李 平，李靜宇

(1.綿陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造學(xué)院，四川 綿陽(yáng) 621000；2.沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)，遼寧 沈陽(yáng) 110000)

0 引言

因諧波齒輪傳動(dòng)兼具結(jié)構(gòu)緊湊、零齒隙、高傳動(dòng)比、大扭矩、高響應(yīng)及高傳動(dòng)精度等結(jié)構(gòu)和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，故被廣泛應(yīng)用于高傳動(dòng)比減速裝置、智能機(jī)器人、精密定位裝置及航空航天等眾多領(lǐng)域[1]。諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)一般由剛性內(nèi)齒齒環(huán)(CS)、柔性薄壁外齒齒輪(FS)和橢圓形的波發(fā)生器(WG)三部分組成。

包含諧波齒輪傳動(dòng)的典型設(shè)備，通常以半閉環(huán)控制系統(tǒng)進(jìn)行控制，即電機(jī)軸的轉(zhuǎn)速或位置可以由電機(jī)軸上的傳感器直接檢測(cè)和控制，而負(fù)載端的轉(zhuǎn)速或位置則由具有一定表觀分辨率的傳感器間接控制[2]。由于固有結(jié)構(gòu)誤差和FS的柔性，傳動(dòng)系統(tǒng)所固有的“角傳動(dòng)誤差”就具有了非線性屬性，因此在負(fù)載端則不能獲得小于傳感器表觀分辨率的理想控制精度[3]。盡管諧波傳動(dòng)齒輪由于其零齒隙可以顯著減少傳動(dòng)誤差，但由于FS中的運(yùn)動(dòng)誤差和非線性彈性變形引起的角傳動(dòng)誤差仍然存在，就難免會(huì)導(dǎo)致半閉環(huán)控制系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償能力下降[4]。

本研究將角傳動(dòng)誤差分為同步分量和非線性彈性分量?jī)刹糠?，其中同步分量表現(xiàn)為與轉(zhuǎn)動(dòng)同步的周期性角傳動(dòng)誤差，是由齒輪制造過(guò)程中固有的結(jié)構(gòu)誤差引起；非線性彈性分量表現(xiàn)為非線性彈性變形引起的具有滯后性的非線性現(xiàn)象[5]。同步分量通?？梢员唤閭鲃?dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)角度的周期性振動(dòng)，因此可以用基于模型的前饋方式來(lái)進(jìn)行補(bǔ)償[6]；而非線性彈性分量則通常被認(rèn)為是機(jī)構(gòu)中的彈性元件引起的無(wú)規(guī)則振動(dòng)[7]。更重要的是，非線性彈性分量的非線性彈性屬性可能會(huì)使半閉環(huán)控制系統(tǒng)的靜態(tài)定位精度下降,特別是當(dāng)負(fù)載角為幾十到幾百弧秒(1弧秒=1/3 600°)且要求精確定位的微位移區(qū)域，非線性彈性分量引起的負(fù)載端角傳動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差會(huì)使執(zhí)行器不能精確定位[8]。與常規(guī)機(jī)械振動(dòng)的動(dòng)態(tài)行為不同，非線性彈性分量引起的靜態(tài)定位精度下降現(xiàn)象現(xiàn)在尚未得到很好的研究。

在此背景下，本文提出了一種新的諧波齒輪角傳動(dòng)誤差精確建模和補(bǔ)償方法，以提高諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的角傳動(dòng)精度和靜態(tài)定位精度[9]。

1 角傳動(dòng)誤差數(shù)學(xué)建模

諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)一般由剛性內(nèi)齒齒環(huán)(CS)、柔性薄壁外齒齒輪(FS)和橢圓形的波發(fā)生器(WG)三部分組成，其中WG是在有長(zhǎng)短軸的凸輪上套裝柔性薄壁球軸承而成,諧波齒輪結(jié)構(gòu)如圖1所示。其傳動(dòng)原理為:WG的長(zhǎng)軸兩端支撐FS的兩端外齒與CS的內(nèi)齒嚙合，隨著WG轉(zhuǎn)動(dòng)，F(xiàn)S的長(zhǎng)短軸位置發(fā)生變化，從而改變其與CS的嚙合位置，最終實(shí)現(xiàn)大傳動(dòng)比減速。

諧波齒輪的角傳動(dòng)誤差θTE通常由電機(jī)角位移θM、負(fù)載角位移θL及齒輪系數(shù)N三者通過(guò)下式表達(dá)：

θTE=θL-θMN.

