焦寶寶

(東華理工大學(xué)核科學(xué)與工程學(xué)院,南昌 330013)

系統(tǒng)研究了2013 年發(fā)表的核電荷半徑數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值,基于這個(gè)數(shù)據(jù)庫中大量的同位素鏈核電核半徑實(shí)驗(yàn)值,對相鄰3 個(gè)同位素核電荷半徑之間的關(guān)系進(jìn)行分析,進(jìn)而得到一個(gè)新的核電荷半徑關(guān)系:一個(gè)原子核的電荷半徑等于其左右相鄰的兩個(gè)同位素核電荷半徑之和的一半.運(yùn)用該關(guān)系對質(zhì)量數(shù) A≥20 (質(zhì)子數(shù)Z ≥10和中子數(shù) N≥10)的核電荷半徑進(jìn)行擬合,結(jié)果發(fā)現(xiàn)核電荷半徑的理論值與實(shí)驗(yàn)值符合得較好,均方根偏差(RMSD)僅為0.00471 fm;對質(zhì)量數(shù) A≥54 的核電荷半徑進(jìn)行擬合時(shí),得到理論值和實(shí)驗(yàn)值的RMSD僅為0.00337 fm.同時(shí)還添加了奇偶擺動(dòng)修正來提高核電荷半徑的精確度.此外,利用這個(gè)新的核電荷關(guān)系,結(jié)合1999 年和2004 年發(fā)表的數(shù)據(jù)庫對一些核電荷半徑進(jìn)行預(yù)言,得到核電荷半徑的預(yù)言值與2013 年發(fā)表的數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值符合得較好;基于CR2013 數(shù)據(jù)庫得到的預(yù)言值與近幾年新測得的核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值也較接近.研究結(jié)果表明新的核電荷半徑關(guān)系對電荷半徑的描述和預(yù)言具有一定的精確性和可靠性.

1 引言

核電荷半徑(nuclear charge radius,CR)的系統(tǒng)研究對核物理、原子物理以及天體物理等相關(guān)學(xué)科具有重要的意義,它是原子核最基本的性質(zhì)之一,有助于研究原子核的結(jié)構(gòu)(中子皮(neutron skin)、形狀相變等[1?3]).原子核電荷半徑的研究分為實(shí)驗(yàn)測量和理論計(jì)算兩方面:實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)有許多方法可用來測量原子核電荷半徑,如 μ?原子X 射線[4,5]、高能電子散射[6]、原子光譜[7,8]等技術(shù)都可用來測量核電荷半徑;理論上也有許多模型與公式用來計(jì)算和預(yù)言核電荷半徑,如Hartree-Fock-Bogoliubov (HFB)理論[9,10]、唯象公式[11,12]、Garvey-Kelson (G-K)公式[13],原子核的新電荷半徑關(guān)系[14,15]、A1/3律[16?18]的單參數(shù)公式、樸素貝葉斯概率[19]等.目前,已經(jīng)有許多核電荷半徑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)庫,最新的數(shù)據(jù)庫是發(fā)表于2013 年的CR2013 數(shù)據(jù)庫[20](約909 個(gè)實(shí)驗(yàn)值),它比發(fā)表于2004 年的CR2004[21]數(shù)據(jù)庫 (約799 個(gè)實(shí)驗(yàn)值)多大約110 個(gè)實(shí)驗(yàn)值,比發(fā)表于1999年的CR1999[22]數(shù)據(jù)庫(約285 個(gè)實(shí)驗(yàn)值)多大約514 個(gè)核電荷實(shí)驗(yàn)值,這些數(shù)據(jù)庫有助于系統(tǒng)性地研究原子核電荷半徑.此外,每年還有大量的核電荷半徑[23?30]方面的科研成果,可見核電荷半徑依然是一個(gè)重要的研究方向.

