胡心磊，史 峰，秦 進(jìn)

(中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075)

中國(guó)已經(jīng)擁有世界上最大的高速鐵路(以下簡(jiǎn)稱“高鐵”)網(wǎng)絡(luò)，但整體運(yùn)營(yíng)效益水平仍存在較大提升空間。客票定價(jià)和票額分配決策都是影響高鐵運(yùn)輸企業(yè)收益的重要因素，兩者相互制約又相互影響，密不可分。既有研究更多地集中于單一的客票定價(jià)問(wèn)題或票額分配問(wèn)題，兩者綜合優(yōu)化的研究相對(duì)較少，尤其因?yàn)閱?wèn)題的高度復(fù)雜性，高鐵網(wǎng)絡(luò)的客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化研究更為少見(jiàn)。

Hetrakul等[1]利用潛類別模型描述旅客的選擇行為，首次提出鐵路票價(jià)和票額分配問(wèn)題的綜合優(yōu)化模型并設(shè)計(jì)相應(yīng)的求解算法，該研究未考慮多列車服務(wù)同一OD對(duì)的情形。Lin[2]針對(duì)高鐵票價(jià)和票額分配的綜合優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)建雙層規(guī)劃模型，但未給出求解算法和算例分析。在僅考慮單列車運(yùn)行的前提下，宋文波等[3]提出隨機(jī)需求下的高鐵動(dòng)態(tài)定價(jià)與票額分配綜合優(yōu)化模型。對(duì)于多列車服務(wù)同一OD對(duì)的情形，趙翔等[4]、秦進(jìn)等[5]和鄧連波等[6]提出考慮旅客選擇行為的高鐵動(dòng)態(tài)定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化方法，其差異主要體現(xiàn)在旅客出行需求的描述方式、票價(jià)的約束條件和票額分配決策變量的形式等方面。趙翔等[7]還將多種交通方式競(jìng)爭(zhēng)的情形融入高鐵客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化的研究中。既有鐵路客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化研究大多數(shù)僅能解決單列車或者幾列車的問(wèn)題，無(wú)法解決大規(guī)模問(wèn)題，與實(shí)際應(yīng)用存在一定差距。

融合差異化定價(jià)策略和多階段定價(jià)策略，Hu等[8]構(gòu)建面向高鐵網(wǎng)絡(luò)的客票定價(jià)和席位綜合優(yōu)化模型，設(shè)計(jì)適應(yīng)大規(guī)模問(wèn)題的求解算法。由于列車開(kāi)行數(shù)量多且單列車服務(wù)的OD對(duì)數(shù)量大，文獻(xiàn)[8]提出的方法仍存在求解時(shí)間較長(zhǎng)的缺陷。本文在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上進(jìn)行以下幾方面拓展：①提出分類定價(jià)策略，對(duì)服務(wù)相同OD對(duì)的同類列車設(shè)置相同票價(jià)以降低變量規(guī)模；②基于歷史購(gòu)票曲線，考慮各列車旅行時(shí)間，設(shè)計(jì)服務(wù)同一OD對(duì)列車的聚類算法；③按列定價(jià)拓展為按類定價(jià)，構(gòu)建高鐵客票分類定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化模型并設(shè)計(jì)求解算法。將分類定價(jià)策略引入高鐵客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化方法，不僅可以彌補(bǔ)現(xiàn)有方法不適用于網(wǎng)絡(luò)級(jí)問(wèn)題的不足，還能為我國(guó)高鐵網(wǎng)絡(luò)市場(chǎng)化運(yùn)營(yíng)提供決策依據(jù)。

1 問(wèn)題描述

1.1 高鐵客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化問(wèn)題

高鐵客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化問(wèn)題可以描述為：對(duì)于給定的高鐵網(wǎng)絡(luò)，已知高鐵列車運(yùn)行圖和旅客出行需求函數(shù)，在科學(xué)合理劃分預(yù)售期的基礎(chǔ)上，考慮列車定員、票價(jià)上限和下限的嚴(yán)格約束，求解服務(wù)各OD對(duì)的各列車在不同預(yù)售階段的最優(yōu)票價(jià)和相應(yīng)的最優(yōu)票額分配數(shù)量。問(wèn)題的基本假設(shè)如下：