(1)

為了提高模型的靜態(tài)定位精度，故將角傳動(dòng)誤差θTE定義為同步分量θSync和非線性彈性分量θHys的總和，并分別進(jìn)行建模研究。

1.1 同步分量數(shù)學(xué)建模

同步分量θSync是由FS和CS齒的運(yùn)動(dòng)誤差及齒輪和負(fù)載軸的裝配誤差引起，所以其與WG、FS和CS的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)同步[10]。通常認(rèn)為θSync由電機(jī)角度的同步分量(θTEM)、FS與WG相對(duì)角度的同步分量(θTER)及負(fù)載角的同步分量(θTEL)三部分組成[11]。因?yàn)殚]環(huán)檢測(cè)系統(tǒng)無(wú)法直接檢測(cè)負(fù)載角θTEL，且與θTEM相比，在同步分量建模中θTEL和θTER可以忽略不計(jì)，故只需用θTEM對(duì)θSync進(jìn)行數(shù)學(xué)建模即可，因此同步分量的數(shù)學(xué)模型可表示為下式所示的周期性脈動(dòng):

θSync=∑nMi=1AM(i)cos[iθTEM+ΦM(i)].

(2)

其中：i為電機(jī)角度的諧波階數(shù),i=1,2,…,nM；AM為諧波幅度；ΦM為諧波相位。

圖1 諧波齒輪結(jié)構(gòu)

按式(2)對(duì)同步分量進(jìn)行MATLAB建模分析，所得頻譜如圖2所示。圖2中，傳動(dòng)誤差波形由步進(jìn)幅度為3.6°的電機(jī)軸順時(shí)針運(yùn)轉(zhuǎn)一周的微調(diào)運(yùn)動(dòng)的電機(jī)角位移θM和負(fù)載角位移θL表示[12]。在AM(i)和ΦM(i)參數(shù)化中，提取了頻譜幅度中的主要分量，如表1所示。

圖2 同步分量的頻譜分析圖

表1 同步分量模型參數(shù)

1.2 非線性分量數(shù)學(xué)建模

為了準(zhǔn)確仿真分析模擬諧波齒輪傳動(dòng)的非線性分量，所以在保證電機(jī)軸輸出(0°～180°)±0.6°的正弦角度振幅的同時(shí)，提供0.05 Hz的超低頻率，以消除慣性力和動(dòng)態(tài)扭轉(zhuǎn)共振的影響[13]。采用MATLAB按上述假設(shè)進(jìn)行非線性分量數(shù)學(xué)建模所得分析結(jié)果如圖3所示，圖3(a)和圖3(b)分別展示了順時(shí)針方向(順時(shí)針方向定義為負(fù)值，所以該正弦曲線的對(duì)稱軸為-180°)電機(jī)軸輸出轉(zhuǎn)角和負(fù)載端傳動(dòng)誤差在180°、45°和5°三個(gè)正弦角度振幅上隨時(shí)間的變化曲線。由圖3可知，在10 s、20 s、30 s三個(gè)速度反轉(zhuǎn)點(diǎn)，3個(gè)正弦曲線振幅上的傳動(dòng)誤差均約在0～80弧秒之間變化，且同步分量引起的振動(dòng)分量?jī)H疊加在了180°和45°的正弦角度振幅上，引起傳動(dòng)誤差的波動(dòng)，使其呈不規(guī)則波浪線狀，而在5°這個(gè)正弦角度振幅上，所得傳動(dòng)誤差曲線為接近平滑的樣條曲線。