核電荷半徑理論研究大概分為兩個(gè)方向.第一個(gè)方向是在核電荷半徑的A1/3律和Z1/3律的基礎(chǔ)上直接得到核電荷半徑的計(jì)算值,此外還會(huì)添加一些修正項(xiàng)來研究核電荷半徑.基于常用的A1/3律單參數(shù)公式,文獻(xiàn)[16,17]的作者研究了同位旋修正對核電荷半徑的影響,文獻(xiàn)[18]提出了Casten 因子項(xiàng)和奇偶擺動(dòng)項(xiàng)的修正來研究核電荷半徑;基于曾謹(jǐn)言[31]提出的Z1/3律的單參數(shù)公式,張雙全等[32]研究了同位旋對Z1/3律公式得到核電荷半徑的影響.第二個(gè)方向是在近似模型或相鄰核電荷半徑關(guān)系的基礎(chǔ)上間接得到原子核電荷半徑的計(jì)算值:HFB 理論[9,10]計(jì)算電荷半徑的均方根偏差(RMSD)通常在0.027 fm 左右;唯象公式[11,12]的RMSD 大約為0.022 fm;模擬6 個(gè)相鄰原子核的電荷半徑之間的G-K 關(guān)系[13]來計(jì)算電荷半徑,計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值之間的RMSD 約為0.01 fm;文獻(xiàn)[14,15]研究質(zhì)量數(shù)Z,N≥2 的4 個(gè)相鄰原子核的電荷半徑,得到4 種共16 個(gè)關(guān)系式,利用這16 個(gè)關(guān)系式,結(jié)合CR2013 數(shù)據(jù)庫得到核電荷半徑的計(jì)算值,RMSD為0.0078 fm;此外,文獻(xiàn)[25,33]也基于相鄰原子核電荷半徑之間的關(guān)系對核電荷半徑進(jìn)行了研究,尤其是對未知核電荷半徑的個(gè)數(shù)進(jìn)行了大量的預(yù)言,得到的預(yù)言個(gè)數(shù)分別為830 和1647.由此可知,利用相鄰核電荷半徑之間的關(guān)系進(jìn)行研究具有一定的優(yōu)越性.

本文在文獻(xiàn)[13?15,25,33]的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析,通過研究3 個(gè)相鄰?fù)凰睾说碾姾砂霃降玫揭粋€(gè)簡單的關(guān)系式.利用這個(gè)關(guān)系式結(jié)合CR2013 數(shù)據(jù)庫計(jì)算質(zhì)量數(shù)A≥20(質(zhì)子數(shù)Z≥10 和中子數(shù)N≥10)的核電荷半徑,得到的計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)值之間的RMSD 為0.00471 fm,并且為了得到更精確的核電荷半徑,還研究了奇偶擺動(dòng)項(xiàng)[18]的修正對核電荷半徑的影響.接著運(yùn)用得到的關(guān)系式結(jié)合CR1999,CR2004 和CR2013 數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn) 值外推得到核電荷半徑的預(yù)言值,將預(yù)言值和實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行比較,進(jìn)而來檢驗(yàn)這種方法的可靠性和精確性.最后對這項(xiàng)研究進(jìn)行了具體的分析和總結(jié).

2 核電荷半徑的研究

由CR2013 數(shù)據(jù)庫分析可知,中質(zhì)量核和重核的同位素核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值較多,且CR2013 數(shù)據(jù)庫中一共有909 個(gè)核電荷半徑,質(zhì)量數(shù)A≥20(質(zhì)子數(shù)Z≥10和中子數(shù)N≥10)的有877 個(gè),占數(shù)據(jù)庫核電荷半徑實(shí)驗(yàn)值總個(gè)數(shù)的96.5%.基于CR2013 數(shù)據(jù)庫以上的兩個(gè)特點(diǎn),本文對質(zhì)量數(shù)A≥20的原子核相鄰?fù)凰睾穗姾砂霃街g的關(guān)系進(jìn)行了研究.

由文獻(xiàn)[34?36]中三參數(shù)的中子奇偶質(zhì)量差公式很容易類比得到3 個(gè)相鄰?fù)凰睾穗姾砂霃降年P(guān)系式,稱為 dRn(Z,N) :

其中R(Z,N) 代表質(zhì)子數(shù)為Z,中子數(shù)為N的原子核電荷半徑.基于CR2013 數(shù)據(jù)庫選取的877 個(gè)質(zhì)量數(shù)A≥20(質(zhì)子數(shù)Z≥10和中子數(shù)N≥10)核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值結(jié)合(1)式得到600 個(gè) dRn(Z,N),如圖1 所示,其中漸變顏色的菱形代表原子核的dRn(Z,N).

圖1600 個(gè)原子核的dRn(Z,N)Fig.1.The dRn(Z,N) of 600 nuclei.

