楊春霞
(江蘇省南京市第二十九中學(xué)初中部 210003)
諸士金
(江蘇省南京市橫梁初級中學(xué) 211515)
在解題教學(xué)中,部分教師只是教給學(xué)生具體的解法,而對問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)揭示得不夠全面.選取有價值的試題素材,有策略地進(jìn)行解題教學(xué),讓解題思路有跡可循,讓學(xué)生有法可依、學(xué)會解題通法,應(yīng)是解題教學(xué)的價值訴求.筆者以在中考復(fù)習(xí)教學(xué)中遇到的一道2021年南京市中考填空壓軸題為例,進(jìn)行有關(guān)解題教學(xué)的思考.
圖1
(2021年南京中考第16題)如圖1,將ABCD
繞點A
逆時針旋轉(zhuǎn)到AB
′C
′D
′的位置,使點B
′落在BC
上,B
′C
′與CD
交于點E.
若AB
=3,BC
=4,BB
′=1,則CE
的長為.
本題以平行四邊形為基礎(chǔ)圖形,通過旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行構(gòu)圖,呈現(xiàn)形式簡潔優(yōu)美,題小意長.試題立足幾何核心知識,綜合考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、圖形運(yùn)動的相關(guān)性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及方程(組)思想等初中數(shù)學(xué)的主要知識點.考查內(nèi)容較為全面,需要學(xué)生借助幾何直觀和空間想象感知平行四邊形在旋轉(zhuǎn)變換過程中的“變”與“不變”,厘清圖形局部元素中角、線段之間的關(guān)系,并能在較為復(fù)雜的模型中把握圖形整體之間的關(guān)聯(lián),構(gòu)建解決數(shù)學(xué)問題的有效模型,形成有條理、合乎邏輯的解題路徑.試題在解法上貫徹了求線段長度的通性通法,教師可以通過類似素材的解題教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和理性精神.
圖2
此題是一道填空題,題型雖小,難度卻不小.進(jìn)行小題大做,深挖素材隱含的數(shù)學(xué)知識與解題方法,才能凸顯其教學(xué)價值.本題點B
′落在BC
上,則點D
恰好落在D
′C
′上,看似巧合,實則必然.這點可以利用同一法簡要說明:如圖2,連結(jié)DD
′,易證△ABB
′∽△ADD
′,故∠B
=∠AB
′B
=∠ADD
′=∠AD
′D.
又∠B
=∠AB
′C
′,且∠AB
′C
′=∠AD
′C
′,所以∠AD
′C
′=∠AD
′D
,即點D
在線段D
′C
′上.由點B
和點D
位置的特殊性,使得圖形整體關(guān)系豐富,能夠產(chǎn)生很多相似圖形.因此本題的構(gòu)圖視野寬、解題路徑廣,宜為教學(xué)所用.下面從相似基本圖形的角度出發(fā),進(jìn)行解法分析與通法探究.CE
所在三角形△B
′CE
為直接研究對象,嘗試尋找或構(gòu)造與之成X型相似的基本圖形.圖3 圖4
方法1
如圖3,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知AB
=AB
′,AD
=AD
′,∠DAD
′=∠BAB
′,所以△ABB
′∽△ADD
′,從而由AB
=3,AD
=4,BB
′=1,得到易證△DEC
′∽△B
′EC
,得到即解得方法2
如圖4,過C
′作C
′M
∥BC
,交DC
于點M.
易證△DMC
′∽△ABB
′,則即解得因此由C
′M
∥BC
可得△B
′CE
∽△C
′ME
,所以即解得圖5
方法3
如圖5,延長AD
,B
′C
′交于點F.
易證△ABB
′∽△FAB
′,所以即解得AF
=9.易證△DEF
∽△CEB
′,所以即解得分析
本題由旋轉(zhuǎn)容易想到的是△ABB
′與△ADD
′相似,從而可得線段DD
′和DC
′的長度,后面很多方法都會用到DD
′和DC
′的長,不再贅述.方法1以CE
為研究對象,從直觀上感知△DEC
′與△B
′EC
呈X型相似,根據(jù)相似的性質(zhì),構(gòu)建比例式進(jìn)行求解.值得注意的是,這里的比例式其實隱含的是兩個關(guān)于EC
和EC
′的二元一次方程,對學(xué)生的代數(shù)推理能力和運(yùn)算能力要求較高,很多學(xué)生會被這兩組比例式困住,難以得解.方法2和方法3均以CE
所在的△B
′CE
為對象,分別過點C
′和點D
作輔助線,得到兩組相似.雖然需要構(gòu)造相似,但計算難度比方法1要小,因此各有千秋.CE
所在的三角形△B
′CE
,或DE
所在的三角形△DCE
作為研究對象,尋找或構(gòu)造與之成A型相似的基本圖形.方法4
如圖6,延長BC
,DC
′交于點F
,過F
作FM
∥CD
,交B
′C
′的延長線于點M.
