曾青 樂源 李高磊

（西南交通大學(xué)力學(xué)與航空航天學(xué)院應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點實驗室，成都 610031）

引言

非光滑系統(tǒng)廣泛存在于工程領(lǐng)域，近年來，由于非光滑動力系統(tǒng)的重要性，吸引了眾多科學(xué)工作者的關(guān)注和研究[1，2]，如軋機輥系系統(tǒng).軋機是實現(xiàn)金屬軋制過程的設(shè)備，一般指完成軋制材料生產(chǎn)全過程的設(shè)備.由放卷機、輥壓系統(tǒng)、驅(qū)動系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、拆輥裝置等組成.由于要適應(yīng)新的產(chǎn)品質(zhì)量要求和提高經(jīng)濟(jì)效益，各種特殊結(jié)構(gòu)的軋機正在快速發(fā)展中.但是在鋼材板帶的實際生產(chǎn)過程中，經(jīng)常會伴隨各種振動的產(chǎn)生，其中最主要的是軋機垂直振動，垂直振動不僅會使板帶精度變差，還會嚴(yán)重?fù)p壞機械設(shè)備，甚至制約金屬軋制工藝的進(jìn)一步發(fā)展.軋機輥系的振動問題一直是影響鋼鐵企業(yè)生產(chǎn)的技術(shù)難題[3].對軋機振動進(jìn)行測試分析和理論分析，揭示軋機的動態(tài)運行特性，提出有效的抑振措施已成為鋼鐵行業(yè)的關(guān)鍵問題[4]，因此，對此系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計將會對實際應(yīng)用帶來重要意義.

奇異非混沌吸引子（SNAs）是介于擬周期運動和混沌運動之間的一種特殊的吸引子，在動力學(xué)中，這些吸引子被認(rèn)為是介于規(guī)則性與混沌性之間的過渡，“奇異”指的是在相平面上動力學(xué)變量的關(guān)系并不是光滑的，而是由分形組成的，即具有幾何結(jié)構(gòu)上的分形；“非混沌”則是指其最大李雅普諾夫指數(shù)為負(fù)，對初值沒有敏感依賴性，這也是SNAs異于混沌吸引子之處；但在相圖上顯示的幾何性質(zhì)又不同于擬周期吸引子或極限環(huán).大量研究表明SNAs不是在一些特殊參數(shù)值上存在的退化現(xiàn)象，而是在擬周期激勵系統(tǒng)中普遍存在的一種獨立于混沌與周期之外的新型運動狀態(tài)[5].

國內(nèi)外學(xué)者對軋機輥系系統(tǒng)的動力學(xué)特性進(jìn)行了大量的研究.孫恒[6]對六輥冷軋機垂直系統(tǒng)振動特性進(jìn)行了分析，建立了垂直振動力學(xué)模型和數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB計算出了系統(tǒng)的固有頻率和主振型，獲得了振型曲線，并通過仿真分析得到了上、下輥系在軋制力作用下的動態(tài)響應(yīng)；馬志強[7]針對軋機垂振和垂扭系統(tǒng)進(jìn)行了特性分析和抑制振動的研究；Rigatos等[8]針對熱鋼軋機系統(tǒng)，提出了一種非線性最優(yōu)控制方法.自1984年Grebogi[9]首次提出SNAs以來，奇異非混沌動力學(xué)一直是研究的熱點之一，奇異非混沌的動力學(xué)現(xiàn)象為非混沌的復(fù)雜動力學(xué)提供了豐富的案例.Megavarna等[10]通過數(shù)值和實驗方法在擬周期受迫狀態(tài)控制細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)下的MLC電路中發(fā)現(xiàn)了通向奇異非混沌吸引子的兩種路徑，即Heagy-Hammel路徑和分形路徑，并且利用李雅普諾夫指數(shù)譜和奇異連續(xù)譜等方法進(jìn)行了驗證.Murali等[11]在兩個正弦驅(qū)動的LCR耗散振蕩器共享一個共同的分段非線性模型中，發(fā)現(xiàn)了SNAs的存在.通過相空間分析、龐加萊截面、李雅普諾夫指數(shù)等數(shù)值方法對所檢測到的奇異非混沌現(xiàn)象進(jìn)行了分析，并用遞歸量化方法對吸引子的奇異非混沌性質(zhì)進(jìn)行了驗證.對于軋機輥系系統(tǒng)的奇異非混沌動力學(xué)現(xiàn)象，目前國內(nèi)外學(xué)者尚無研究.

本文主要研究一類非線性軋機輥系系統(tǒng)在垂直振動情況下的奇異非混沌動力學(xué)；建立了一類軋機輥系系統(tǒng)垂直振動的運動微分方程，引入三維Poincaré映射；發(fā)現(xiàn)三類通向SNAs的途徑；并運用有理數(shù)逼近以及相敏感函數(shù)驗證其奇異性質(zhì).

