徐達(dá) 王逸璞? 李鐵夫 游建強(qiáng)

1) (浙江大學(xué)物理學(xué)系,杭州 310058)

2) (清華大學(xué)集成電路學(xué)院,北京 100084)

實(shí)驗(yàn)上展示了釔鐵石榴石(YIG)晶體小球中磁振子與超導(dǎo)量子比特的驅(qū)動(dòng)綴飾態(tài)之間的相干強(qiáng)耦合,磁振子的加入使得在超導(dǎo)量子比特中形成了雙重綴飾態(tài).實(shí)驗(yàn)中一個(gè)釔鐵石榴石晶體小球與一個(gè)超導(dǎo)量子比特同時(shí)放置在三維諧振腔中,分別通過(guò)磁偶極相互作用和電偶極相互作用與諧振腔中的本征場(chǎng)(TE102 模式)耦合,并通過(guò)腔模作為媒介實(shí)現(xiàn)兩者之間的有效相干強(qiáng)耦合.給超導(dǎo)量子比特施加一個(gè)共振的微波驅(qū)動(dòng)并改變驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度,測(cè)得耦合系統(tǒng)能級(jí)劈裂隨驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的變化,并理論上利用粒子-空穴對(duì)與玻色場(chǎng)耦合的模型做了計(jì)算.在大部分的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度范圍內(nèi)實(shí)驗(yàn)結(jié)果都與理論計(jì)算結(jié)果符合得較好,表明驅(qū)動(dòng)下的比特-磁振子耦合系統(tǒng)可以用來(lái)模擬粒子-空穴對(duì)稱(chēng)對(duì)與玻色場(chǎng)的耦合系統(tǒng).本文使用的混合量子系統(tǒng)為模擬玻色子與費(fèi)米子的混合系統(tǒng)提供了一個(gè)新途徑.

1 引言

由于可以取不同的量子子系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行互補(bǔ),混合量子系統(tǒng)在量子計(jì)算與量子信息處理中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用[1?4].近年來(lái),一種新型的混合量子系統(tǒng)被構(gòu)造并得到了迅速的發(fā)展,該系統(tǒng)使用一個(gè)超導(dǎo)量子比特與釔鐵石榴石(YIG)小球,并把它們放置在一個(gè)三維(3D)微波諧振腔中[5?7],YIG 小球中的磁振子與超導(dǎo)量子比特分別與諧振腔耦合,通過(guò)腔模的虛光子交換,超導(dǎo)量子比特與YIG 小球中的磁振子可以實(shí)現(xiàn)有效耦合.本文研究YIG 小球在均勻靜磁場(chǎng)下的基泰爾(Kittel)模磁振子,其中所有自旋進(jìn)行一致進(jìn)動(dòng)[8].這種混合量子系統(tǒng)能夠引起人們重視的原因在于磁振子的優(yōu)良屬性,它具有鐵磁共振線寬窄、自旋密度大等優(yōu)勢(shì),進(jìn)一步地,磁振子與微波諧振腔[9?14]、光學(xué)系統(tǒng)[15]、超導(dǎo)量子比特[5]以及聲子[16]耦合,展示了基于磁振子的多種新奇現(xiàn)象及其應(yīng)用[17?30],較有特色的案例包括磁振子暗態(tài)和梯度記憶[31,32]、腔自旋電子學(xué)[17,33]、磁振子-光波量子接口[34?41]、PT對(duì)稱(chēng)和反PT 對(duì)稱(chēng)非厄米腔磁振子耦合系統(tǒng)[42?45]、腔磁振子極化激元的雙穩(wěn)和多穩(wěn)[46?49]、磁振子和各種自由度的糾纏態(tài)[50?54]以及磁振子反聚束和阻塞[55,56]等.同時(shí),近期有研究表明,磁振子與腔光子之間的耦合除了可以實(shí)現(xiàn)相干強(qiáng)耦合[11?14,17,18],還可以達(dá)到超強(qiáng)耦合[14,57,58]及實(shí)現(xiàn)耗散耦合[59?64].