由圖1 可知,一些原子核的 dRn(Z,N) 較大,統(tǒng)計(jì)性較差,尤其是當(dāng)A≥54 時(shí),有些原子核的dRn(Z,N)絕對值異常大.研究發(fā)現(xiàn)這些dRn(Z,N)異常大是因?yàn)橛行┖穗姾砂霃奖容^特殊,不太符合同位素核電荷半徑的規(guī)律,這些特殊的核為97Rb,98Sr,99Y,100Zr,101Nb,152Eu,154Tb,156Ho,187Au,181Hg,183Hg,185Hg,可分為兩種情況來分析(圖2和圖3).圖2(a)中的空心圈、五角星、正方形、菱形和三角形分別代表 Rb(Z=37),Sr(Z=38),Y (Z=39),Zr (Z=40)和Nb (Z=41)同位素鏈核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值.由圖2(a)可知,這些同位素鏈在中子數(shù)N=60 時(shí)(7Rb,98Sr,99Y,100Zr,101Nb)核電荷半徑出現(xiàn)了拐點(diǎn),導(dǎo)致用這些核電荷半徑計(jì)算得到的 dRn(Z,N) 的絕對值比較大,也就是圖1中的那些統(tǒng)計(jì)性比較差的菱形.此外由圖2(a)可知,在N=50 時(shí)核電荷半徑也有一個(gè)拐點(diǎn),這是因?yàn)橹凶訑?shù)是幻數(shù)的原因,但是對于 dRn(Z,N) 絕對值的影響不是太大,這里暫不考慮幻數(shù)的問題;圖2(b)中的空心圈、五角星和正方形分別代表Eu(Z=63),Tb (Z=65)和Ho (Z=67)同位素鏈核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值,與圖2(a)中的情況類似,同位素鏈在中子數(shù)N=89 時(shí) (152Eu,154Tb,156Ho)核電荷半徑出現(xiàn)了拐點(diǎn),因而利用這些核電荷半徑計(jì)算得到的 dRn(Z,N) 的絕對值也較大,因此在研究時(shí)刪除了以上8 個(gè)原子核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值.

圖2 (a) Rb (Z=37),Sr (Z=38),Y (Z=39),Zr (Z=40)和 Nb (Z=41)同位素鏈核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值;(b) Eu (Z=63),Tb (Z=65)和Ho (Z=67)同位素鏈核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值Fig.2.(a) Nuclear charge radii of Rb (Z=37),Sr (Z=38),Y (Z=39),Zr (Z=40) and Nb (Z=41) elements;(b) nuclear charge radii of Eu (Z=63),Tb (Z=65) and Ho (Z=67) elements.

圖3 (a) Au (Z=79)同位素鏈核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值;(b) Hg (Z=80)同位素鏈核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值Fig.3.(a) Nuclear charge radii of Au (Z=79) elements;(b) nuclear charge radii of Hg (Z=80) elements.

圖3(a)和圖3(b)中的情況更為特殊,某些核電荷半徑的跳躍更不符合同位素鏈核電荷半徑的規(guī)律.圖3(a)中的空心圈代表Au (Z=79)同位素鏈的核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值,實(shí)心點(diǎn)表示質(zhì)子數(shù)為79和中子數(shù)為108 的187Au 核電荷半徑,由圖3(a)可知,Au的同位素鏈在中子數(shù)為108 時(shí)核電荷半徑呈跳躍式變化;圖3(b)中的空心圈代表Hg (Z=80)同位素鏈的核電荷半徑,實(shí)心點(diǎn)表示質(zhì)子數(shù)為80 和中子數(shù)分別為101,103,105 的(181Hg,183Hg,185Hg) 核電荷半徑實(shí)驗(yàn)值,圖中曲線表明Hg 的同位素鏈中子數(shù)為101,103 和105 時(shí)核電荷半徑呈跳躍式變化.以上這些跳躍式變化的核電荷半徑導(dǎo)致有些 dRn(Z,N) 的絕對值較大,統(tǒng)計(jì)性較差,因此研究中也刪除了這4 個(gè)核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值.