①僅考慮單一的列車席別。

②高鐵旅客在預(yù)售期內(nèi)的不同階段對(duì)票價(jià)的敏感程度不同。

③考慮旅客在預(yù)售期的不同階段對(duì)票價(jià)敏感程度的差異性，將預(yù)售期按照不同的OD對(duì)劃分為數(shù)量不同且長(zhǎng)短不一的預(yù)售階段。

既有文獻(xiàn)劃分預(yù)售期時(shí)，一般考慮時(shí)間和售票量?jī)蓚€(gè)維度。常見(jiàn)的劃分方式主要有兩種[9-10]：①將預(yù)售期劃分為等時(shí)間長(zhǎng)度的若干階段；②將預(yù)售期劃分為時(shí)間長(zhǎng)度不同的若干個(gè)階段，但每個(gè)階段的售票量相等。在實(shí)際售票過(guò)程中，等時(shí)間長(zhǎng)度的劃分方式方便操作，每隔一段時(shí)間對(duì)票價(jià)和票額分配數(shù)量做相應(yīng)調(diào)整即可，但存在的缺陷是，一旦實(shí)際購(gòu)票量與估計(jì)值產(chǎn)生較大偏差時(shí)，無(wú)法對(duì)價(jià)格和席位進(jìn)行準(zhǔn)確控制。等售票量劃分是一種相對(duì)理想的劃分方式，每個(gè)階段的售票量固定，便于構(gòu)造需求函數(shù)。理論上可以精確控制各預(yù)售階段的票價(jià)和票額分配數(shù)量，但在實(shí)際售票過(guò)程中存在一定操作困難。

不同預(yù)售階段旅客對(duì)票價(jià)的敏感程度存在差異，采用價(jià)格彈性可以描述不同預(yù)售階段的旅客對(duì)票價(jià)敏感程度的差異性。一般而言，高鐵旅客出行需求的價(jià)格彈性隨著預(yù)售期的推移而減小，即在預(yù)售期內(nèi)，越臨近發(fā)車日，旅客對(duì)票價(jià)越不敏感。

1.2 列車聚類和分類定價(jià)策略

法國(guó)國(guó)營(yíng)鐵路公司和英國(guó)國(guó)家鐵路公司等在進(jìn)行高鐵票價(jià)差異化定價(jià)決策時(shí)，對(duì)于服務(wù)相同OD對(duì)的列車，并未采用“一車一價(jià)”的定價(jià)策略，而是對(duì)具有類似屬性的列車設(shè)置相同的價(jià)格，即 “一類一價(jià)”。本文將服務(wù)相同OD對(duì)的列車按類別定價(jià)的方法定義為分類定價(jià)策略。列車分類定價(jià)策略不僅具有廣泛的運(yùn)營(yíng)實(shí)踐基礎(chǔ)，還可以減少優(yōu)化問(wèn)題中票價(jià)決策變量數(shù)量，從而有效降低計(jì)算規(guī)模。列車聚類問(wèn)題，即如何將服務(wù)相同OD對(duì)的列車科學(xué)合理地劃分為若干類，使得分類方案適用于高鐵客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化問(wèn)題，是實(shí)現(xiàn)分類定價(jià)策略的基礎(chǔ)。

引入分類定價(jià)策略，則高鐵客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化問(wèn)題可以拓展為高鐵客票分類定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化問(wèn)題，具體表述為：對(duì)于給定的高鐵網(wǎng)絡(luò)，已知高鐵列車運(yùn)行圖和旅客出行需求函數(shù)，在科學(xué)分類列車和合理劃分預(yù)售期的基礎(chǔ)上，考慮列車定員、票價(jià)上限和下限的嚴(yán)格約束，在分類定價(jià)策略下，求解服務(wù)各OD對(duì)的各類高鐵列車在不同預(yù)售階段的最優(yōu)票價(jià)和相應(yīng)的最優(yōu)票額分配數(shù)量。