1 動力學(xué)模型

軋機結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示；從實際系統(tǒng)中簡化出的軋機輥系動力學(xué)模型如圖2所示：

圖1 軋機結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Mill structure diagram

圖2 軋機輥系系統(tǒng)動力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of rolling mill system

其中，m等效為上工作輥和上支承輥以及軸承座的質(zhì)量；x為輥系的位移；k1和c分別為軋輥與軋件間的等效線性彈性系數(shù)和阻尼系數(shù)；K1是壓下缸與輥系間的非線性彈性力；K2是平衡缸與輥系間的非線性彈性力.可表示為如下形式[12]：

2 數(shù)值模擬

2.1 吸引子的演變過程

固定參數(shù)： a1=10，a2=1，a3=1，a4=1，ξ=0.009，f=0.5，ω=1，ω0=2 時，e為控制參數(shù)，研究系統(tǒng)在 （θn，xn） 平面和 （xn，vn） 平面上的動力學(xué)現(xiàn)象.當(dāng) e=0.15 時，在 （θn，xn） 平面上存在一條不變曲線，在（xn，vn）平面上有一條不變?nèi)?，則此時系統(tǒng)為1個環(huán)面（1T）的擬周期吸引子，如圖3所示.當(dāng)控制參數(shù)e增加到0.34時，系統(tǒng)發(fā)生環(huán)面倍化變?yōu)?T，此時系統(tǒng)為2T的擬周期吸引子，如圖4所示.將控制參數(shù)繼續(xù)增加，當(dāng)e=0.354時，出現(xiàn)SNAs，如圖5所示；其最大李雅普諾夫指數(shù)小于零（ λmax=-3.0 ×10-3），如圖7（a）所示.當(dāng)控制參數(shù)e繼續(xù)增大到0.37時，系統(tǒng)將變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)，如圖6所示.此時其最大李雅普諾夫指數(shù)為正（λmax=4.2 ×10-3），如圖7（b）所示.

圖3 1T環(huán)面，e=0.15Fig.3 1T torus，e=0.15

圖4 2T環(huán)面，e=0.34Fig.4 2T tori，e=0.34

圖5 SNAs， e=0.354Fig.5 SNAs，e=0.354

圖6 e=0.37，混沌吸引子Fig.6 e=0.37，chaotic attractors

圖7 最大李雅普諾夫指數(shù)圖Fig.7 The largest lyapunov exponent

2.2 SNAs產(chǎn)生機制

2.2.1 分形路徑

分形路徑是指當(dāng)改變系統(tǒng)參數(shù)時，周期環(huán)面逐漸產(chǎn)生褶皺，然后吸引子隨參數(shù)的變化越來越不光滑，最后演變?yōu)镾NAs[13].分形過程中，沒有明顯的不穩(wěn)定集.當(dāng)a1=10，a2=1，a3=1，a4=1，e=0.405，f=0.5，ω=1，ω0=2時，ξ為控制參數(shù).當(dāng)ξ=0.025時，系統(tǒng)為1T的擬周期吸引子，如圖8所示；當(dāng)ξ繼續(xù)減小到ξ=0.0088時，光滑的吸引子發(fā)生變化，出現(xiàn)局部失穩(wěn)現(xiàn)象，在 （θn，xn）和（xn，vn）平面上的相圖均顯示出明顯的褶皺狀態(tài)，如圖9所示；當(dāng)ξ減小到ξ=0.0082時，系統(tǒng)徹底失去光滑性，此參數(shù)下的SNAs是通過分形路徑產(chǎn)生的，如圖10所示.

圖8 1T環(huán)面，ξ=0.025Fig.8 1T torus， ξ=0.025

圖9 1T環(huán)面，ξ=0.0088Fig.9 1T torus， ξ=0.0088

圖10 SNAs，ξ=0.0082Fig.10 SNAs， ξ=0.0082

2.2.2 陣發(fā)路徑

陣發(fā)-I型路徑是由鞍結(jié)分岔產(chǎn)生的過渡到SNAs的一種路徑[14].固定參數(shù)：a1=50，a2=15，a3=4，a4=10，ξ=0.0099，f=1，ω=1，ω0=2，e為控制參數(shù).當(dāng)e=0.405時，系統(tǒng)為1T的擬周期吸引子，如圖11所示；當(dāng)控制參數(shù)e增加到0.42時，系統(tǒng)為陣發(fā) -I型 SNAs，如圖12所示.這種路徑的特點是相軌線附近有很多雜亂無序的散點聚集在其周圍，但卻并未出現(xiàn)褶皺狀.