圖3 電機(jī)軸輸出轉(zhuǎn)角和負(fù)載端傳動(dòng)誤差變化曲線

同時(shí)對(duì)圖3(b)負(fù)載端傳動(dòng)誤差隨時(shí)間變化曲線進(jìn)行Lissajous變換，結(jié)果如圖4所示，進(jìn)一步證明了傳動(dòng)誤差中的水平波動(dòng)僅僅是非周期性滯后現(xiàn)象。同時(shí)由圖4可推得：

(1) 傳動(dòng)誤差的非線性彈性分量表現(xiàn)出具有非周期性的滯后特性，在大幅度運(yùn)動(dòng)中疊加到了電機(jī)角度的周期性同步分量上。

(2) 速度反轉(zhuǎn)時(shí)遲滯曲線的傾斜角度是恒定的，與正弦角度振幅的大小無(wú)關(guān)。

圖4 電機(jī)轉(zhuǎn)角與負(fù)載端傳動(dòng)誤差的Lissajous圖形

這種非線性特征看起來(lái)與傳動(dòng)系統(tǒng)微位移區(qū)域中由彈性變形和滯后屬性引起的滾動(dòng)摩擦相似，因此，非線性彈性分量θHys在數(shù)學(xué)上可以由具有非線性彈性變形的滯后模型表示[14]。電機(jī)角位移θM和θHys的概念性非線性彈性變形的滯后模型如圖5所示，其中δ為負(fù)載端的非線性彈性位移，θoffset為非穩(wěn)定區(qū)的水平波動(dòng)。由此可推得：

(1) 非線性彈性分量θHys隨電機(jī)角位移θM變化。

(2) 存在非穩(wěn)定區(qū)域θr，且該區(qū)域中的誤差會(huì)隨速度方向變化。

(3) 滯后行為發(fā)生在非穩(wěn)定區(qū)域。

基于上述結(jié)論，非線性彈性分量θHys的數(shù)學(xué)模型可表示為速度反轉(zhuǎn)后與負(fù)載端的非線性彈性位移δ相關(guān)的公式：

θHys=sgn(ωM)[2θoffsetg(ξ)-θ′Hys] |δ|<θrand|θHys|<θoffset

sgn(ωM)θoffset|δ|≥θror|θHys|≥θoffset.

(3)

且

g(ξ)=12-n[ξn-1-(n-1)ξ]n≠2ξ(1-lnξ)n=2.

(4)

δ=|θM-δ0|.

(5)

ξ=δθr.

(6)

其中：ωM為電機(jī)軸的角速度；sgn(ωM)為速度符號(hào)函數(shù)；n為遲滯寬度；δ0為速度反轉(zhuǎn)時(shí)的電機(jī)軸轉(zhuǎn)角。

圖5 非線性彈性變形的滯后模型

2 數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)通過(guò)phET模擬實(shí)驗(yàn)軟件搭建如圖6所示模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證。其通過(guò)角度反饋以典型的半封閉控制系統(tǒng)進(jìn)行控制，分辨率為8 000脈沖/轉(zhuǎn)的電機(jī)編碼器安裝在電機(jī)延長(zhǎng)軸上，分辨率為2 880 000脈沖/轉(zhuǎn)的負(fù)載端編碼器通過(guò)彈性聯(lián)軸器與負(fù)載連接，測(cè)量并評(píng)估負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)角度，并輸出角位移。

1-反饋信號(hào)輸出端口；2-彈性聯(lián)軸器；3-負(fù)載端編碼器；4-檢測(cè)信號(hào)輸出端口；5-慣性載荷輪；6-電機(jī)；7-電機(jī)編碼器；8-控制信號(hào)輸入端口圖6 模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

模擬樣機(jī)的傳動(dòng)比為50，F(xiàn)S的齒數(shù)zf=80，CS的齒數(shù)zc=82，且電機(jī)軸上電機(jī)和負(fù)載間的慣性比為1∶3[15]。