2 基于購(gòu)票曲線的列車聚類方法

引入分類定價(jià)策略，則高鐵客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化問(wèn)題可以拓展為高鐵客票分類定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化問(wèn)題，具體表述為：對(duì)于給定的高鐵網(wǎng)絡(luò)，已知高鐵列車運(yùn)行圖和旅客出行需求函數(shù)，在科學(xué)分類列車和合理劃分預(yù)售期的基礎(chǔ)上，考慮列車定員、票價(jià)上限和下限的嚴(yán)格約束，在分類定價(jià)策略下，求解服務(wù)各OD對(duì)的各類高鐵列車在不同預(yù)售階段的最優(yōu)票價(jià)和相應(yīng)的最優(yōu)票額分配數(shù)量。

對(duì)服務(wù)同一OD對(duì)的列車進(jìn)行聚類，獲得服務(wù)該OD對(duì)列車的分類方案，是高鐵客票分類定價(jià)的基礎(chǔ)。本節(jié)綜合考慮購(gòu)票曲線和列車運(yùn)行時(shí)間，在定義列車與列車之間的“距離”的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)服務(wù)同一OD對(duì)列車的聚類方法。

i,j為高鐵車站，Hij為服務(wù)OD對(duì)(i,j)的列車集合，對(duì)于列車h∈Hij，存在一條表示提前購(gòu)票時(shí)間與累計(jì)售票量關(guān)系的曲線，記錄在預(yù)售期內(nèi)列車服務(wù)OD對(duì)(i,j)的逐日累計(jì)售票量，該曲線為購(gòu)票曲線或預(yù)訂曲線。預(yù)訂曲線在民航運(yùn)輸領(lǐng)域被用于分析和預(yù)測(cè)旅客提前預(yù)訂行為。對(duì)于服務(wù)相同OD對(duì)的高鐵列車，購(gòu)票曲線相似的列車具有相似服務(wù)特征且對(duì)旅客的吸引力相近。

購(gòu)票曲線見(jiàn)圖1，橫坐標(biāo)為距列車發(fā)車日的時(shí)間，T為預(yù)售期天數(shù)，購(gòu)票曲線共包含T+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，橫坐標(biāo)0為列車發(fā)車當(dāng)日，T為預(yù)售期的第一天。購(gòu)票曲線的縱坐標(biāo)為截至相應(yīng)預(yù)售日，列車h∈Hij在OD對(duì)(i,j)的累計(jì)售票量。需要說(shuō)明的是，當(dāng)一列車服務(wù)多個(gè)OD對(duì)時(shí)，不同OD對(duì)對(duì)應(yīng)不同的購(gòu)票曲線。

圖1 購(gòu)票曲線示意圖

歐式距離的平方是評(píng)估兩條購(gòu)票曲線相似度最為傳統(tǒng)且直觀的方法[11]?？紤]到在購(gòu)票曲線中，越臨近列車發(fā)車日的節(jié)點(diǎn)越接近最終的總售票量。高鐵列車a、b購(gòu)票曲線的相似度指標(biāo)s(a,b)為

(1)

綜合考慮購(gòu)票曲線相似性和列車旅行時(shí)間，列車間的距離d(a,b)為

(2)

