李樊，聶曉梅

（湖北文理學院附屬醫(yī)院 襄陽市中心醫(yī)院 骨科，湖北 襄陽 441021）

轉(zhuǎn)子存在人類心臟中，在心動過速或者心臟顫動中發(fā)揮重要作用.轉(zhuǎn)子在二維平面的運動形成螺旋波，心臟的電激動在心肌二維平面上傳播主要以行波（平面波）、靶波（環(huán)形波）、螺旋波3 種形式存在[1]，其中行波和環(huán)形波是穩(wěn)定的波，而螺旋波波頭是個奇異點，該點由于不穩(wěn)定會誘發(fā)多個波頭，從而形成時空混沌.臨床上使用除顫儀在胸外應(yīng)用電復律和電除顫器通過釋放高能電脈沖將各種異位快速心律失常轉(zhuǎn)復為竇性心律，或者使用IC 類抗心律失常藥物可以減少子波的數(shù)量抑制房顫的發(fā)生.如果臨床上除顫不徹底，就會導致旋轉(zhuǎn)著的螺旋波破碎成多中心的漩渦，繼而破壞細胞組織，會進一步引發(fā)心臟纖維的顫動.因此，螺旋波的形成及控制才成為實驗和臨床上人們研究的熱點.本文主要通過數(shù)值模擬方法再現(xiàn)螺旋波及其破碎形成時空混沌的控制過程.

1 螺旋波的數(shù)值模擬

心律失常過程中，螺旋波通常是驅(qū)動或者室顫的起源，它是在二維空間中自組織形成的彎曲的渦流，而在三維空間中稱為回卷波[2-3].穩(wěn)定的螺旋波的中心尖端（非線性動力學上稱之為奇異點或者波頭），可以根據(jù)心臟的電生理特性選可激發(fā)介質(zhì)來模擬，該介質(zhì)可以借助于非線性動力學方程再現(xiàn)心肌組織的可激發(fā)狀態(tài)，通過調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)模擬行波、靶波、螺旋波和時空混沌[4]1635.

2 4 種波的形成

一般選擇運算效率高的B?r 模型[5]來模擬可激發(fā)介質(zhì)中4 種常見波動的產(chǎn)生，構(gòu)建驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)可以用動力學方程組描述：

式中：u是快變量；v是慢變量；ab，和ε是非線性系統(tǒng)的參數(shù)；D是系統(tǒng)的擴散系數(shù)，可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)形成激發(fā)性不同的介質(zhì)，選取近似于大小為50×50 的可激發(fā)介質(zhì)區(qū)域，離散的格點數(shù)為128×128，時間步長為0.02，空間步長0.39，分別使用一階歐拉向前差分方法和五點差分格式作用于時間導數(shù)和空間導數(shù)上，同時使用無流邊界條件作用于系統(tǒng)邊界.

2.1 行波

行波是平面波的一種，如果激發(fā)源是一條線，該激發(fā)波沿著二維可激發(fā)介質(zhì)邊緣興奮，則會產(chǎn)生一個橫向的組織的平面波，在數(shù)值模擬中采取賦值方法.行波的形成過程見圖1.

圖1 行波的形成過程

2.2 靶波

靶波是環(huán)形波的一種，如果激發(fā)源是一個點源，該激發(fā)波在心肌二維平面的某一點發(fā)放電激動，將以環(huán)形波形式向周圍傳播，在數(shù)值模擬中采取賦值方法.靶波的形成過程見圖2.

圖2 靶波的形成過程

2.3 螺旋波

螺旋波是轉(zhuǎn)子，可以在行波傳播中制造奇異點，即在中間截斷形成端點，由于截斷窗曲率不一樣會自然彎曲.螺旋波的形成過程見圖3.

圖3 螺旋波的形成過程

2.4 時空混沌

通過調(diào)節(jié)參數(shù)，讓旋轉(zhuǎn)的螺旋波漫游，螺旋波的波臂出現(xiàn)了不同程度的彎曲變形，相互擠壓碰撞，然后斷裂形成時空混沌.時空混沌的形成過程見圖4.

圖4 時空混沌的形成過程

3 螺旋波的實驗控制

控制螺旋波的方法有很多，首先是全局驅(qū)動[4，6-7]，即在該可激發(fā)介質(zhì)中加入穩(wěn)定周期的信號，該方法時間短、效果好，但作用面積大；其次是局部驅(qū)動[8]，以小面積的注入周期信號引起全局的穩(wěn)定，該方法時間長，但作用面積?。辉僬呔褪峭饧与妶鯷9-10]，將螺旋波控制成靜息態(tài)；最后是參數(shù)微擾，加入噪聲亦可將其控制成靜息態(tài).

本文主要采用全局單向驅(qū)動耦合控制方法，利用靶波或者行波抑制螺旋波以及其不穩(wěn)定破碎形成的時空混沌.由于模擬的是可激發(fā)介質(zhì)，因此控制參數(shù)為：空間步長dx=0.39，dy=0.39，時間步長dt=0.02，激發(fā)參數(shù)ε=0.03，系統(tǒng)參數(shù)a=0.84，b=0.07，在此情況下，系統(tǒng)產(chǎn)生的介質(zhì)為可激發(fā)介質(zhì).