2.1 同步分量的模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

通過(guò)模擬實(shí)驗(yàn)得到同步分量的實(shí)驗(yàn)波形(實(shí)線)和MATLAB建模分析預(yù)測(cè)波形(虛線)比較如圖7所示，其中負(fù)載角(橫軸)循環(huán)往復(fù)了3次。由圖7可知，該模型可以精確預(yù)測(cè)傳動(dòng)誤差的同步分量。

圖7 實(shí)驗(yàn)和模型中同步分量的波形比較

2.2 非線性分量的模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

將MATLAB分析得到的響應(yīng)波形與模擬實(shí)驗(yàn)得到的波形進(jìn)行反復(fù)比較，然后對(duì)數(shù)學(xué)模型的自由參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，最后確定的自由參數(shù)如表2所示。最終模擬實(shí)驗(yàn)所得波形(實(shí)線)和MATLAB建模分析預(yù)測(cè)波形(虛線)中角度傳動(dòng)誤差和滯后特性的比較波形如圖8和圖9所示。

表2 自由參數(shù)值

圖8 傳動(dòng)誤差隨驅(qū)動(dòng)角度的變化曲線

圖9 傳動(dòng)誤差隨時(shí)間的變化曲線

由圖8和圖9分析可得，非線性分量模型可以精確地預(yù)測(cè)角傳動(dòng)誤差，驗(yàn)證了所提出數(shù)學(xué)模型的正確性。

3 角傳動(dòng)誤差補(bǔ)償方法建立及模擬試驗(yàn)

本節(jié)主要是以上節(jié)新建的傳動(dòng)誤差預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)編制控制程序，并將其整合到定位控制系統(tǒng)中，對(duì)傳動(dòng)誤差引起的穩(wěn)態(tài)角誤差進(jìn)行精確的前置補(bǔ)償，控制系統(tǒng)中角傳動(dòng)誤差的補(bǔ)償方案如圖10所示。補(bǔ)償角輸入值為：

Nθ*TE=N(θSync+θHys).

(7)

其中：N為齒輪系數(shù)；θ*TE中的上標(biāo)*表示反饋量，其基本含義與θTE相同，只是與輸出量進(jìn)行區(qū)分。

如圖10所示，補(bǔ)償后系統(tǒng)的最終輸入值是從原始電機(jī)原始角位移輸入值θ*M中減去Nθ*TE得到的。在模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中，在順時(shí)針和逆時(shí)針方向分別做了間隔周期為2 s的240步微步運(yùn)動(dòng)，其中為確保每次微步運(yùn)動(dòng)都能為同步分量提供不同角傳動(dòng)振幅的傳動(dòng)誤差曲線，所以步進(jìn)電機(jī)的點(diǎn)動(dòng)步進(jìn)幅度設(shè)為43.56°。

圖10 角傳動(dòng)誤差的補(bǔ)償方案

設(shè)定目標(biāo)角度為0弧秒且疊加了240次微步運(yùn)動(dòng)，在模擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行順時(shí)針方向的模擬實(shí)驗(yàn)，并隨后利用MATLAB中的Simulink模塊進(jìn)行編程和圖像處理，得到其電機(jī)端和負(fù)載端角度響應(yīng)穩(wěn)定性波形，如圖11和圖12所示。由圖11(a)和圖12(a)的響應(yīng)曲線可推得：傳動(dòng)誤差僅會(huì)激起負(fù)載端的穩(wěn)態(tài)誤差，而對(duì)電機(jī)輸入端無(wú)明顯影響，在負(fù)載端角度穩(wěn)定的過(guò)程中及電機(jī)和負(fù)載端角度出現(xiàn)瞬時(shí)的過(guò)沖或欠沖時(shí)，因角度傳動(dòng)誤差會(huì)隨第1節(jié)中分析的角度而變化，故會(huì)出現(xiàn)散射響應(yīng)。圖11(a)、圖12(a)沒有進(jìn)行任何補(bǔ)償，穩(wěn)態(tài)角附近角度散射嚴(yán)重；圖12(b)和圖12(c)的單分量建模補(bǔ)償，僅在很低程度上削弱了穩(wěn)態(tài)時(shí)的角度散射；如圖12(d)所示，與上述圖片相比，在雙分量補(bǔ)償?shù)那闆r下，電機(jī)角度精確地定位到了目標(biāo)角度，且雙分量綜合補(bǔ)償模型極大降低了穩(wěn)態(tài)時(shí)的角度散射，從而有效抑制了負(fù)載端的穩(wěn)態(tài)誤差。同時(shí)，逆時(shí)針方向的負(fù)載角度響應(yīng)的穩(wěn)定性波形如圖13所示。逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的分析波形與順時(shí)針方向相同，再次驗(yàn)證了數(shù)學(xué)模型和補(bǔ)償方法的正確性。