圖11 1T環(huán)面，e=0.405Fig.11 1T torus，e=0.405

圖12 SNAs，e=0.42Fig.12 SNAs，e=0.42

2.2.3 Heagy-Hammel路徑

通常H-H路徑是指一個周期加倍的擬周期環(huán)面（周期為2n環(huán)面）與它自己不穩(wěn)定的母環(huán)（周期為2n-1環(huán)面）碰撞而產(chǎn)生的SNAs.碰撞將導(dǎo)致周期2n環(huán)面產(chǎn)生褶皺，繼而產(chǎn)生2n+1環(huán)面.當(dāng)控制參數(shù)繼續(xù)增加時，此2n+1環(huán)面將與其母環(huán)2n環(huán)面碰撞.在這個過程中繼續(xù)起褶，產(chǎn)生2n+2環(huán)面，以此類推.通過 Heagy-Hammel路徑演變?yōu)镾NAs已經(jīng)在幾類擬周期受迫非線性動力學(xué)系統(tǒng)中研究過[15，16].當(dāng) a1=10，a2=1，a3=1，a4=1，ξ=0.009，f=0.5，ω=1，ω0=2時，當(dāng)e=0.352時，系統(tǒng)為2T的擬周期環(huán)面，如圖13所示；當(dāng)e繼續(xù)增加到0.354時，2T的擬周期吸引子發(fā)生碰撞，演變?yōu)镾NAs，如圖14所示.

圖13 2T環(huán)面，e=0.352Fig.13 2T tori，e=0.352

圖14 SNAs，e=0.354Fig.14 SNAs，e=0.354

3 奇異性驗證方法

3.1 有理數(shù)逼近

每一個無理數(shù)都可由有理數(shù)去逼近到任何想要的精度，即有理數(shù)在實數(shù)中是稠密的[17].當(dāng)系統(tǒng)的某個參數(shù)變化時，有理數(shù)逼近無理數(shù)在研究向SNAs演變的過程中是非常有用的方法[18].利用無理數(shù)的連分式表示可得到其有理近似.使用連分?jǐn)?shù)，可以表示出所有實數(shù).對于有理數(shù)來說，可表示為有限連分?jǐn)?shù)，對于無理數(shù)來說，可無限逼近.對于黃金比例值?=（-1）/2的連分?jǐn)?shù)可以用斐波那契數(shù)列逼近[19]，具體表達(dá)式為：?k=Fk-1/Fk，其中， Fk=0 ，1，1，2，3，5，8，13，21，…通過有理數(shù)逼近無理數(shù)驗證其奇異性，取?k分別為89/144，377/610，610/987，28657/46368，如圖 15 所示.當(dāng)?13=89/144時，可以觀測到在（xn，vn）平面上吸引子有穩(wěn)定且可數(shù)的周期點，當(dāng)k繼續(xù)增加時，在（xn，vn）平面上的周期點數(shù)明顯增加；?25=28657/46368時，與SNAs近乎一致.當(dāng)階數(shù)k趨近于無窮時，相平面上的點也趨于無窮，且逼近的吸引集是非光滑的，不具有分段可微性，即為SNAs[20].結(jié)果表明，階數(shù)越高，吸引子的幾何特性越接近SNAs.

圖15 （xn，vn）平面上有理數(shù)逼近SNAsFig.15 Rational approximation of the SNA in the（xn，vn） plane

3.2 相敏感函數(shù)

采用吸引子對相位的導(dǎo)數(shù)可驗證奇異性質(zhì).這種方法是基于吸引子對外力相位具有敏感性[21].

其中，k+n0≤N，fi（k）是對fi的第k次迭代.令N次迭代后的最大值為，有：

當(dāng)N→∞時，幾何性質(zhì)表現(xiàn)為若γNi無窮大，則SN→∞，則說明吸引子非光滑，具有奇異性；若有界，則不具有奇異性.圖16為系統(tǒng)分別在控制參數(shù)e=0.42和e=0.405的相敏感函數(shù)；當(dāng)e=0.42時，趨于無窮大，此時系統(tǒng)為SNAs，當(dāng)e=0.405時，不具有奇異性.

圖16 相敏感函數(shù)圖Fig.16 Diagram of phase sensitivity function

4 結(jié)論

本文研究了一類擬周期激勵的單自由度分段非線性軋機輥系系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)在這類非光滑系統(tǒng)中存在多種路徑可以產(chǎn)生奇異非混沌吸引子；即分形路徑、陣發(fā)路徑以及Heagy-Hammel路徑.奇異非混沌的性質(zhì)通過相圖、李雅普諾夫指數(shù)、有理數(shù)逼近和相敏感函數(shù)進(jìn)行驗證.本文的結(jié)論可為非光滑動力學(xué)系統(tǒng)中的混沌控制提供理論依據(jù)，避免此系統(tǒng)長期工作在混沌狀態(tài)，以致板帶精度降低，產(chǎn)生巨大噪聲，甚至損壞設(shè)備.