超導(dǎo)量子比特是很多固體混合量子系統(tǒng)里量子信息處理的核心單元[1,2].對(duì)超導(dǎo)量子比特進(jìn)行相干綴飾可以提高系統(tǒng)的性能(如提高系統(tǒng)的相干時(shí)間[65,66]),因此在量子信息處理方面有很多實(shí)際應(yīng)用(參見(jiàn)文獻(xiàn)[67?69]).從量子力學(xué)角度來(lái)看,磁振子與其他玻色子并無(wú)不同,類(lèi)比一個(gè)光子可以綴飾二能級(jí)系統(tǒng)[70],它與超導(dǎo)量子比特的強(qiáng)耦合可以綴飾超導(dǎo)量子比特的本征態(tài).本文研究了由一個(gè)超導(dǎo)量子比特和一個(gè)YIG 小球放置在三維方形諧振腔里面構(gòu)成的量子比特-磁振子耦合系統(tǒng),并對(duì)超導(dǎo)量子比特進(jìn)行微波驅(qū)動(dòng).在一個(gè)共振的單頻微波驅(qū)動(dòng)下,超導(dǎo)量子比特的本征態(tài)會(huì)被微波場(chǎng)所綴飾,同時(shí)超導(dǎo)量子比特與磁振子之間存在通過(guò)諧振腔媒介的虛光子交換誘導(dǎo)的有效相干耦合,超導(dǎo)量子比特會(huì)進(jìn)一步被磁振子所綴飾.通過(guò)測(cè)量超導(dǎo)量子比特綴飾態(tài)能級(jí)劈裂隨微波驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的變化,實(shí)驗(yàn)上觀察到了超導(dǎo)量子比特的這種雙重綴飾態(tài).實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論在大部分驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度范圍內(nèi)都符合得很好,表明這個(gè)混合量子系統(tǒng)可以用來(lái)模擬粒子-空穴對(duì)與玻色場(chǎng)的耦合系統(tǒng)的行為.觀察到的雙重綴飾態(tài)行為與費(fèi)米子-玻色子混合準(zhǔn)粒子系統(tǒng)類(lèi)似,而且改變磁振子在混合模式中的比例可以改變它的費(fèi)米性(即更接近或遠(yuǎn)離費(fèi)米子行為).本文工作給以后用混合量子系統(tǒng)研究費(fèi)米-玻色子準(zhǔn)粒子混合系統(tǒng)的量子特性提供了新的思路.

