郭煜

（陜西郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西咸陽 712000）

1 引言

近年來，應(yīng)用數(shù)學(xué)相關(guān)研究者與工程技術(shù)相關(guān)研究者一直將研究的重點(diǎn)放在針對(duì)非線性方程組求解方法探索中[1]。從上世紀(jì)90 年代開始，越來越多的數(shù)學(xué)家將研究的核心內(nèi)容放在非線性方程求解的研究中。各國學(xué)者提出眾多有效求解方法，其中最為有效的方法包括進(jìn)化計(jì)算方法、牛頓法以及數(shù)值迭代法等[2-3]。使用數(shù)值迭代法對(duì)非線性方程組求解是目前學(xué)術(shù)界使用最為常見和經(jīng)典的方法。Newton-Raphson迭代法是所有數(shù)值迭代法的基礎(chǔ)，該迭代方法具有較快的收斂速度和較強(qiáng)的局部二階收斂性[4]。但是該迭代算法的計(jì)算過程較為復(fù)雜，每實(shí)現(xiàn)一次迭代都需要對(duì)Jacobi矩陣實(shí)行計(jì)算，再對(duì)線性方程組求解；而且Newton-Raphson迭代法在選擇初值時(shí)具有較強(qiáng)的敏感性，很難獲得收斂至所需解的初值；一旦Jacobi 矩陣陷入奇異中或者接近奇異，Newton-Raphson迭代法則不能繼續(xù)迭代。近年來還有學(xué)者將遺傳算法作為基礎(chǔ)對(duì)非線性方程組求解[5]，該方法通用性較強(qiáng)，但是在實(shí)際使用過程中仍舊遇到很多無法解決的問題。

上世紀(jì)末，廣大學(xué)者對(duì)于集群智能相關(guān)研究產(chǎn)生極大興趣，該時(shí)期涌現(xiàn)出許多具有代表性的集群智能方法，如粒子群算法和蟻群算法。其中粒子群算法主要是仿真簡化社會(huì)模型，該算法的主要思想來源于魚類和鳥類的集群現(xiàn)象和人工生命理論，是極具代表性的集群智能方法之一[6-7]。與蟻群算法類似，粒子群算法也是將群體作為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。粒子群算法具有以下三個(gè)特點(diǎn)：賦予各粒子隨機(jī)速度，使得每個(gè)粒子都能在問題空間內(nèi)自由流動(dòng)；經(jīng)過粒子之間相互競爭與合作實(shí)現(xiàn)粒子的進(jìn)化；每個(gè)粒子都具有極強(qiáng)的記憶功能[9-11]。國內(nèi)外各類學(xué)者都對(duì)粒子群算法實(shí)行深入研究，逐漸發(fā)現(xiàn)粒子群算法存在穩(wěn)定性較差收斂速度較慢等問題，因此提出一種粒子群優(yōu)化算法，該算法經(jīng)過各類學(xué)者的反復(fù)驗(yàn)證，確定粒子群優(yōu)化算法具有收斂速度快、快速實(shí)現(xiàn)全局最優(yōu)、概念簡單、實(shí)現(xiàn)便捷、參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，被學(xué)術(shù)界廣泛認(rèn)可?；诹Ｗ尤核惴ǖ膬?yōu)秀特性，在電力、經(jīng)濟(jì)、水利、函數(shù)優(yōu)化等大規(guī)模組合優(yōu)化問題內(nèi)應(yīng)用廣泛[12]。由于粒子群優(yōu)化算法極強(qiáng)的高效并行能力，在多峰值、非線性以及不可微等復(fù)雜問題方面都有極廣泛的應(yīng)用。

本文將非線性方程組的求解問題轉(zhuǎn)換為函數(shù)優(yōu)化問題，將改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法作為基礎(chǔ)，對(duì)非線性方程組求解。