基于列車與列車之間“距離”的定義，利用全局k-means算法框架，設(shè)計(jì)基于購(gòu)票曲線的高鐵列車聚類算法，具體步驟如下：

Step1輸入待聚類的列車h∈Hij，利用輪廓系數(shù)法確定最優(yōu)聚類數(shù)m。

3 分類定價(jià)策略在票價(jià)票額綜合優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用

利用第2節(jié)提出的列車聚類方法，將高鐵網(wǎng)絡(luò)中服務(wù)每個(gè)OD對(duì)的列車相應(yīng)劃分為若干類，引入分類定價(jià)策略，對(duì)服務(wù)同一OD對(duì)的同類列車設(shè)置相同票價(jià)并優(yōu)化票額分配。本節(jié)以文獻(xiàn)[8]提出的模型和算法為基礎(chǔ)，應(yīng)用列車聚類方法，構(gòu)建高鐵網(wǎng)絡(luò)客票分類定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化模型并進(jìn)行算法優(yōu)化。與文獻(xiàn)[8]所提出的方法相比，應(yīng)用列車聚類方法將列車票價(jià)變量合并，可以有效降低定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化問(wèn)題中票價(jià)變量的規(guī)模，減少計(jì)算時(shí)間。

3.1 符號(hào)定義

符號(hào)及定義見(jiàn)表1。

表1 符號(hào)及定義

3.2 模型構(gòu)建

OD對(duì)(i,j)之間的高鐵旅客出行需求，可以描述為關(guān)于列車服務(wù)票價(jià)的函數(shù)[15]。根據(jù)各類列車的票價(jià)，可替代列車服務(wù)集{i,j,h|h∈Hij}在第kij個(gè)預(yù)售階段的加權(quán)平均票價(jià)為

(3)

在平均票價(jià)定義的基礎(chǔ)上，構(gòu)造第kij個(gè)預(yù)售階段的高鐵旅客彈性需求函數(shù)為

kij=1,2,…,Kij(i,j)∈W

(4)

考慮票價(jià)和旅行時(shí)間對(duì)旅客購(gòu)票選擇行為的影響，利用多項(xiàng)式Logit模型，計(jì)算第kij個(gè)預(yù)售階段選擇高鐵列車服務(wù)i,j,h′的旅客人數(shù)為

kij=1,2,…,Kijh′∈Hij(i,j)∈W

(5)

基于上述高鐵旅客出行需求和購(gòu)票選擇行為的定量描述，構(gòu)建高鐵客票分類定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化模型為

(6)

s.t.式(3)～式(5)

luh=1,2,…,nh-1h∈H

(7)

kij=1,2,…,Ki(h,u),j(h,v)1≤u

(8)

式中：P為模型的決策變量集合，P={pArkij|pArkij∈R+,kij=1,2,…,Kij,Ar∈Hij,(i,j)∈W}。

目標(biāo)函數(shù)式(6)表示最大化總客票收入；式(7)是列車各個(gè)運(yùn)行區(qū)間的能力約束；式(8)是票價(jià)的下限約束。與文獻(xiàn)[8]構(gòu)建的高鐵客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化模型(以下簡(jiǎn)稱模型M1)相比，本文在列車聚類基礎(chǔ)上提出的高鐵客票分類定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化模型(以下簡(jiǎn)稱模型M2)的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在以下幾方面：①模型M2決策變量從各列列車的票價(jià)phkij改進(jìn)為各類列車票價(jià)pArkij，決策變量規(guī)模明顯降低；②保持了對(duì)列車在服務(wù)不同OD對(duì)時(shí)精確的席位控制，實(shí)現(xiàn)票價(jià)和票額分配的綜合優(yōu)化；③方便日常運(yùn)營(yíng)組織過(guò)程中票價(jià)的存儲(chǔ)與管理。

3.3 算法設(shè)計(jì)

本文沿用文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)的求解算法框架，根據(jù)分類定價(jià)策略的特征調(diào)整算法，同時(shí)引入遞歸運(yùn)算進(jìn)一步提高算法的求解效率。求解算法主要步驟如下：

Step2引入松弛變量，將式(7)以懲罰函數(shù)的形式轉(zhuǎn)化到目標(biāo)函數(shù)中，則原模型重構(gòu)為無(wú)約束非線性規(guī)劃問(wèn)題。

Step3在Davidon-Fletcher-Powell算法基礎(chǔ)上，優(yōu)化迭代步長(zhǎng)的計(jì)算，引入遞歸運(yùn)算，求解最優(yōu)票價(jià)和票額分配數(shù)量。