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)置與腔媒介下的量子比特-磁振子相干耦合

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

圖1(a)所示為超導(dǎo)量子比特與磁振子耦合的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng),與文獻(xiàn)[5,6]類(lèi)似,方形的三維諧振腔尺寸為 58 mm×32 mm×6 mm .諧振腔由兩個(gè)不同材質(zhì)的部分組成,其中一半材質(zhì)為無(wú)氧銅,另一半材質(zhì)是鋁.實(shí)驗(yàn)中把該諧振腔放在稀釋制冷機(jī)的MC (mixing chamber)盤(pán),溫度約為20 mK.在該溫度下,鋁腔部分進(jìn)入超導(dǎo)并具有一定的磁屏蔽效果,然后在鋁腔部分外面加裝一個(gè)磁屏蔽罩以屏蔽磁場(chǎng).使用一個(gè)最大能產(chǎn)生1 T 磁場(chǎng)的超導(dǎo)磁體以激發(fā)磁振子并調(diào)節(jié)磁振子的共振頻率.量子比特是一個(gè)3D transmon 超導(dǎo)量子比特[71,72],該比特超導(dǎo)約瑟夫森結(jié)的兩端各連接一塊大鋁膜與諧振腔的內(nèi)壁一起構(gòu)成比特的大并聯(lián)電容,以大幅減小電荷噪音對(duì)比特量子相干性的影響.使用類(lèi)似架構(gòu)的量子比特還有電容并聯(lián)的磁通量子比特[73,74]、二維(2D) transmon 量子比特[75]和Xmon 量子比特[76]等.量子比特經(jīng)過(guò)雙層磁屏蔽罩的屏蔽,在低溫下保持較好的相干性.本文使用的YIG 小球是一個(gè)直徑1 mm 的圓球,放置在銅腔部分的一端,銅腔部分不會(huì)超導(dǎo),使得超導(dǎo)磁體產(chǎn)生的外加磁場(chǎng)可以進(jìn)入諧振腔的銅腔部分內(nèi)部以調(diào)節(jié)磁振子的共振頻率.超導(dǎo)磁體的外加磁場(chǎng)與YIG 小球的[100]軸保持平行,同時(shí)磁振子與超導(dǎo)量子比特均放置在與腔模 TE102強(qiáng)耦合的位置.為了使腔模、量子比特同時(shí)和磁振子保持在大失諧的色散耦合區(qū)域,腔模 TE102的共振頻率ωc/(2π) 設(shè)計(jì)為6.99 GHz.用外加磁場(chǎng)把磁振子的頻率偏置到比特頻率附近,比特與磁振子就可以通過(guò)與腔的虛光子交換實(shí)現(xiàn)有效耦合[5,6].

圖1 量子比特與磁振子耦合系統(tǒng)示意圖 (a) 超導(dǎo)量子比特與磁振子耦合系統(tǒng)示意圖,其中量子比特與YIG 小球同時(shí)放置在三維諧振腔中.諧振腔由無(wú)氧銅腔和鋁腔兩部分組成,YIG 小球放置在諧振腔無(wú)氧銅材質(zhì)的半腔內(nèi)使得磁場(chǎng)可以穿透,量子比特放置在鋁的半腔內(nèi)以得到更好的磁屏蔽效果.YIG 小球放置在諧振腔TE102 模式磁場(chǎng)的波腹位置以獲得兩者之間更大的耦合強(qiáng)度,同時(shí)量子比特放置在TE102 模式電場(chǎng)的波腹.(b) 腔TE102 和TE103 模式電磁場(chǎng)分布的示意圖.上半圖為腔TE102 模式的電場(chǎng)分布,下半圖左側(cè)為腔TE102 模式的磁場(chǎng)分布,右側(cè)為腔TE103 模式的電場(chǎng)分布.可以看到,YIG 小球和超導(dǎo)量子比特芯片分別放置在腔TE102 模式磁場(chǎng)最大值和TE102 模式電場(chǎng)較大值位置,考慮到需要通過(guò)TE103模式讀取比特,并沒(méi)有把芯片放置在TE102 模式電場(chǎng)最大處.(c) 諧振腔TE102 的透射譜.改變外加靜磁場(chǎng)強(qiáng)度來(lái)改變YIG 小球中基泰爾模磁振子的共振頻率,圖中展示的是磁振子與腔TE102 模式近共振附近的譜線,可以看到兩者相干耦合產(chǎn)生的反交叉劈裂Fig.1.Schematic of qubit-magnon hybrid system in a rectranglar 3D microwave cavity:(a) A small YIG sphere is placed in cavity made of oxygen-free copper at the magnetic-field antinode of the cavity mode TE102.The qubit is mounted in the part of the cavity made of aluminium near the antinode of cavity TE102 mode.(b) Electrical and magnetic field distribution of cavity TE102 and TE103 mode.The upper half figure shows the electric field distribution of cavity TE102 mode,the left of lower half shows the magnetic field distribution of cavity TE102 mode,TE103 mode electric field distribution is shown on the right-hand side.As shown in figure,the YIG sphere and the qubit chip are placed near the antinodes of cavity TE103 magnetic field and TE102 electric field,respectively.(c) Transmission spectrum of the cavity when the Kittel mode of magnons in the YIG sphere is magnetically tuned to be near resonance with the cavity TE102 mode.