2 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法分析

2.1 粒子群優(yōu)化算法

在自然環(huán)境下，學(xué)者通過實(shí)際觀察鳥類集群中對(duì)事物實(shí)行搜索時(shí)的行為獲得啟示，研究出粒子群優(yōu)化算法。通過總結(jié)個(gè)體自身經(jīng)驗(yàn)并且共享個(gè)體之間的信息，將個(gè)體行動(dòng)策略修正，獲得最終優(yōu)化問題解。在粒子群優(yōu)化算法內(nèi)，粒子在搜索空間內(nèi)等同于優(yōu)化問題的各潛在解，根據(jù)優(yōu)化函數(shù)確定全部粒子的各個(gè)適應(yīng)值。各粒子的飛翔距離與飛翔方向由各個(gè)粒子的速度決定，在解空間內(nèi)，最優(yōu)粒子實(shí)行搜索時(shí)會(huì)有很多粒子在其后跟隨。粒子群優(yōu)化算法在初始階段會(huì)生成蟻群隨機(jī)粒子，經(jīng)過不斷迭代尋找到整個(gè)粒子群中的最優(yōu)解。粒子群算法優(yōu)化過程中，將各粒子的不同認(rèn)知域作為基礎(chǔ)，使粒子群算法性能得到提高。粒子的認(rèn)知域是指將粒子在計(jì)算當(dāng)下所能得到的最好位置作為中心，當(dāng)前適應(yīng)度作為半徑劃分的區(qū)域。所謂最大認(rèn)知域(Maximum Cognitive Domain，MCD)就是指這個(gè)區(qū)域的邊界位置。第i個(gè)粒子的最大認(rèn)知域?yàn)椋?/p>

式中，fiti(l)表示第i個(gè)粒子的適應(yīng)度值；maxfiti(l)表示第i個(gè)粒子在當(dāng)下能夠獲取的最佳適應(yīng)度值。

假設(shè)存在某個(gè)粒子，該粒子在認(rèn)知域內(nèi)的飛行方向被稱為認(rèn)知方向C：

式中，PBest(k，l)與disPBest分別表示某個(gè)粒子在l時(shí)刻k變量下能夠獲得的最佳值與最佳值各位變量平方和，disPBest=；D代表粒子變量維數(shù)。粒子發(fā)揮本身能力找到的最優(yōu)解(也被稱為個(gè)體極值)使用式(3)表示：

式中，r1(t)與r2(t)均代表(0，1)之中隨機(jī)數(shù)；w表示PBest(k，l)的飛行率，通常情況下取值為0．001至0．01。

全部粒子種群在一定時(shí)間段內(nèi)所能找到的最優(yōu)解為全局極值，使用gBest表示。歷次迭代過程中更新粒子時(shí)需要對(duì)兩個(gè)“極值”實(shí)行跟蹤得以實(shí)現(xiàn)更新。通過式(4)和式(5)各個(gè)粒子實(shí)現(xiàn)自身位置與速度的更新：

式中，φ0與vt分別表示慣性常數(shù)和第t次迭代時(shí)粒子的速度，xt與φ1、φ2分別表示第t次迭代時(shí)粒子空間位置與各學(xué)習(xí)因子。

2.2 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法

在粒子群優(yōu)化算法中，各個(gè)粒子不會(huì)對(duì)除自身以外的粒子活動(dòng)情況加以考慮，更新自身距離與位置時(shí)只會(huì)考慮各粒子自己的個(gè)體極值與全局極值，所以在整個(gè)解空間中，粒子群的搜素方式呈現(xiàn)單向性。本文所使用的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法，排序粒子群中的粒子時(shí)依據(jù)的規(guī)則為對(duì)應(yīng)各個(gè)粒子個(gè)體極值的適應(yīng)值大小，修正各粒子下一次迭代的行動(dòng)策略時(shí)需要選擇前n個(gè)粒子信息[13]。由此可以看出本文所使用的改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法在解空間內(nèi)實(shí)行搜索時(shí)粒子群內(nèi)的全部粒子實(shí)行多方向性均勻搜索，將改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的全局收斂性與計(jì)算精度有效提高，式(6)與式(7)表示改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的基本公式：