求解算法的具體步驟參見(jiàn)文獻(xiàn)[8]，需要說(shuō)明的是本文引入遞歸運(yùn)算是為了減少目標(biāo)函數(shù)的梯度的計(jì)算量。

4 算例分析

首先以服務(wù)單個(gè)OD對(duì)的列車為研究對(duì)象進(jìn)行列車聚類，對(duì)基于購(gòu)票曲線的高鐵列車聚類方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證，探究相關(guān)參數(shù)取值對(duì)聚類結(jié)果的影響。在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造4列車服務(wù)3個(gè)OD對(duì)的小算例分析，高鐵客票分類定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化模型參數(shù)靈敏度，并與既有方法進(jìn)行對(duì)比分析。最后通過(guò)大規(guī)模算例驗(yàn)證本文所提出的分類定價(jià)策略在提高票價(jià)票額綜合優(yōu)化問(wèn)題求解能力方面的作用和意義。

4.1 列車聚類算例分析

以京滬高鐵北京南—上海虹橋的36列車為研究對(duì)象。列車車次及其旅行時(shí)間見(jiàn)表2，由于停站方案的差異，列車旅行時(shí)間最短為288 min，最長(zhǎng)為369 min。列車發(fā)車日為2016年12月1日，預(yù)售期為60 d，所有列車的購(gòu)票曲線見(jiàn)圖2、圖3。

表2 京滬高速鐵路北京南—上海虹橋列車車次及旅行時(shí)間

圖2 北京南—上海虹橋高鐵列車購(gòu)票曲線(Ⅰ)

圖3 北京南—上海虹橋高鐵列車購(gòu)票曲線(Ⅱ)

對(duì)服務(wù)不同OD對(duì)的列車進(jìn)行聚類時(shí)，式(2)中的參數(shù)γ取值不同，反映了不同乘距旅客對(duì)旅行時(shí)間敏感程度的差異。但是，對(duì)于給定的OD對(duì)，參數(shù)γ的取值同樣會(huì)影響列車聚類的結(jié)果。為此，本小節(jié)構(gòu)造3種情形，討論參數(shù)對(duì)聚類結(jié)果的影響。3組參數(shù)的取值情形分別為：①γ=100,m=3(由輪廓系數(shù)法確定的最優(yōu)聚類數(shù)量)；②γ=400,m=2(由輪廓系數(shù)法確定的最優(yōu)聚類數(shù)量)；③γ=400,m=3。利用基于購(gòu)票曲線的高鐵列車聚類方法對(duì)36列車進(jìn)行聚類，3種情形下的分類結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 3種情形下的列車聚類結(jié)果

在情形①下，結(jié)合購(gòu)票曲線可以發(fā)現(xiàn)，第Ⅰ類列車最終的總售票量最高，均在500張以上，且列車旅行時(shí)間較短，均在300 min以內(nèi)；第Ⅱ類列車較第Ⅰ類列車總售票量相對(duì)較低，為250～500張，旅行時(shí)間較第Ⅰ類列車更長(zhǎng)，為295～310 min；第Ⅲ類列車的特征是旅行時(shí)間長(zhǎng)且累計(jì)售票量低。從分類結(jié)果可以看出，3類列車在總售票量和旅行時(shí)間兩方面的特征明顯，說(shuō)明本文提出的列車聚類方法能有效地將列車按照運(yùn)行特征分類。

對(duì)比3種情形下的聚類結(jié)果可以看出，參數(shù)γ的取值會(huì)影響最優(yōu)聚類數(shù)；在聚類數(shù)相同的前提下，參數(shù)γ的取值影響具體的聚類結(jié)果。具體而言，當(dāng)參數(shù)γ從100增加到400時(shí)(表示旅客對(duì)旅行時(shí)間的敏感程度提高)，最優(yōu)分類數(shù)從3類下降到2類；情形②下第Ⅰ類列車恰好是情形①下第Ⅰ和第Ⅱ類列車的并集；當(dāng)聚類數(shù)均為3時(shí)(情形①和情形③)，兩種情形下的聚類結(jié)果存在顯著差異：情形①下第Ⅰ和第Ⅱ類列車的并集恰好是情形③下第Ⅰ類的全部列車，情形①下第Ⅲ類列車在情形③下被拆分成了2類。