2.2 腔媒介下的量子比特-磁振子相干耦合

在做量子比特與磁振子耦合實(shí)驗(yàn)之前,首先測(cè)了磁振子與腔模 TE102的耦合.調(diào)節(jié)磁振子的外加磁場(chǎng)使得磁振子與腔模 TE102共振,由于兩者的耦合,在共振頻率附近觀察到腔模劈裂成兩支磁振極化子并出現(xiàn)反交叉,反交叉點(diǎn)的劈裂為86 MHz.注意到量子比特的頻率為ω ≈6.49 GHz,遠(yuǎn)離腔頻和磁振子頻率.因此在反交叉點(diǎn)附近,量子比特與腔模、磁振子都處于大失諧狀態(tài),可以忽略比特的影響.從反交叉點(diǎn)的能級(jí)劈裂可以得到磁振子與腔模 TE102的耦合強(qiáng)度約為43 MHz.為了實(shí)現(xiàn)量子比特與磁振子之間的耦合,調(diào)節(jié)磁振子的頻率使其與量子比特近共振.在該工作點(diǎn)下,腔模 TE102與它們都大失諧,經(jīng)過(guò)與腔模 TE102的虛光子交換,量子比特與磁振子之間實(shí)現(xiàn)有效耦合[5,6].在T=20 mK 的環(huán)境溫度下,kBT ?ωq,ωm.因此系統(tǒng)初態(tài)時(shí)量子比特和磁振子幾乎分別都處于各自的基態(tài)|g〉和|0〉.與參考文獻(xiàn)[5]類(lèi)似,我們使用了一臺(tái)矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀(VNA)通過(guò)腔模 TE103來(lái)讀取比特.當(dāng)比特被激發(fā),讀取腔 TE103的共振頻率會(huì)發(fā)生色散偏移,因此探測(cè)讀取腔的傳輸譜就可以間接探測(cè)到比特的激發(fā)狀態(tài).

圖2(a)給出了量子比特磁振子混合量子體系在低溫并未加驅(qū)動(dòng)情況下的能級(jí)分布.與參考文獻(xiàn)[5,6]的情況一致,由于耦合系統(tǒng)|g,1〉與|e,0〉能級(jí)之間的相互作用,頻率共振點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)真空拉比劈裂.兩者的有效耦合通過(guò)與腔模 TE102的虛光子交換實(shí)現(xiàn),耦合強(qiáng)度為其中Δq≡ωq?ωc(Δm≡ωm?ωc)是量子比特(磁振子)與腔模 TE102的頻率失諧,gq是量子比特與腔模之間的耦合強(qiáng)度.系統(tǒng)的等效哈密頓量Hqm表示為

圖2 量子比特與磁振子的耦合 (a) 量子比特與磁振子耦合系統(tǒng)的能級(jí)結(jié)構(gòu),圖中只考慮了基泰爾模磁振子的單量子態(tài)和基態(tài).調(diào)節(jié)磁振子的諧振頻率使得磁振子的能級(jí)差與比特能級(jí)差對(duì)上,能級(jí) |g,1〉 與 |e,0〉 簡(jiǎn)并并出現(xiàn)劈裂,耦合強(qiáng)度即真空拉比劈裂 2gqm,進(jìn)一步給比特施加微波驅(qū)動(dòng)Ωd,劈裂的兩個(gè)能級(jí)進(jìn)一步劈裂成四個(gè)能級(jí).(b) 量子比特-磁振子相干耦合系統(tǒng)的真空拉比劈裂.實(shí)驗(yàn)上改變磁振子的外加磁場(chǎng)把兩者頻率調(diào)到近共振,對(duì)超導(dǎo)量子比特加驅(qū)動(dòng)微波,同時(shí)用諧振腔TE103 模式讀取腔的傳輸譜來(lái)反映比特的變化Fig.2.Coherent coupling between qubit and the magnon:(a) Energy levels of qubit-magnon system with only the vacuum and single-magnon states involved for the Kittle mode.If we adjusting the magnetic field to set magnon Kittle mode frequency resonance with the qubit,|g,1〉 and|e,0〉degenerates,the coupling between |g,1〉and |e,0〉 induces the vacuum Rabi splitting 2gqm.If we apply a microwave drive with amplitude Ωd to qubit,the degenerated levels further split into 4 levels.(b) Vacuum Rabi splitting of the qubit-magnon system measured via the transmission spectrum of the cavity by both tuning the static magnetic field and scanning the frequency of the excitation field.The porbe field is applied in resonance with the cavity TE103 mode.