由圖2 和圖3 的分析可知,從質(zhì)量數(shù)A≥20(質(zhì)子數(shù)Z≥10和中子數(shù)N≥10)的877 個(gè)核電荷半徑中刪除了12 個(gè)核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值,基于剩下的865 個(gè)核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值,結(jié)合(1)式計(jì)算得到573 個(gè) dRn(Z,N),如圖4 所示,其中空心圈表示 dRn(Z,N) .從圖4 可看出,當(dāng)質(zhì)量數(shù)A≥54時(shí),dRn(Z,N)的統(tǒng)計(jì)性比較好;質(zhì)量數(shù)A<54 時(shí),dRn(Z,N)的統(tǒng)計(jì)性較差.

本文計(jì)算了質(zhì)量數(shù)A相同的原子核電荷半徑差的平均值,圖4 中的綠色曲線代表利用平均值得到的電荷半徑差曲線,由此曲線的特點(diǎn)研究分析得到3 個(gè)相鄰?fù)凰睾穗姾砂霃街g的新關(guān)系式:圖4 中的粗直線就是利用新關(guān)系式dRn(Z,N)0得到的,進(jìn)而,利用得到的新關(guān)系式結(jié)合(1)式來計(jì)算核電荷半徑.

圖4573 個(gè)原子核的dRn(Z,N)Fig.4.The dRn(Z,N) of 573 nuclei.

2.1 均方根誤差和不確定度

基于新關(guān)系式(2)得到核電荷半徑的計(jì)算公式:

由(3)式可知,一個(gè)原子核的電荷半徑等于其左右相鄰的兩個(gè)同位素核電荷半徑之和的一半,也可知新關(guān)系式在計(jì)算過程中僅涉及到2 個(gè)相鄰?fù)凰氐暮穗姾砂霃?關(guān)系式較為簡便,且CR2013數(shù)據(jù)庫中大量同位素核電荷半徑的特點(diǎn)是與我們研究同位素核電荷半徑之間關(guān)系的思想相符合,有助于我們更好地對數(shù)據(jù)庫進(jìn)行研究.此外,CR2013數(shù)據(jù)庫中有909 個(gè)實(shí)驗(yàn)值,利用(3)式就可以計(jì)算得到573 個(gè)核電荷半徑,由此可知這一新關(guān)系式對NCR2013 數(shù)據(jù)庫具有較好的研究能力.

通過(3)式結(jié)合CR2013 數(shù)據(jù)庫得到核電荷半徑的理論計(jì)算值,然后得到計(jì)算值與CR2013中的實(shí)驗(yàn)測量值之間的RMSD,公式為

由(3)式和(4)式計(jì)算得到的573 個(gè)核電荷半徑的計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值之間的RMSD 為0.00471 fm;當(dāng)研究Z,N≥ 2 的原子核電荷半徑時(shí),得到的RMSD 為0.0082 fm;當(dāng)原子核的范圍為Z <20 和Z≥20時(shí),得到的RMSD 分別為0.0261 fm 和0.0041 fm;當(dāng)A≥54 時(shí),得到518 個(gè)核電荷半徑的計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)值之間的RMSD 為0.00337 fm.其實(shí)由圖4 也可知,當(dāng)質(zhì)量數(shù)A較大時(shí),dRn(Z,N)的統(tǒng)計(jì)性更好,因此RMSD 會(huì)更小.文獻(xiàn)[14,15]利用原子核的新電荷半徑關(guān)系計(jì)算Z,N≥ 2 原子核電荷半徑得到的RMSD 為0.0078 fm;當(dāng)原子核的范圍為Z <20和Z≥20 時(shí),得到的RMSD分別為0.0194 和 0.0069 fm.由此可知,本文的新關(guān)系式研究Z,N≥ 2 原子核電荷半徑得到的RMSD和 dRn(Z,N)方法相差不大;當(dāng)研究Z≥20 原子核電荷半徑時(shí),RMSD 比 dRn(Z,N) 方法精確一些;當(dāng)研究Z <20 原子核的電荷半徑時(shí),RMSD比dRn(Z,N)方法要大,由此可知我們的新關(guān)系式可以與文獻(xiàn)[14,15]中的方法相媲美.此外,利用本文的新關(guān)系式研究Z,N≥ 2 原子核電荷半徑的RM SD 要比全局質(zhì)量關(guān)系[9,10,12]小一些,文獻(xiàn)[9,10]中利用HFB 理論得到的RMSD 為0.027 fm,文獻(xiàn)[12]基于WS 方法得到的RMSD 為0.022 fm.這里需要說明的是,由(2)式可以變換出其他兩個(gè)計(jì)算公式:R(Z,N+1)2R(Z,N)?R(Z,N ?1)和R(Z,N ?1)2R(Z,N)?R(Z,N+1),當(dāng)利用這兩個(gè)公式對不同區(qū)域的核電荷半徑進(jìn)行計(jì)算時(shí),RMSD 變?yōu)?3)式的2 倍.

