸的準(zhǔn)確度.

基于雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，設(shè)計(jì)制造了一款結(jié)構(gòu)緊湊、質(zhì)量輕的7自由度機(jī)械臂樣機(jī)，其系統(tǒng)坐標(biāo)圖及其樣機(jī)如圖2所示.由于雙電機(jī)驅(qū)動(dòng)的關(guān)節(jié)質(zhì)量以及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，該機(jī)械臂的腰關(guān)節(jié)、肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)擬采用雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，其他關(guān)節(jié)擬采用質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)緊湊等帶有諧波減速器的關(guān)節(jié)，以提高靈活性.

圖2 7-DOF機(jī)械臂的系統(tǒng)坐標(biāo)圖及其樣機(jī)

機(jī)械臂的每個(gè)連桿可以用連桿長(zhǎng)度ai、連桿轉(zhuǎn)角αi、連桿偏移量di和關(guān)節(jié)角度θi來描述，稱為D-H參數(shù)[13].由文獻(xiàn)[2]所述，ai為沿著Xi軸，從Zi-1移動(dòng)到Zi的距離；αi為繞著Xi軸，從Zi-1旋轉(zhuǎn)到Zi的角度；di為沿著Zi-1軸，從Xi-1移動(dòng)到Xi的距離；θi為繞著Zi-1軸，從Xi-1旋轉(zhuǎn)到Xi的角度.對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，θi為關(guān)節(jié)變量，其他三個(gè)連桿參數(shù)是固定不變的，本文所述機(jī)械臂的D-H參數(shù)見表1.

表1 機(jī)械臂的D-H參數(shù)

2 誤差模型及誤差合成

2.1 幾何位置誤差的數(shù)學(xué)模型

如果定義了連桿坐標(biāo)系和相應(yīng)的連桿參數(shù)，則每個(gè)關(guān)節(jié)的齊次變換矩陣可以描述為

(1)

式中：Transz(di)，Transx(ai)分別為沿Z軸平移di，沿X軸平移ai；Rotz(θi)，Rotx(αi)分別為沿Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度θi，沿X軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度αi.當(dāng)?shù)趇關(guān)節(jié)是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，

(2)

向量n,o,a相互重直，分別表示機(jī)械臂末端坐標(biāo)系相對(duì)基坐標(biāo)系的法線、指向和接近向量；向量P表示末端坐標(biāo)系原點(diǎn)相對(duì)于基坐標(biāo)系的位置.

由于機(jī)械臂零件的加工制造等原因，D-H參數(shù)的實(shí)際值與名義值都會(huì)有一定偏差，根據(jù)機(jī)械臂的正運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，機(jī)械臂幾何位置誤差可以表示為

(3)

其中Pnominal，Pactual分別對(duì)應(yīng)矩陣Tnominal，Tactual前三行的最后一列.

根據(jù)原始誤差獨(dú)立作用原理，即原始誤差疊加原理，機(jī)械臂幾何位置誤差可以表示為幾何位置表達(dá)式對(duì)各原始誤差的偏導(dǎo)數(shù)和，忽略高階誤差的影響，式(3)可以表示為

(4)

令X=[a;d;α;θ]，其中Δa，Δd，Δα和Δθ分別表示連桿長(zhǎng)度、偏移量、轉(zhuǎn)角和關(guān)節(jié)角的線性微分誤差，則ΔX=[Δa; Δd; Δα; Δθ].式(4)可以表示為

(5)

(6)

機(jī)械臂末端執(zhí)行器幾何位置誤差的矢量可以表示為

ΔP=JΔX.

(7)

機(jī)械臂末端執(zhí)行器幾何位置的綜合誤差為

(8)

2.2 誤差合成

在機(jī)械臂的設(shè)計(jì)階段，需對(duì)它進(jìn)行誤差分析來估計(jì)總精度是否滿足設(shè)計(jì)要求[14]，誤差合成是誤差分析的重要部分.D-H參數(shù)的幾何誤差屬于隨機(jī)誤差，假設(shè)N個(gè)隨機(jī)誤差變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它們的數(shù)學(xué)期望為零，標(biāo)準(zhǔn)差分別為σ1，σ2，…，σn.根據(jù)方差的運(yùn)算規(guī)則，機(jī)械臂末端執(zhí)行器幾何位置誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(9)

機(jī)械臂末端執(zhí)行器幾何位置誤差的極限值：

(10)

當(dāng)參數(shù)誤差相互獨(dú)立或弱相關(guān)時(shí)，各參數(shù)幾何誤差引起機(jī)械臂幾何誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(11)

機(jī)器臂末端執(zhí)行器幾何位置誤差的極限值為

(12)

3 敏感性分析

誤差敏感性反映的是各個(gè)參數(shù)有微小誤差時(shí)，機(jī)械臂末端幾何位置誤差變化的程度.機(jī)械臂的幾何位置誤差受到D-H參數(shù)誤差耦合而成的空間誤差的影響，在不同位姿狀態(tài)下，每項(xiàng)誤差對(duì)幾何位置誤差的影響程度大小也不一樣.對(duì)幾何位置誤差影響程度較大的參數(shù)，在設(shè)計(jì)階段應(yīng)嚴(yán)格控制其公差范圍，不宜對(duì)其進(jìn)行大幅度的調(diào)節(jié).找出對(duì)機(jī)械臂幾何位置誤差影響程度較大的參數(shù)誤差，需對(duì)機(jī)械臂末端幾何誤差模型的參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，為合理地分配輸入?yún)?shù)誤差的公差提供理論依據(jù).