由DF
=3,可得根據(jù)FM
∥CD
,可得△B
′EC
∽△B
′MF
,△DEC
′∽△FMC
′,所以即解得圖6 圖7
方法5
如圖7,延長BC
,DC
′交于點F
,過C
作CM
∥B
′C
′,交DF
于點M
.易證△ABB
′∽△CFM
,所以得到所以根據(jù)EC
′∥CM
,可得△DEC
′∽△DCM
,所以即解得圖8
方法6
如圖8,過點D
′作D
′F
∥DC
,交B
′C
′ 于點F.
易證△D
′FC
′≌△B
′EC
,所以FC
′=CE
,D
′F
=B
′E
=4-C
′E
.根據(jù)D
′F
∥DC
,可得△DC
′E
∽△D
′C
′F.
所以即解得分析
方法4~方法6都是構(gòu)造A型相似,但構(gòu)造的思路不一樣.方法4直接以CE
邊為研究對象,在△B
′EC
的外部,即B
′E
和B
′C
的延長線上構(gòu)造,其中點F
的確定是思維上的一個難點,需要結(jié)合圖形整體感知,選擇出這樣的一個特殊點.方法5則以與CE
相關(guān)的線段DE
為研究對象,在△DEC
′的兩邊DE
和DC
′的延長線上過點C
構(gòu)造“A型”.與方法5不同之處在于,方法6是在△DEC
′的另兩邊C
′E
和C
′D
的延長線上過點D
′構(gòu)造“A型”.ABB
′=∠AB
′C
,且這兩個角的頂點在同一條直線上,由直觀感知和已有的構(gòu)圖經(jīng)驗,容易想到“一線三等角”模型.因此,可以嘗試從“一線三等角”的基本圖形出發(fā),構(gòu)造相似來求線段長.方法7
如圖9,延長BC
,DC
′交于點F.
由∠ABB
′=∠AB
′C
′=∠B
′FC
′,易證△ABB
′∽△B
′FC
′,得到即求得所以再由△B
′EC
∽△DEC
′,得到即解得圖9 圖10
方法8
如圖10,過點C
作CF
∥D
′C
′交B
′C
′于點F
,則∠ABB
′=∠AB
′C
′=∠B
′CF
,所以△ABB
′∽△B
′CF
,得到即求得CF
=1.因為CF
∥D
′C
′,所以△DEC
′∽△CEF
,得到即解得圖11
方法9
如圖11,過點E
作EF
∥AB
′,交B
′C
的延長線于點F
,則∠ABB
′=∠AB
′C
′=∠B
′FE
,所以△ABB
′∽△B
′FE
,得到即所以3+CF
=3EF.
易證△ABB
′∽△ECF
,所以可得EF
=EC
=3CF
,解得分析
方法7是從右下角向構(gòu)造一線三等角模型靠攏,形成以BC
為一線,∠B
=∠AB
′C
′=∠B
′FC
′為三等角的模型,得到△ABB
′與△B
′FC
′相似解決問題.方法8和方法9同樣是基于“一線三等角”模型,分別過點C
和點E
作平行來構(gòu)造相似.在構(gòu)造“一線三等角”的過程中,“一線”托住了三個“等角”,這樣的直觀構(gòu)圖感知在本題解法探究中還可以帶來不一樣的啟示,比如用“一線”托住凸出的角,將其補(bǔ)全為一個平行四邊形.
圖12
方法10
如圖12,過點D
′作MF
∥AD
,交BA
的延長線于點F
,交CD
的延長線于點M
,則四邊形FBCM
為平行四邊形,所以FM
=AD
=4,FA
=MD.
易證△ABB
′∽△DMD
′,所以即解得所以再證△B
′CE
∽△D
′FA
,所以即解得圖13
分析
方法10在點D
′處作平行補(bǔ)全了平行四邊形,往一線三等角模型方向去靠攏,但在靠攏中卻發(fā)現(xiàn),此處并不是一線三等角,而是一線二等角,柳暗花明又一村,∠M
=∠ADD
′為證明三角形相似提供了新的思路.類似地,也可以在點B
、點C
及點C
′處補(bǔ)全平行四邊形,構(gòu)造圖13~ 圖15進(jìn)行解決.這四種方法均是通過構(gòu)造平行四邊形,形成一線二等角的模型,然后再尋找三角形相似,建立線段比例關(guān)系求得CE
長.圖14 圖15
ABB
′∽△ADD
′是比較容易發(fā)現(xiàn)的,而要求線段CE
的長,思考CE
所在△B
′CE
與△ADD
′的關(guān)系也是聯(lián)想的一個自然方向.因此,能否在△ADD
′內(nèi)尋找或構(gòu)造與△B
′CE
相似的圖形呢?這里借助圖形變化中的平移縮放就可以得到如下的方法.方法11
如圖16,延長CD
,AD
′交于點F
,由△ABB
′∽△ADD
′,得再證△ADF
∽△B
′CE
和△DD
′F
∽△DC
′E
,分別得到和即解得圖16 圖17
方法12
如圖17,過D
′作D
′F
∥AB
,交AD
于點F.