另外,本文簡述了核電荷半徑理論計(jì)算值和預(yù)言值不確定度的計(jì)算方法.以(3)式為例,利用文獻(xiàn)[37?39]中的最大似然法程序可以得到573個(gè)核電荷半徑理論計(jì)算公式的不確定度(A) .由文獻(xiàn)[37,38]可以得到核電荷半徑預(yù)言值不確定度σpred(Z,N)的表達(dá)式:

其中σth(A) 的取值為質(zhì)量數(shù)A相同區(qū)域時(shí)不確定度(A)的值,σexp(Z,N+1)和σexp(Z,N ?1) 分別代表CR2013 數(shù)據(jù)庫中核電荷半徑R(Z,N+1) 與R(Z,N ?1)實(shí)驗(yàn)值的誤差或不確定度.

2.2 核電荷半徑的修正

上述計(jì)算結(jié)果表明,利用相鄰3 個(gè)同位素核電荷半徑之間的新關(guān)系式(2)得到核電荷半徑的計(jì)算值與CR2013 數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值符合得較好.本文主要利用同位素電荷半徑差(Z,N) 來計(jì)算核電荷半徑,所以(Z,N) 越精確就會(huì)得到越精確的核電荷半徑,下面研究奇偶擺動(dòng)修正項(xiàng)對核電荷半徑的影響.

由文獻(xiàn)[18]可知,大多數(shù)的同位素鏈,偶偶核的電荷半徑比相鄰兩個(gè)奇偶核半徑之和的平均值還要大,而奇奇核正好相反,奇奇核的電荷半徑比相鄰的兩個(gè)奇偶核半徑之和的平均值要小,因此接下來研究奇偶擺動(dòng)修正對核電荷半徑的影響,修正后的(Z,N) 為

其中,當(dāng)為偶偶核時(shí)δ=1,為奇奇核時(shí)δ=–1,為奇偶核和偶奇核時(shí)δ=0.基于最小二乘法得到的最佳擬合參數(shù)為:d=0.11,計(jì)算得到的RMSD為σ=0.00439 fm,減 小了0.00032 fm,減小約6.8%.由此可知,奇偶擺動(dòng)項(xiàng)的添加對核電荷半徑精確度的提高具有一定的意義.

3 核電荷半徑的預(yù)言

所有的模型和公式都是為了系統(tǒng)地研究核電荷半徑,此外,核電荷半徑的精確預(yù)言也是一項(xiàng)重要工作.本節(jié)基于CR1999,CR2004 和CR2013數(shù)據(jù)庫結(jié)合新關(guān)系式(2)來外推得到預(yù)言值,然后與已測得的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行比較,進(jìn)而來研究本文方法的精確性和可靠性.由(3)式變換得到核電荷半徑的預(yù)言公式:

基于CR1999 數(shù)據(jù)庫結(jié)合(7)式—(9)式得到核電荷半徑的預(yù)言值,這里需要說明的是CR1999數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值用CR2013 中新測得的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行替換.如果(7)式—(9)式中的3 個(gè)公式或其中2 個(gè)公式得到同一個(gè)核電荷半徑的預(yù)言值,則取它們的平均值.基于替換后的CR1999 數(shù)據(jù)庫得到約100 個(gè)預(yù)言值,其中42 個(gè)核電荷半徑的預(yù)言值在CR2013 數(shù)據(jù)庫中有相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)值,如表1 所列,把這些預(yù)言值列出來和實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比.其中2013Exp代表CR2013 數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值,Rth1代表利用替換后的CR1999 數(shù)據(jù)庫得到的預(yù)言值,dev1代表CR2013 數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值與預(yù)言值Rth1的差值.

表1 基于CR1999 數(shù)據(jù)庫得到的預(yù)言值與CR2013 數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比Table 1.Difference between the predicted values of nuclear charge radius (obtained by the CR1999 database) and experimental values in the CR2013 database.

