徐斌

（普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 普洱 665099）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

度量空間中關(guān)于點(diǎn)集的問(wèn)題[1-2]（導(dǎo)集、邊界、內(nèi)部等）是比較精細(xì)及抽象的，其在實(shí)變函數(shù)課程中具有重要的地位.傳統(tǒng)的定義及處理方式往往是用漢字語(yǔ)言加數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)描述及推理[3-8]，由于漢字語(yǔ)言不能直接參與“演算”，使得這些關(guān)于點(diǎn)集的問(wèn)題（運(yùn)算、關(guān)系等）處理起來(lái)非常困難，初學(xué)者普遍感到晦澀難懂.經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)研究與實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)如果采用一階量詞邏輯[9-10]語(yǔ)言來(lái)等價(jià)地描述相關(guān)概念，再借助量詞邏輯的推理演算方法，就可以清晰而簡(jiǎn)便地處理此類問(wèn)題，使得學(xué)習(xí)難度大為降低.因此，本文將論述及演示用一階量詞邏輯演算處理度量空間中點(diǎn)集問(wèn)題的方法.

設(shè)p是一個(gè)確定的條件，所謂條件是指對(duì)于任意的個(gè)體x，“x滿足條件p”與“x不滿足條件p”兩者必定有且只有一條成立.個(gè)體變?cè)脁表示，取定的個(gè)體常元用x0表示，稱p（x0），?x（p（x）），?x（p（x））為原子命題，其定義分別是：（1）p（x0），記作A=p（x0），若個(gè)體x0滿足條件p，則稱A為真命題；若個(gè)體x0不滿足條件p，則稱A為假命題.（2）?x（p（x）），記作A=?x（p（x）），若存在個(gè)體x0滿足條件p，則稱A為真命題；若對(duì)于任意一個(gè)個(gè)體x，x都不能滿足條件p，則稱A為假命題.（3）?x（p（x）），記作A=?x（p（x）），若對(duì)于任意一個(gè)個(gè)體x，x都可以滿足條件p，則稱A為真命題，若存在個(gè)體x0不滿足條件p，則稱A為假命題.

設(shè)A,B是原子命題，則稱A?B，AˇB，A→B，┑A(chǔ)，A?B為命題，其定義分別是：（1）A?B，稱為A,B的合取命題，記作C=A?B，當(dāng)且僅當(dāng)A,B都為真命題時(shí)C為真命題，其余情況C為假命題.（2）AˇB，稱為A,B的析取命題，記作C=AˇB，當(dāng)且僅當(dāng)A,B都為假命題時(shí)C為假命題，其余情況C為真命題.（3）A→B，稱為A,B的蘊(yùn)含式命題，記作C=A→B，當(dāng)且僅當(dāng)A為真命題且B為假命題時(shí)C為假命題，其余情況C為真命題.（4）┑A(chǔ)，稱為A的否命題，記作C=┑A(chǔ)，若A為真命題，則C為假命題；若A為假命題，則C為真命題.（5）A?B，稱為A,B的等價(jià)式命題，記作C=A?B，則C=（A→B）?（B→A）.

本文所說(shuō)的一階量詞邏輯公式是指由A?B，AˇB，A→B，┑A(chǔ)，A?B5 種命題運(yùn)算經(jīng)過(guò)有限次復(fù)合代入所生成的式子.設(shè)A,B都是命題，若A?B是真命題，則稱A,B等價(jià)，記作A?B，在一階量詞邏輯公式中等價(jià)的命題可以相互替換，即若A?B，則φ（A）?φ（B）；若A→B是真命題，則稱命題A可以推出命題B，記作A?B，平時(shí)所用的許多不同的推理模式都是從這種恒真蘊(yùn)含式獲得的.

給出一些常用的運(yùn)算及等價(jià)代換與推理的公式：

（1）關(guān)于一般命題的公式，設(shè)A,B,C都是命題，則有（A?B）?C?A?（B?C），（AˇB）ˇC?Aˇ（BˇC），A?B?B?A，AˇB?BˇA，A?（BˇC）? （A?B）ˇ（A?C），Aˇ（B?C）? （AˇB）?（AˇC），┑（A?B）? （┑A(chǔ)）ˇ（┑B），┑（AˇB）? （┑A(chǔ)）?（┑B），A→B? （┑A(chǔ)）ˇB，┑（┑A(chǔ)）?A.

（2）關(guān)于量詞的公式，主要有：?x?Ω（p（x））??x（x?Ω →p（x））；?x?Ω（p（x））??x（x?Ω ?p（x））；┑（?x（p（x）））??x（┑（p（x）））；┑（?x（p（x）））??x（┑（p（x）））；?x?y（p（x,y））??y?x（p（x,y））；?x?y（p（x,y））??y?x（p（x,y））；?x（p（x）?q（x））??x（p（x））??x（q（x））；?x（p（x）ˇq（x））??x（p（x））ˇ?x（q（x））；?x（p（x）?q（x））??x（p（x））??x（q（x））；?x（p（x））ˇ?x（q（x））??x（p（x）ˇq（x））；?x?y（p（x,y））??y?x（p（x,y））.