4.2 分類定價(jià)策略應(yīng)用算例分析

以中國(guó)高鐵網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)十字形子網(wǎng)絡(luò)為背景，對(duì)分類定價(jià)策略在票價(jià)票額綜合優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行算例分析，見(jiàn)圖4。十字形網(wǎng)絡(luò)共36個(gè)高鐵車站，連接了包括武漢、廣州、長(zhǎng)沙、南昌和貴陽(yáng)在內(nèi)的省會(huì)城市，所有區(qū)間均為雙線鐵路，最高運(yùn)行速度為310 km/h。列車運(yùn)行圖數(shù)據(jù)來(lái)源于2016年12月1日的時(shí)刻表信息，τ=30元/h。求解算法通過(guò)Matlab 2019b編程實(shí)現(xiàn)，并且在配置為Intel(R) Xeon(R) 3.70 GHz處理器，128 GB內(nèi)存，且基于Windows操作系統(tǒng)的工作站上完成計(jì)算。

圖4 中國(guó)高鐵網(wǎng)絡(luò)的十字形子網(wǎng)絡(luò)

4.2.1 小規(guī)模算例

表4 小規(guī)模算例模型參數(shù)

(9)

(1)模型參數(shù)靈敏度分析

由圖5可知，存在一個(gè)兩類列車的票價(jià)權(quán)重系數(shù)的組合使得兩類列車的最優(yōu)票價(jià)相等，此時(shí)兩類列車可以合并為一類列車并設(shè)置相同的票價(jià)。類似的，由圖6可知，同樣存在一個(gè)兩類列車的權(quán)重系數(shù)的組合使得兩類列車的最優(yōu)席位分配數(shù)量相等。需要說(shuō)明的是，使得兩類列車最優(yōu)票價(jià)或最優(yōu)席位分配相等的權(quán)重組合并不相同。

圖5 兩類列車最優(yōu)票價(jià)

圖6 兩類列車最優(yōu)席位分配

除權(quán)重系數(shù)之外，列車定員、初始需求和彈性需求函數(shù)參數(shù)的設(shè)置對(duì)模型的優(yōu)化結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生影響。列車定員體現(xiàn)運(yùn)輸能力的供給，本文主要討論當(dāng)某類列車中的單一列車定員的變化對(duì)其他列車的影響。當(dāng)G1101次列車的定員發(fā)生變化時(shí)，兩類列車的最優(yōu)票價(jià)見(jiàn)圖7：當(dāng)一類列車中某一列車的定員從0逐漸增加時(shí)，該類列車各個(gè)運(yùn)行區(qū)段的票價(jià)顯著降低；當(dāng)列車定員超過(guò)一定閾值后，兩類列車的票價(jià)收斂于定值。第1類列車和第2類列車的最優(yōu)席位分配見(jiàn)圖8、圖9，同類列車的最優(yōu)席位分配成比例，當(dāng)?shù)?類列車中的某一列車定員較低時(shí)，不僅導(dǎo)致同類列車的最優(yōu)席位分配數(shù)量較低，也會(huì)導(dǎo)致第2類列車的最優(yōu)席位分配數(shù)量處于較低水平。結(jié)果表明，各類列車的定員配置應(yīng)相當(dāng)，不宜過(guò)高或者過(guò)低于同類列車，否則會(huì)導(dǎo)致同類和其他類列車的能力浪費(fèi)。從整體來(lái)看，列車定員的配置應(yīng)與需求水平相當(dāng)，當(dāng)運(yùn)輸能力供給過(guò)高時(shí)必然會(huì)導(dǎo)致能力利用率較低。