單向耦合控制方法為：將下標標記為1 的作為驅(qū)動系統(tǒng)，下邊標記為2 的作為響應(yīng)系統(tǒng)，在響應(yīng)系統(tǒng)中快變量u2方程右邊加入驅(qū)動向u1，構(gòu)成單向驅(qū)動項，式（2）中c是耦合系數(shù)，文中取值為1.首先讓2個系統(tǒng)分別演化產(chǎn)生一定區(qū)域的斑圖，然后在一定時間后加入線性耦合項，該耦合稱為單向驅(qū)動耦合，其時間短、控制效率高，易于應(yīng)用在臨床上.

4 數(shù)值模擬方法和結(jié)果

（1）利用靶波驅(qū)動螺旋波，在二維平面介質(zhì)中形成螺旋波和靶波，在第2 500 個時步加入耦合，從左到右依次為2 505，2 510，2 550，3 000 時步.靶波驅(qū)動螺旋波過程見圖5.

圖5 靶波驅(qū)動螺旋波過程

（2）利用靶波驅(qū)動時空混沌，在二維平面介質(zhì)中形成時空混沌和靶波，在第2 500 個時步加入耦合，從左到右依次為2 505，2 510，2 550，3 000 時步.靶波驅(qū)動時空混沌過程見圖6.

圖6 靶波驅(qū)動時空混沌過程

不管是螺旋波還是時空混沌，在加入穩(wěn)定的靶波后，經(jīng)過單向驅(qū)動耦合都可以將其控制成穩(wěn)定態(tài)，即穩(wěn)定的靶波，而且控制時間短.

（3）利用行波驅(qū)動螺旋波，在二維平面介質(zhì)中形成螺旋波和行波，在第2 500 個時步加入耦合，從左到右依次為2 505，2 510，2 550，3 000 時步.行波驅(qū)動螺旋波過程見圖7.

圖7 行波驅(qū)動螺旋波過程

（4）利用行波驅(qū)動時空混沌，在二維平面介質(zhì)中形成時空混沌和行波，在第2 500 個時步加入耦合，從左到右依次為2 505，2 510，2 550，3 000 時步.行波驅(qū)動時空混沌過程見圖8.

圖8 行波驅(qū)動時空混沌過程

同樣不管是螺旋波還是時空混沌，在加入穩(wěn)定的行波后，經(jīng)過單向驅(qū)動耦合都可以將其控制成穩(wěn)定態(tài)，即穩(wěn)定的行波，而且控制時間也短.

從4 幅螺旋波或者時空混沌被控制過程可以看出，無論是選擇環(huán)形波（靶波）或者平面波（行波）作為驅(qū)動系統(tǒng)，在短時間內(nèi)都可以將其控制成穩(wěn)定態(tài)，從而抑制心臟中螺旋波和時空混沌的發(fā)生.

5 結(jié)論和展望

以可激發(fā)介質(zhì)為例，利用單向驅(qū)動耦合方法抑制心臟介質(zhì)中形成的螺旋波和時空混沌，該方法選擇穩(wěn)定的靶波或者螺旋波作為驅(qū)動系統(tǒng)，螺旋波和時空混沌作為被控制的系統(tǒng)，在短時間內(nèi)可以將其控制成穩(wěn)定的平面波或者環(huán)形波.根據(jù)文獻[1]關(guān)于螺旋波一文中指出心臟電激動在二維心肌切面發(fā)生和傳播的存在形式主要有平面波（激動波沿心肌二維平面的邊緣興奮與傳播時則產(chǎn)生一個橫過組織的平面波，如圖1）、環(huán)形波（在心肌二維平面的某一點發(fā)放電激動后，將以環(huán)形波形式向周圍傳播，如圖2）和螺旋波（當激動的波峰從心肌平面組織的一條窄帶傳導到一個相鄰大的區(qū)域或通過一個峽部時，傳導可能遇到一定心肌組織處于不應(yīng)期而發(fā)生波形阻滯，可視為單向阻滯，結(jié)果形成一個新的波形起點而進入周圍可激動的心肌組織，并形成螺旋波，如圖3）3 種形式，以及螺旋波在某種情況下失穩(wěn)變成時空混沌（無序狀態(tài)，如圖4）.臨床上證實螺旋波的存在，利用數(shù)值模擬方法產(chǎn)生螺旋波以及其參數(shù)擾動不穩(wěn)產(chǎn)生的時空混沌，在此狀態(tài)下，利用穩(wěn)定的行波或者靶波去單向驅(qū)動螺旋波或者時空混沌，從而控制成穩(wěn)定態(tài).因此，實驗上消除螺旋波和失穩(wěn)形成的時空混沌最簡單的辦法就是利用其自身存在的平面波和環(huán)形波去控制螺旋波以及不穩(wěn)形成的時空混沌，該方法有望應(yīng)用到臨床上.