利用CR2004 數(shù)據(jù)庫結(jié)合(7)式—(9)式得到核電荷半徑的預(yù)言值,這里需要說明的是CR2004數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值用CR2013 中新測得的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行替換.如果(7)式—(9)式中的3 個(gè)公式或其中2 個(gè)公式得到同一個(gè)核電荷半徑的預(yù)言值,也取它們的平均值.由于在CR2004 數(shù)據(jù)庫中已知核電荷半徑的同位素比CR1999 數(shù)據(jù)庫多,因此基于CR2004 數(shù)據(jù)庫得到的預(yù)言值要比CR1999更多一些.研究得到的約168 個(gè)預(yù)言值中,只有19 個(gè)核電荷半徑在數(shù)據(jù)庫CR2013 中有實(shí)驗(yàn)值.把這19 個(gè)預(yù)言值與CR2013 數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比,如表2 所列,2013Exp代表CR2013 數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值,Rth2代表基于替換后的CR2004 數(shù)據(jù)庫得到的預(yù)言值,dev2 代表CR2013 數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值與預(yù)言值Rth2的差值.

表2 基 于CR2004 數(shù)據(jù)庫得到的預(yù)言值與CR2013 數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比Table 2.Difference between the predicted values of nuclear charge radius (obtained by the CR2004 database) and experimental values in the CR2013 database.

由表1 和表2 可知,利用數(shù)據(jù)庫CR1999 和CR2004 結(jié)合本文的新關(guān)系式得到的預(yù)言值與CR 2013 中的實(shí)驗(yàn)值符合得較好.也可以知道,中質(zhì)量核和重核電荷半徑的預(yù)言值與實(shí)驗(yàn)值更接近.其實(shí)由圖4 也可得到該結(jié)論,因?yàn)橘|(zhì)量數(shù)A≥54 的原子核的 dRn(Z,N) 統(tǒng)計(jì)性更好,所以未知電荷半徑原子核的 dRn(Z,N) 預(yù)言值越精確,得到的核電荷半徑的預(yù)言值也越精確.

本文也利用核電荷半徑之間的新關(guān)系式結(jié)合CR2013 數(shù)據(jù)庫進(jìn)行預(yù)言,將得到的預(yù)言值與近期主流的一些核電荷半徑模型[25,33]的預(yù)言值進(jìn)行對比.文獻(xiàn)[25]利用原子核的新電荷半徑關(guān)系得到大量的核電荷半徑預(yù)言值Rnp,文獻(xiàn)[33]利用 δR的經(jīng)驗(yàn)公式與 WS?(Weizs?cker-Skyrme)模型得到的預(yù)言值分別為Remp和Rws,此外文獻(xiàn)[33]也利用δR的經(jīng)驗(yàn)公式與 WS?模型得到核電荷半徑加權(quán)平均值Remp-ws.本文基于CR2013 數(shù)據(jù)庫得到核電荷半徑的預(yù)言值約為200 個(gè),其中與文獻(xiàn)[25,33]有共同預(yù)言值的核電荷半徑個(gè)數(shù)為80,對比結(jié)果如圖5 所示.圖5(a)中的實(shí)心圓圈代表本文的預(yù)言值Rth3與文獻(xiàn)[25]中預(yù)言值Rnp之間的差值;圖5(b)—(d)中的實(shí)心正方形、實(shí)心菱形和實(shí)心三角形分別代表文獻(xiàn)[33]中的預(yù)言值Remp,Rws和Remp-ws與Rth3之間的差值.

由圖5 可知,本文的預(yù)言值與文獻(xiàn)[25,33]中利用幾種方法得到預(yù)言值的精度可以媲美.此外,本文的新公式也比較簡單方便,但是由于是以同位素核為基礎(chǔ)進(jìn)行研究的,所以只能依靠已知核電荷半徑的同位素核個(gè)數(shù)來預(yù)言,因此可預(yù)言的核電荷半徑的個(gè)數(shù)會(huì)受到限制.

圖5 基于CR2013 數(shù)據(jù)庫得到的預(yù)言值與其他模型[25,33]得到的預(yù)言值對比圖Fig.5.Difference for predicted values of nuclear charge radius between in our paper (obtained by the CR2013 database) and others’papers[25,33].