其中σz和σ±是量子比特的泡利算符,b?(b)是磁振子的產(chǎn)生(湮滅)算符.當(dāng)把磁振子頻率調(diào)到與量子比特共振,gqm簡(jiǎn)化為gqmgqgm/Δ,其中ΔΔqΔm.量子比特與磁振子的耦合強(qiáng)度的測(cè)量結(jié)果如圖2(b)所示,通過(guò)調(diào)節(jié)靜磁場(chǎng)對(duì)磁振子掃頻同時(shí)掃描量子比特激發(fā)微波的頻率來(lái)實(shí)現(xiàn).從圖2(b)中反交叉點(diǎn)的真空拉比劈裂(劈裂為 2|gqm|)得到|gqm|≈20.1 MHz.可以看到圖的右端(磁場(chǎng)為237 mT)與左端(磁場(chǎng)為230 mT)相比,比特的線寬變寬,這很可能是因?yàn)榇蟠艌?chǎng)下不能完全避免有磁場(chǎng)穿透到腔體內(nèi)部影響了量子比特的相干性.實(shí)驗(yàn)上頻率失諧為|Δ|/(2π)≈0.5GHz,gm/(2π)≈43.0MHz 以及|gqm|/(2π)≈234 MHz.其中可以看到gm/ωc×100%≈1%以及gq/ωc×100%≈3%,量子比特和磁振子與腔模都達(dá)到了強(qiáng)耦合.

3 量子比特的雙重綴飾態(tài)

然而即使這么簡(jiǎn)單的哈密頓量,依然無(wú)法進(jìn)行嚴(yán)格對(duì)角化,因?yàn)殡p重綴飾哈密頓量并不一定可解[77].選取新的基矢,然后做平均場(chǎng)近似,把哈密頓量(2)改寫(xiě)成HHp+Hh的形式:

其中nm是磁振子激發(fā)數(shù).兩個(gè)本征值的本征態(tài)分別對(duì)應(yīng)粒子-磁振子混合準(zhǔn)粒子態(tài).哈密頓量Hh的本征值(表示為ω1和ω3)為?λ±,其本征態(tài)對(duì)應(yīng)空穴-磁振子混合準(zhǔn)粒子態(tài).通過(guò)改變驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度Ωd,可以改變混合態(tài)中磁振子的比例,從而改變混合準(zhǔn)粒子態(tài)的費(fèi)米性,使其行為接近或者遠(yuǎn)離費(fèi)米子行為.可以得到模式4 和模式1,以及模式3和模式2 之間的能級(jí)劈裂分別為

圖3 給出了持續(xù)增加共振驅(qū)動(dòng)功率Pd情況的混合系統(tǒng)的傳輸譜.由于哈密頓量里粒子-空穴對(duì)稱(chēng)性的存在,譜線有明顯的左右鏡像對(duì)稱(chēng)性.當(dāng)持續(xù)加大驅(qū)動(dòng)功率Pd,兩個(gè)吸收谷劈裂成4 個(gè),外面的兩個(gè)吸收谷(標(biāo)記為1 和4)逐漸遠(yuǎn)離,同時(shí)中間的兩個(gè)吸收谷(標(biāo)記為2 和3)逐漸靠近并最終合二為一.拉比頻率Ωd與驅(qū)動(dòng)幅值成正比,即Ωd∝從(5)式可以看出,隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的增大,ω4?ω1增大,同時(shí)ω3?ω2減小.對(duì)于很大的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度Ωd?與實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)相符.