由于參數(shù)誤差ΔX中所有元素在統(tǒng)計(jì)意義下獨(dú)立且均值為零，顯然機(jī)械臂幾何位置誤差的方向分量ΔPk的期望值為E(ΔPk)=0，k=x,y,z.則ΔPk的方差為

(13)

根據(jù)式(7)，式(13)可以寫成

(14)

(15)

顯然ΔPk的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(16)

(17)

同理，機(jī)械臂幾何位置誤差的綜合誤差ΔP的期望值E(ΔP)=0，其方差為

D(ΔP)=E(ΔXTJTJΔX) .

(18)

(19)

ΔP的標(biāo)準(zhǔn)偏差為

(20)

(21)

由于機(jī)械臂的工作空間體積復(fù)雜難以計(jì)算，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)大數(shù)定律，采用蒙特卡洛仿真計(jì)算的方法來估計(jì)靈敏度評(píng)價(jià)指標(biāo).根據(jù)式(17)和式(21)，在機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間內(nèi)隨機(jī)選取足夠多的關(guān)節(jié)角(1000組)服從均勻分布，分別計(jì)算D-H參數(shù)誤差ΔX=[Δa; Δd; Δα; Δθ]對(duì)機(jī)械臂末端執(zhí)行器幾何位置誤差及其方向分量的敏感系數(shù)，其均值(Mean)、最大值(Max)、最小值(Min)和標(biāo)準(zhǔn)差(STD)如圖3所示.

圖3 不同方向靈敏度系數(shù)

由幾何位置誤差各方向分量的靈敏度評(píng)價(jià)指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果可知，各參數(shù)誤差對(duì)機(jī)械臂末端執(zhí)行器x，y方向的幾何位置誤差的影響程度類似，4個(gè)關(guān)節(jié)的連桿偏角誤差和關(guān)節(jié)角誤差對(duì)末端執(zhí)行器位置誤差影響程度相對(duì)較大，Δd1，Δα7和Δθ7對(duì)x，y方向幾何位置誤差沒有影響；Δa1，Δd2，Δα7和Δθ1對(duì)z方向幾何位置誤差沒有影響，Δd1對(duì)z方向幾何位置誤差的影響按同比傳遞到末端.

根據(jù)圖4幾何位置誤差靈敏度評(píng)價(jià)指標(biāo)的計(jì)算結(jié)果，可知關(guān)節(jié)連桿偏角誤差Δα7和關(guān)節(jié)角誤差Δθ7對(duì)機(jī)械臂腕關(guān)節(jié)的幾何位置誤差沒有影響；每個(gè)關(guān)節(jié)的連桿長(zhǎng)度和偏距誤差對(duì)機(jī)械臂幾何位置誤差大小的影響程度相對(duì)較小，按原始誤差的大小同比傳到末端；第i個(gè)關(guān)節(jié)的連桿偏角誤差和關(guān)節(jié)角誤差對(duì)幾何位置誤差影響程度大小幾乎相同，影響程度由大到小依次為Δα2和Δθ2，Δα1和Δθ1，Δα4和Δθ4，Δα3和Δθ3，Δα5和Δθ5，Δα6和Δθ6，其中前4個(gè)關(guān)節(jié)的連桿偏角誤差和關(guān)節(jié)角誤差對(duì)末端執(zhí)行器位置誤差影響程度相對(duì)較大，在參數(shù)公差分配中應(yīng)該嚴(yán)格控制其公差范圍.

圖4 幾何位置誤差的靈敏度系數(shù)

由各個(gè)參數(shù)誤差敏感性系數(shù)的最大、最小值以及標(biāo)準(zhǔn)偏差可知，機(jī)械臂在不同位姿狀態(tài)下，每個(gè)參數(shù)誤差對(duì)幾何位置誤差的影響程度是不同的.其中Δα2和Δθ2，Δα1和Δθ1，Δα4和Δθ4，Δα3和Δθ3的敏感性系數(shù)變化范圍相對(duì)較大，并且最大值遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他參數(shù)的最大值.在參數(shù)的公差分配時(shí)，應(yīng)該格外考慮在它們的敏感性系數(shù)取最大值時(shí)所對(duì)應(yīng)的機(jī)械臂位姿狀態(tài)下的幾何位置誤差不超過精度的設(shè)計(jì)要求.

4 誤差分析

在機(jī)械臂的設(shè)計(jì)階段，需要根據(jù)機(jī)械臂的精度設(shè)計(jì)要求，合理地分配各參數(shù)的公差，確保機(jī)械臂末端執(zhí)行器在工作空間中的最大幾何位置誤差滿足設(shè)計(jì)要求.為此，找到參數(shù)誤差與幾何位置誤差最佳映射關(guān)系的位姿以及確定幾何位置誤差的分布情況，為機(jī)械臂精度設(shè)計(jì)提供重要的參考.