式中，r2i(t)與φ2i分別代表(0，1)中的隨機(jī)數(shù)和學(xué)習(xí)因子。

適應(yīng)值大小與全部粒子中粒子個(gè)體極值對(duì)應(yīng)，按照適應(yīng)值大小對(duì)粒子排序，取排序完成后的前n個(gè)粒子，這些粒子在整個(gè)解空間內(nèi)所處的位置即為gBest，其中n＜m。根據(jù)式(6)可得出判斷：n=1 的特例即為常見的粒子群優(yōu)化算法。常規(guī)情況下，若想求解效果較好，則需要設(shè)定40至60個(gè)粒子作為粒子群數(shù)目，如果求解問題比較特殊，則可以適當(dāng)將粒子數(shù)目增加。粒子最大速度vmax會(huì)在歷次迭代過程中限制個(gè)粒子的運(yùn)行速度。最大速度vmax變量變化范圍控制在10%至20%之間變能實(shí)行局部搜索能力與全局搜索能力的平衡。

2.3 求解非線性方程組

求解非線性方程組時(shí)，根據(jù)定理，||F(x)||2全局極小值點(diǎn)與非線性方程組F(x)=0是等價(jià)的[14]。求解非線性方程組的具體過程如下：(1)將改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法中的粒子速度vt+1與位置xt+1以及整個(gè)粒子群的種群規(guī)模N初始化，把最大迭代次數(shù)max iterations與終止條件精度eps確定下來；(2)設(shè)定目標(biāo)函數(shù)：非線性方程組||F(x)||2，對(duì)各粒子的適應(yīng)度值fit(l)實(shí)行計(jì)算，將各粒子的位置vt+1與適應(yīng)度值fit(l)存儲(chǔ)起來，從中選出最佳適應(yīng)度的粒子位置，使用FBest表示；(3)利用式(6)和式(7)進(jìn)化操作各粒子；(4)對(duì)于進(jìn)化完成的粒子確定極值，刷新整個(gè)粒子群體的歷史最優(yōu)位置以及粒子歷史最優(yōu)位置；(5)不斷重復(fù)第(4)個(gè)計(jì)算步驟，一直到算法滿足終止條件。

3 算例分析

本文實(shí)驗(yàn)研究分別從改進(jìn)粒子群算法性能以及求解分線性方程組兩個(gè)方面開展。

3.1 改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法性能分析

在測(cè)試求解非線性方程組方法性能時(shí)，選取3個(gè)測(cè)試函數(shù)對(duì)方法的性能實(shí)行測(cè)試，3個(gè)測(cè)試函數(shù)分別為球曲面(Sphere)函數(shù)、非凸(Rosenbrock)函數(shù)以及格里旺克(Griewank)函數(shù)，3 個(gè)測(cè)試函數(shù)如式(8)所示。各測(cè)試函數(shù)的最優(yōu)值均為0。為對(duì)比本文方法性能，使用大型線性方程組求解的可驗(yàn)證外包方法與兩類五階解非線性方程組的迭代方法與本文方法形成對(duì)比，這兩個(gè)對(duì)比方法分別為文獻(xiàn)[4]算法與文獻(xiàn)[5]方法。性能分析在Matlab仿真平臺(tái)下開展，將3種測(cè)試函數(shù)直接輸入到Matlab仿真平臺(tái)的工具箱中，方便調(diào)用。

分析三種方法在各測(cè)試函數(shù)下的平均適應(yīng)度函數(shù)，在測(cè)試過程中，將粒子群種群規(guī)模、粒子維數(shù)以及整體粒子群的粒子最優(yōu)位置這三類實(shí)驗(yàn)參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置，平均適應(yīng)度值結(jié)果見表1。從表1中能夠看出，在實(shí)驗(yàn)各影響參數(shù)條件相同的情況中，本文方法無論在哪種測(cè)試函數(shù)之下，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于另兩種對(duì)比方法的平均適應(yīng)度值。在反復(fù)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中也證明本文方法具有良好的穩(wěn)定性，歷次實(shí)驗(yàn)中都能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)值，沒有出現(xiàn)失敗情況。