2 方法及路徑

用一階量詞邏輯演算方法處理度量空間中的點(diǎn)集問(wèn)題，首先要將這些點(diǎn)集的傳統(tǒng)定義等價(jià)地翻譯成一階量詞邏輯公式，然后借助一階量詞邏輯演算及一些等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)演算推理.

2.1 相關(guān)概念的邏輯描述

度量空間（R,d）的度量為d，集合稱為以x0為心δ為半徑的鄰域，記作U δ（x0）；集合稱為以x0為心δ為半徑的去心鄰域，記作設(shè)E為實(shí)數(shù)集R中的一個(gè)給定點(diǎn)集，x0是R中的一個(gè)點(diǎn)，則

（1）x0是點(diǎn)集E的聚點(diǎn)，E的所有聚點(diǎn)組成的集合稱為E的導(dǎo)集，記作E′.

（2）x0是點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)??δ＞0（Uδ（x0）?E），E的所有內(nèi)點(diǎn)組成的集合稱為E的內(nèi)部，記作.

（3）x0是點(diǎn)集E的外點(diǎn)??δ＞0（Uδ（x0）∩E=?），E的所有外點(diǎn)組成的集合稱為E的外部，記作Ee.

（4）x0是點(diǎn)集E的界點(diǎn)，E的所有界點(diǎn)組成的集合稱為E的邊界，記作?E.

（5）x0是點(diǎn)集E的觸點(diǎn)??δ＞0（Uδ（x0）∩E≠?），E的所有觸點(diǎn)組成的集合稱為E的閉包，記作.

（6）x0是點(diǎn)集E的孤立點(diǎn)?x0?E-E′.

2.2 等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法與路徑

等價(jià)轉(zhuǎn)化主要包括集合與條件的轉(zhuǎn)化、集合運(yùn)算式與集合關(guān)系式的轉(zhuǎn)化、集合關(guān)系式與邏輯公式之間的轉(zhuǎn)化.集合與條件的轉(zhuǎn)化遵循基本原理1.

基本原理1.

設(shè)A是集合，且，則x?A?p（x）.

設(shè)A,B是集合，利用A=B?A?B?B?A，A∩B=A?A?B，A∪B=A?B?A，A∩B=? ?A?Bc，A∪B=? ?A=B=?等可以實(shí)現(xiàn)集合運(yùn)算式與集合關(guān)系式之間的轉(zhuǎn)化.

集合關(guān)系式與邏輯公式之間的轉(zhuǎn)化主要遵循2個(gè)基本原理：

基本原理2A?B??x（x?A→x?B）.

基本原理3A=? ??x（x?A）.

設(shè)A,B是集合，且.由基本原理2可知，要證明A?B等價(jià)于要證明?x（q1（x）→q2（x））；進(jìn)一步，若要證明A=B，等價(jià)于要證明?x（q1（x）?q2（x））.這樣的過(guò)程實(shí)現(xiàn)了集合關(guān)系式與邏輯公式之間的相互轉(zhuǎn)化.

3 幾個(gè)常用重要公式的邏輯演算證明

命題1對(duì)于度量空間中的點(diǎn)集E，有

命題2對(duì)于度量空間中的點(diǎn)集E，有E′?E′.

證明顯然E′?E′??x（x?E′→x?E′）.由于

命題3對(duì)于度量空間中的點(diǎn)集A,B，有（A∪B）′=A′∪B′.

命題4對(duì)于度量空間中的點(diǎn)集A,B，有（A∩B）′?A′∩B′.

證明顯然（A∩B）′?A′∩B′??x（x?A′∩B′→x?（A∩B）′）.由于

命題5A×B為度量空間中點(diǎn)集A,B的笛卡爾積，則有

證明由閉包的定義可知，原命題等價(jià)于（A×B）′=（A′×B）∪（A×B′）∪（A′×B′）.

4 結(jié)語(yǔ)

研究發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)集運(yùn)算是最為基本的集合運(yùn)算，其他運(yùn)算都可以借助求導(dǎo)及交、并、差等初等運(yùn)算得以定義.故而，只要掌握了關(guān)于導(dǎo)集運(yùn)算的基本性質(zhì)就可以推導(dǎo)出其余4個(gè)運(yùn)算所具有的性質(zhì)與規(guī)律.

實(shí)踐表明，利用一階量詞邏輯演算的方法來(lái)證明這些抽象精細(xì)的命題是清晰而簡(jiǎn)便的.進(jìn)一步地，還可以仿照以上方法簡(jiǎn)便地證明常用公式：