圖3 量子比特-磁振子耦合系統(tǒng)能級(jí)劈裂隨外加微波場(chǎng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的變化,其中 δq δm 0 .使用驅(qū)動(dòng)微波去激發(fā)比特,同時(shí)用一個(gè)與讀取腔 TE103共振的微波進(jìn)行色散讀取.驅(qū)動(dòng)微波的功率分別是(a) 0.04 μW,(b) 0.06 μW,(c) 0.1 μW,(d) 0.16 μW,(e) 0.4 μW,(f) 0.63 μW,(g) 1μW,(h) 1.6 μWFig.3.Dispersive readout of the hybridized normal modes of the driven qubit-magnon system.An excitation field is tuned to excite the hybridized normal modes and a probe field is applied in resonance with the cavity mode TE103 .The power of the microwave field to drive the superconducting qubit is tuned to be (a) 0.04 μW,(b) 0.06 μW,(c) 0.1 μW,(d) 0.16 μW,(e) 0.4 μW,(f) 0.63 μW,(g) 1μW,(h) 1.6 μW,respectively.

圖4 量子比特-磁振子耦合系統(tǒng)頻率劈裂隨外加微波場(chǎng)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度變化的擬合.上半圖數(shù)據(jù)(綠色圓點(diǎn)和綠線)是耦合模式1 和模式4 (見(jiàn)正文)之間能級(jí)差隨驅(qū)動(dòng)功率Pd的變化.下半圖數(shù)據(jù)(橙色圓點(diǎn)和橙線)是耦合模式3 和模式2 能級(jí)差隨驅(qū)動(dòng)功率 Pd 的變化.使用(5)式進(jìn)行擬合,其 中|gqm|,nm 0,以 及 Ωd 這里k 103 MHz/μW1/2Fig.4.Fitting the experimental data of the frequency splitting between hybridized normal modes 1 and 4 (3 and 2)versus the drive power Pd .To fit the data,we use Eq.(5),where |gqm|,nm 0,and Ωd with k 103 MHz/μW1/2.

4 結(jié)論

本文研究了超導(dǎo)量子比特的驅(qū)動(dòng)綴飾態(tài)與YIG 小球中基泰爾模磁振子之間的相干強(qiáng)耦合.超導(dǎo)量子比特與磁振子之間的有效耦合是它們與耦合腔的虛光子交換過(guò)程誘導(dǎo)的,微波驅(qū)動(dòng)場(chǎng)與超導(dǎo)量子比特耦合使比特發(fā)生綴飾,并因?yàn)楸忍睾痛耪褡拥鸟詈蠌亩鴮?shí)現(xiàn)雙重綴飾態(tài).在量子比特與磁振子共振點(diǎn)處給比特加微波驅(qū)動(dòng)并連續(xù)改變驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度,并使用平均場(chǎng)理論計(jì)算了驅(qū)動(dòng)哈密頓量的本征態(tài),發(fā)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)量子比特-磁振子耦合系統(tǒng)表現(xiàn)出粒子-空穴對(duì)稱(chēng)性,隨著驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度增大耦合系統(tǒng)的劈裂出現(xiàn)移動(dòng),在較大的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度范圍內(nèi),本文的理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果都符合得較好.本文的工作給研究由多個(gè)不同自由度構(gòu)成的混合系統(tǒng)提供了新的研究思路并有可能應(yīng)用于模擬由費(fèi)米子玻色子構(gòu)成的混合準(zhǔn)粒子系統(tǒng)的量子行為.