圖7 兩類列車最優(yōu)票價(jià)

圖8 第1類列車最優(yōu)席位分配

圖9 第2類列車最優(yōu)席位分配

(2)收益提升和計(jì)算時(shí)間對(duì)比

模型M2在模型M1的基礎(chǔ)上引入列車分類定價(jià)策略。M2對(duì)同類列車設(shè)置相同價(jià)格，而M1對(duì)逐列列車單獨(dú)定價(jià)，在搜索最優(yōu)解時(shí)，M2無(wú)法像M1一樣通過(guò)精細(xì)地調(diào)節(jié)每列車的票價(jià)從而影響旅客需求和票額分配方案，最終達(dá)到總客票收入最大化的目標(biāo)。

經(jīng)計(jì)算兩個(gè)模型的優(yōu)化結(jié)果和計(jì)算時(shí)間見(jiàn)表5。M1所獲得的最優(yōu)總客票收入是M2所獲得的最優(yōu)總客票收入的1.02倍。從結(jié)果中可以明顯看出利用M1對(duì)票價(jià)和票額進(jìn)行優(yōu)化后各列車的客座率明顯高于M2。這是因?yàn)镸2按照同類列車設(shè)置相同票價(jià)的原則進(jìn)行定價(jià)，部分列車無(wú)法通過(guò)精細(xì)地票價(jià)調(diào)節(jié)使列車被充分利用，因此，M2在減小優(yōu)化計(jì)算時(shí)間的同時(shí)損失了一定的優(yōu)化空間。

表5 M1和M2優(yōu)化結(jié)果和計(jì)算時(shí)間

然而，M2所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間僅為M1的45.83%。盡管利用M2對(duì)票價(jià)和票額進(jìn)行優(yōu)化所獲得的客票收入相對(duì)較低，但M2通過(guò)減小問(wèn)題規(guī)模，顯著縮短了求解時(shí)間。在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，引入分類定價(jià)策略，通過(guò)較小的客票收入損失換來(lái)更多的計(jì)算時(shí)間節(jié)省，對(duì)解決大規(guī)模高鐵客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化問(wèn)題具有重要意義。

4.2.2 大規(guī)模算例

圖10 大規(guī)模算例的收斂曲線

大規(guī)模算例在M1和M2下的計(jì)算時(shí)間見(jiàn)表6，對(duì)比顯示，引入分類定價(jià)策略后，由于決策變量數(shù)的減少，單次迭代的計(jì)算時(shí)間顯著下降，盡管迭代次數(shù)增加，但總計(jì)算時(shí)間大大縮短。結(jié)果表明，針對(duì)大規(guī)?？推倍▋r(jià)和票額分配綜合優(yōu)化問(wèn)題，分類定價(jià)策略能顯著縮短定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化模型的求解時(shí)間。

表6 大規(guī)模算例在M1和M2下的計(jì)算時(shí)間

5 結(jié)論

本文針對(duì)高鐵網(wǎng)絡(luò)中大規(guī)模列車客票定價(jià)和票額分配優(yōu)化方法存在計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)的問(wèn)題，以降低計(jì)算規(guī)模為目標(biāo)，提出分類定價(jià)策略。利用購(gòu)票曲線構(gòu)建其相似性指標(biāo)，綜合考慮列車運(yùn)行時(shí)間，設(shè)計(jì)服務(wù)同一OD對(duì)的高鐵列車聚類方法，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建高鐵客票定價(jià)和票額分配綜合優(yōu)化模型，并融合DFP算法和遞歸運(yùn)算設(shè)計(jì)高效求解算法。通過(guò)算例分析，驗(yàn)證了本文所提出方法在求解大規(guī)模問(wèn)題時(shí)的顯著優(yōu)勢(shì)。然而，作為多階段定價(jià)和票額分配的基礎(chǔ)，預(yù)售期階段的劃分方式是值得進(jìn)一步深入研究的問(wèn)題。