由△ABB
′∽△ADD
′,得易證△ABB
′∽△D
′FD
,得到即解得所以易證△AD
′F
∽△B
′EC
,得到即解得分析
方法11與12的解題思路類似,均源于通過平移縮放構(gòu)造與△B
′CE
相似的直觀感知.在幾何解題中,與相似的幾種常見基本圖形一樣,平移縮放也是相似構(gòu)圖的一個重要切入點.方法11、12都是將△B
′CE
往上平移縮放與△ADD
′進(jìn)行相似構(gòu)圖,不同的是,一個是以AD
為對應(yīng)邊構(gòu)圖,另一個是以AD
′為對應(yīng)邊構(gòu)圖.在解題教學(xué)中,既要讓學(xué)生知其然,更要讓學(xué)生知其所以然,注重解題思路的探尋過程,積累思維活動經(jīng)驗.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷怎樣審題、怎樣想到思路方法、為什么要這樣想、還可以怎樣想的過程,通過對一道題目的講解,達(dá)到做一題通一類的效果,這是解題教學(xué)的價值所在.本題解法豐富,從其中任何一種相似的基本模型出發(fā),都能自然產(chǎn)生解題路徑.而解法的自然生成,需要我們在平時的幾何解題教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散聯(lián)想、模型意識和結(jié)構(gòu)化思想,讓學(xué)生想得到、想得通、想得妙!
CE
的長需要做什么?再比如,從旋轉(zhuǎn)這一知識點出發(fā),你可以得到什么?從基本模型出發(fā),本題圖形中你又發(fā)現(xiàn)了哪些常見的基本圖形?由此獲得更多的需知對象.數(shù)學(xué)是思維的體操,解題教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行最近聯(lián)想,學(xué)會用數(shù)學(xué)的方式發(fā)散思維,提高數(shù)學(xué)思維能力,積累解題活動經(jīng)驗.在本題的解法探索過程中可以發(fā)現(xiàn),解題路徑的自然生成離不開數(shù)學(xué)的基本模型.本題幾乎覆蓋了相似圖形中所有常見的基本圖形,一是基于相似基本模型,往熟悉的基本圖形X型、A型構(gòu)造相似;二是基于相似的經(jīng)典模型,往“一線三等角”構(gòu)造相似;三是基于空間想象,借助補(bǔ)全平行四邊形構(gòu)造相似;四是基于幾何直觀,借助圖形平移變換構(gòu)造相似.從每一種相似基本圖形出發(fā)均可找到解題方向,成功抵達(dá),從而形成多樣的解法.因此,在平時的教學(xué)中,教師應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識,一方面要共同歸納常見的幾何模型,深刻理解模型的關(guān)鍵特征;另一方面要引導(dǎo)學(xué)生有意識地從復(fù)雜的圖形中分解出或補(bǔ)全為常見的基本圖形,從而把陌生的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的問題,提高學(xué)生的模型意識和利用模型解決問題的能力.
CE
的長度;對于線段求長問題,在整個初中階段有很多方法,如利用線段和差、倍數(shù)等數(shù)量關(guān)系求長,利用勾股定理三邊關(guān)系求長,利用全等三角形的相等關(guān)系求長,利用相似三角形的比例關(guān)系求長,利用三角函數(shù)邊角關(guān)系求長等,這些方法串聯(lián)起來就形成了一個線段求長的知識鏈條,也就是線段求長的通法.而本題利用相似求線段CE
的長度即是這個知識鏈條中的一個知識節(jié)點.解題教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生梳理這樣的知識與方法鏈條,從而形成知識結(jié)構(gòu)網(wǎng).對于解決問題的通性通法,需要引導(dǎo)學(xué)生不斷地總結(jié)和回顧反思,才能讓學(xué)生在遇到新的問題時有法可想、有路可走,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維,形成自主探究問題的解題經(jīng)驗.波利亞曾說:“如果你希望從自己的努力中取得最大的收獲,就要從已經(jīng)解決了的問題中找出那些對處理將來的問題可能有用的特征.”本題已經(jīng)塵埃落定,但其解法的探究給幾何解題的教與學(xué)帶來了很多啟示.解題即是縮小差距,縮小差距就是使已知與未知互相靠攏,我們在追求縮小差距的抵達(dá),我們更是在享受一場互相靠攏的旅程,最終實現(xiàn)那美妙的雙向奔赴.