表1 平均適應(yīng)度值

以球曲面(Sphere)函數(shù)f1為例，分析3 種方法的尋優(yōu)情況，結(jié)果見圖1。從圖1能夠看出，文獻(xiàn)[4]方法尋優(yōu)能力較差，隨著迭代次數(shù)的增加，粒子適應(yīng)度始終在降低，尋優(yōu)能力較差；文獻(xiàn)[5]方法雖然也實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)，但是速度較較慢，極易陷入局部最優(yōu)解；本文方法，能夠跳出局部最優(yōu)，尋優(yōu)性能較強(qiáng)。

圖1 尋優(yōu)曲線變化趨勢(shì)

針對(duì)各方法的在收斂過程中的穩(wěn)定情況，繪制圖2，分析各方法的穩(wěn)定情況。從圖2中能夠看出，文獻(xiàn)[4]方法和文獻(xiàn)[5]方法幾乎需要迭代次數(shù)達(dá)到560 次以上穩(wěn)點(diǎn)系數(shù)才能逐漸上升至0．90以上，而本文方法在迭代達(dá)到280次時(shí)便能實(shí)現(xiàn)收斂曲線迅速上升趨于平穩(wěn)，證明本文方法收斂速度較快，實(shí)現(xiàn)計(jì)算時(shí)精度較高。

圖2 收斂情況對(duì)比

3.2 非線性方程組求解

為了驗(yàn)證本文方法對(duì)于非線性方程組的求解效果，選取兩組非線性方程組作為求解對(duì)象，能夠本文方法對(duì)其求解，以下為分析過程及結(jié)果。

非線性方程組(1)：

依據(jù)上文研究，||F(x)||2全局極小值點(diǎn)與非線性方程組F(x)=0是等價(jià)的，所以非線性方程組f1(x)可以表示為F1(x)=，將變換后的非線性方程組作為目標(biāo)函數(shù)，使用本文方法對(duì)其求解，表2位求解結(jié)果。

通過表2能夠看出，使用本文方法弄夠?qū)Ψ蔷€性方程求解，具有較高的使用價(jià)值。

表2 非線性方程組求解結(jié)果

非線性方程組(2)：

非線性方程(2)的計(jì)算過程與非線性方程(1)的計(jì)算過程原理相同，通過F2(x)表示f2(x)。表3和表4分別為具體求解結(jié)果以及三種方法對(duì)分線性方程組求解結(jié)果比較。通過表3與表4中的非線性方程組求解結(jié)果以及比較結(jié)果可以看出本文方法求解結(jié)果較為精準(zhǔn)，沒實(shí)行一次計(jì)算便能獲得一次求解結(jié)果，由此證明具有100%的概率求出非線性方程組的結(jié)果。且本文方法的求解精度較高。同時(shí)本文方法具有計(jì)算過程簡單，所需參數(shù)較少等特點(diǎn)，再對(duì)非線性方程組求解過程中具備一定優(yōu)勢(shì)。

表3 非線性方程組求解結(jié)果

表4 求解結(jié)果比較

4 結(jié)束語

本文將改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法作為基礎(chǔ)，利用粒子全砌墻的收斂性能，實(shí)現(xiàn)非線性方程組的有效求解，使用該方法求解，具有快速高效的特點(diǎn)，所求得的非線性方程組解精度較高，與同類方法相比具有一定優(yōu)勢(shì)。利用仿真平臺(tái)開展實(shí)驗(yàn)證明該方法具有良好的有效性與可行性，從多角度開展實(shí)驗(yàn)證明該方法具有高效利用性，為非線性方程組的求解計(jì)算拓展新的研究方向。

對(duì)于非線性方程組的相關(guān)研究一直是數(shù)學(xué)專業(yè)研究人員一直關(guān)注的問題，在今后的研究中，可以從各種細(xì)化角度開展，例如通過優(yōu)化參數(shù)實(shí)現(xiàn)非線性方程的精度求解；探尋是否存在更加簡便快捷的方式或算法，進(jìn)一步精確求解非線性方程組。