4.1 幾何位置誤差的分布

假設(shè)7-DOF機(jī)械臂的D-H參數(shù)的誤差取值如表2所示，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)隨機(jī)選取足夠多的關(guān)節(jié)角服從均勻分布，利用蒙特卡洛數(shù)值計(jì)算的方法計(jì)算機(jī)械臂末端執(zhí)行器的幾何位置誤差.

表2 D-H參數(shù)的幾何誤差

隨機(jī)選取1000個(gè)位姿分別計(jì)算機(jī)械臂末端執(zhí)行器的幾何位置誤差，幾何位置誤差及其各方向分量的平均值、最大值、均方差(RMSE)見表3，誤差的頻率分布如圖5所示.由計(jì)算結(jié)果可知，在機(jī)械臂工作空間內(nèi)，末端執(zhí)行器的幾何位置誤差隨著位姿狀態(tài)不同而不同，并且?guī)缀挝恢谜`差在多個(gè)位姿狀態(tài)下接近或者達(dá)到最大值.對(duì)機(jī)械臂末端執(zhí)行器的綜合幾何位置誤差進(jìn)行正態(tài)分布和瑞利分布函數(shù)擬合，由擬合曲線可知瑞利分布更為顯著，幾何位置誤差在x，y，z各方向的分量服從正態(tài)分布.

表3 機(jī)械臂末端執(zhí)行器幾何位置誤差分布的數(shù)字特征值

圖5 末端執(zhí)行器幾何位置誤差的頻率分布

4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文用LTD 500激光跟蹤測(cè)量系統(tǒng)對(duì)機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位置誤差進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量系統(tǒng)與機(jī)械臂的相對(duì)位姿如圖6所示.

圖6 機(jī)械臂與LTD 500測(cè)量系統(tǒng)的相對(duì)位姿

4.2.1 重復(fù)定位精度

GB/T 12642—2013 工業(yè)機(jī)器人性能規(guī)范及其實(shí)驗(yàn)方法中規(guī)定，機(jī)械臂重復(fù)定位精度為

(22)

式中：

在機(jī)械臂的靈活工作空間內(nèi)選取一個(gè)平面內(nèi)的5個(gè)點(diǎn)測(cè)量其位置坐標(biāo)，重復(fù)測(cè)量30次.根據(jù)式(22)求解各點(diǎn)的重復(fù)定位精度，見表4.該機(jī)械臂在測(cè)量點(diǎn)P3的重復(fù)定位誤差最大，不超過0.059 1 mm，證明了雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)具有回差小、傳動(dòng)精度高的特點(diǎn).

表4 不同測(cè)量點(diǎn)的機(jī)械臂重復(fù)定位精度

4.2.2 絕對(duì)定位精度

在機(jī)械臂工作空間內(nèi)隨機(jī)測(cè)量了165個(gè)位姿狀態(tài)下的末端執(zhí)行器的位置誤差，誤差的平均值|ΔP|mean=5.805 5 mm，最大值|ΔP|max=17.180 6 mm，均方差|ΔP|RMSE=3.603 0 mm，其頻率分布如圖7所示.對(duì)實(shí)驗(yàn)測(cè)量的機(jī)械臂末端誤差進(jìn)行正態(tài)分布和瑞利分布擬合，由擬合曲線可知機(jī)械臂末端執(zhí)行器的位置誤差服從瑞利分布更為顯著，與仿真計(jì)算所得的結(jié)果相符，驗(yàn)證了機(jī)械臂幾何位置誤差模型以及參數(shù)誤差分布假設(shè)的準(zhǔn)確性.

圖7 末端執(zhí)行器幾何位置誤差的頻率分布

5 結(jié) 論

1) 本文基于雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)制造了一款7-DOF機(jī)械臂.通過對(duì)該型機(jī)械臂參數(shù)誤差的敏感性分析，可知前4個(gè)連桿偏角誤差和關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角誤差對(duì)機(jī)械臂末端執(zhí)行器的幾何位置誤差影響較大，在參數(shù)公差分配中應(yīng)該嚴(yán)格控制其公差范圍.

2) 利用蒙特卡洛的方法對(duì)機(jī)械臂末端執(zhí)行器的幾何位置誤差計(jì)算分析，通過擬合曲線分析可知其在工作空間內(nèi)服從瑞利分布.

3) 經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測(cè)量，機(jī)械臂的重復(fù)定位誤差不超過0.059 1 mm，并且絕對(duì)定位誤差服從瑞利分布是顯著性的.證明了雙電機(jī)伺服驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)具有回差小、傳動(dòng)精度高的特點(diǎn)和誤差分析的正確性，為機(jī)械臂的精度設(shè)計(jì)提供理論依據(jù).

4) 在機(jī)械臂的精度設(shè)計(jì)中如何分配參數(shù)的公差以及通過標(biāo)定技術(shù)提高機(jī)械臂的定位精度是在未來的工作中需要進(jìn)一步探討的問題.