圖11 順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)電機(jī)端角度的放大響應(yīng)波形

為了定量驗(yàn)證模型的補(bǔ)償性能，每次試驗(yàn)都通過(guò)Origin作圖評(píng)估分析了負(fù)載端角度穩(wěn)態(tài)誤差的統(tǒng)計(jì)值3Δ(正態(tài)分布中的3Δ原則)和平均值，如表3所示。表3中每個(gè)項(xiàng)目中的第一行表示絕對(duì)值，第二行表示由沒有補(bǔ)償?shù)闹颠M(jìn)行歸一化處理后的相對(duì)值。

由3Δ的統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析可得，將雙分量補(bǔ)償數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到新補(bǔ)償方法中，可以成功將穩(wěn)態(tài)時(shí)的角度散射降低40%，大大抑制了負(fù)載端的穩(wěn)態(tài)誤差，增加了諧波齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的角傳動(dòng)精度和靜態(tài)定位精度。

圖13 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)穩(wěn)定時(shí)負(fù)載端角度的響應(yīng)波形

表3 負(fù)載端角穩(wěn)態(tài)誤差的統(tǒng)計(jì)值和平均值

4 結(jié)論

本文提出了一種諧波傳動(dòng)齒輪角傳動(dòng)誤差及靜態(tài)定位誤差的數(shù)學(xué)模型及補(bǔ)償方法，其對(duì)靜態(tài)定位精度在穩(wěn)定時(shí)的性能提升尤為明顯。在建模過(guò)程中，根據(jù)角傳動(dòng)誤差在微位移區(qū)域表現(xiàn)為周期性脈動(dòng)和具有滯后特性的非線性特性，將角傳動(dòng)誤差分為同步和非線性彈性兩個(gè)分量。因此，通過(guò)對(duì)旋轉(zhuǎn)角度的頻譜分析方法，完成了同步分量的數(shù)學(xué)建模；基于具有滯后特性的滾動(dòng)摩擦建?？蚣艿男聰?shù)學(xué)公式被應(yīng)用于非線性彈性部件理論，完成了非線性彈性分量的數(shù)學(xué)建模。將提出的傳輸誤差模型作為基于模型的前饋補(bǔ)償，應(yīng)用于諧波齒輪傳動(dòng)的半閉環(huán)式控制系統(tǒng)的定位系統(tǒng)中，并進(jìn)行了模擬試驗(yàn)驗(yàn)證。

一方面，使用仿真軟件模擬實(shí)驗(yàn)室定位裝置進(jìn)行了數(shù)值模擬和模擬實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了所提出的數(shù)學(xué)模型和補(bǔ)償方法的正確性。另一方面，通過(guò)微步運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了模擬定位試驗(yàn)，以建立的誤差數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，以創(chuàng)新的誤差補(bǔ)償方法為手段，成功補(bǔ)償了角傳動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3Δ定量統(tǒng)計(jì)表明，穩(wěn)態(tài)時(shí)的角度散射降低了40%，大大抑制了負(fù)載端的穩(wěn)態(tài)誤差，提高了靜態(tài)定位精度，最終證明了數(shù)學(xué)模型和補(bǔ)償方法的正確性。