此外,近幾年實(shí)驗(yàn)上對于核電荷半徑的研究也很多[27,28,40?44],因此有許多新的核電荷半徑被測出來,表3 列出一些預(yù)言值與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對比.其中Rexp代表近幾年新測得的核電荷半徑,Rth3代表本文基于CR2013 得到的預(yù)言值,dev3 代表新測得的實(shí)驗(yàn)值Rexp與預(yù)言值Rth3之間的差值.由表3 可知,預(yù)言值與新測得的實(shí)驗(yàn)值之間的誤差比較小,37K和64Cu 的精 確度 甚至可以達(dá)到0.0011 fm 和0.005 fm.對比結(jié)果進(jìn)一步表明利用本文的新關(guān)系式結(jié)合數(shù)據(jù)庫得到核電荷半徑的預(yù)言值具有一定的可靠性.

表3 基于CR2013 數(shù)據(jù)庫得到的預(yù)言值與近幾年測得的實(shí)驗(yàn)值[27,28,40,41]進(jìn)行對比Table 3.Difference between the predicted values of nuclear charge radius (obtained by the CR2013 database) and experimental values in recent years.

以上的對比結(jié)果表明本文得到的新關(guān)系式可以較好地描述CR2013 數(shù)據(jù)庫,還可以結(jié)合CR1999,CR2004 和CR2013 數(shù)據(jù)庫對未知的核電荷半徑進(jìn)行預(yù)言,而且得到的預(yù)言值具有一定的精確性和可靠性.

4 結(jié)論

利用相鄰核電荷半徑之間的關(guān)系進(jìn)行研究具有一定的優(yōu)越性,因此,本文在文獻(xiàn)[13?15,25,33]的基礎(chǔ)上對CR2013 數(shù)據(jù)庫中質(zhì)量數(shù)A≥20 (質(zhì)子數(shù)Z≥10和中子數(shù)N≥10)的同位素鏈核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行了分析研究,進(jìn)而提出一個(gè)新的核電荷半徑關(guān)系式:原子核的電荷半徑等于其左右相鄰的兩個(gè)同位素核電荷半徑之和的一半.利用這個(gè)新的關(guān)系式結(jié)合CR2013 數(shù)據(jù)庫對質(zhì)量數(shù)A≥20(質(zhì)子數(shù)Z≥10和中子數(shù)N≥10)的核電荷半徑進(jìn)行計(jì)算,RMSD 僅為0.00471 fm;對質(zhì)量數(shù)A≥54 的核電荷半徑進(jìn)行擬合時(shí),得到理論值和實(shí)驗(yàn)值的RMSD 僅為0.00337 fm.同時(shí),為了得到更加精確的核電荷半徑的計(jì)算值,用文獻(xiàn)[18]提及的奇偶擺動(dòng)對 dRn(Z,N) 進(jìn)行修正,計(jì)算結(jié)果表明,偶擺動(dòng)修正項(xiàng)的添加對核電荷半徑精確度的提高比較明顯,使得RMSD 由0.00471 fm 減少到0.00439 fm,減小約6.8%.此外,利用新關(guān)系式結(jié)合CR1999 和CR2004 得到的預(yù)言值與CR2013數(shù)據(jù)庫中的實(shí)驗(yàn)值之間的誤差較小,而且利用新關(guān)系式結(jié)合CR2013 數(shù)據(jù)庫得到的預(yù)言值與重要的預(yù)言文獻(xiàn)[25,33]中的預(yù)言值較符合,與近幾年測得的核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值[27,28,40,41]也較接近.以上的研究結(jié)果表明,新的關(guān)系式可以較好地對核電荷半徑進(jìn)行計(jì)算和預(yù)言.

本文提出的核電荷半徑新關(guān)系在計(jì)算和預(yù)言的過程中較為簡便,涉及到的原子核僅為2 個(gè).此外,利用一個(gè)關(guān)系式結(jié)合CR2013 數(shù)據(jù)庫就可以得到573 個(gè)核電荷半徑的計(jì)算值且RMSD 還較小,得到的預(yù)言值與近幾年新測得的實(shí)驗(yàn)值也較接近.綜上所述,核電荷半徑的新關(guān)系式說明相鄰3 個(gè)原子核電荷半徑之間的關(guān)聯(lián)性比較高,同時(shí)也說明基于同位素鏈核電荷半徑的新關(guān)系計(jì)算和預(yù)言電荷半徑具有一定的精確性和可靠性,這會(huì)為今后的實(shí)驗(yàn)提供有意義的參考.