潘 毅,許妍妍,樊智敏

(青島科技大學 機電工程學院,山東 青島 266061)

0 引 言

齒輪傳動裝置是機械裝備中應用最廣泛的動力傳遞裝置,其力學性能及動力學特性直接影響整個機械設備的性能。

在實際工況下,齒輪在傳動過程中并不是絕對的剛體,在接觸時會表現(xiàn)出一定的柔性體特征。柔性多體動力學建?？梢暂^為真實地模擬齒輪的實際動態(tài)特性,即通過模態(tài)分析的方式,將雙漸開線齒輪柔性化,并結合ADAMS對其進行動力學仿真。綜合考慮彈性變形及振動對雙漸開線齒輪動力學特性的影響可知,齒輪柔性化后的彈性變形及振動,可以降低齒輪的傳動誤差。

姚廷強等人[1]建立了剛柔耦合齒輪動力學模型,通過控制變量的方法,對齒輪傳動過程的振動特性進行了研究。路亮等人[2]對剛柔耦合齒輪箱進行了研究,分析了其故障原理與動態(tài)響應特性,并將該結果與實驗結果進行了對比,驗證了該剛柔耦合模型的準確性。許俊梅等人[3]研究了剛體齒輪傳動過程嚙合力的變化情況。李瑤[4]研究了摩擦情況下的剛體齒輪動力學特性。陳勇等人[5]研究了齒輪在疲勞點蝕情況下,剛體齒輪的動力學特性,并將該結果與實驗結果進行了對比。胡明明等人[6]研究了采煤機截割部的剛柔耦合動力學特性,對比純剛體與剛柔耦合模型的傳動特性,得出了柔性體齒輪嚙合傳動時的最大應力。侯玉潔等人[7]研究了變位齒輪剛體模型的動力學特性。郝馳宇等人[8]研究了考慮剛柔耦合的行星齒輪故障動態(tài)特性。王敏等人[9]基于有限元思想,對蝸桿進行了模態(tài)分析,研究了齒輪箱蝸桿副的接觸變形。柴文杰[10]基于柔性體多體動力學,研究了諧波齒輪的變形情況,并總結了諧波齒輪的變形規(guī)律。

分階式雙漸開線齒輪是綜合漸開線齒輪與雙圓弧齒輪優(yōu)點的一種新型齒輪[11],這種齒輪的工作齒廓由兩段相錯的漸開線組成,中間以一段圓弧包絡過渡曲線連接而成,其齒頂與齒根兩段漸開線齒廓呈階梯式分布。分階式漸開線齒輪常簡稱為雙漸開線齒輪(下同)。

許君君等人[12]基于有限元思想進行了齒輪模態(tài)分析,研究了齒面摩擦與嚙合剛度對雙漸開線齒輪動力學特性的影響;但是該研究僅考慮了齒輪自由模態(tài)下的振動變形,而忽略了齒輪傳動過程中柔性體接觸帶來的彈性變形。張秀文等人[13]基于分形理論建立了雙漸開線齒輪接觸剛度分形模型,研究了雙漸開線的動態(tài)接觸應力;但是在有限元分析過程中,未考慮柔性體齒輪彈性變形及振動對其接觸力的影響。

目前針對雙漸開線齒輪動力學方面的研究多忽略齒輪的柔性體特征,因此,雙漸開線齒輪傳動過程的動態(tài)特性與接觸變形研究的準確性受到了影響。

因此,筆者將雙漸開線齒輪柔性化,并進行動力學仿真,綜合考慮彈性變形與振動對雙漸開線齒輪傳動角速度、角加速度、嚙合力的影響,為減少柔性體齒輪傳動過程中受到的振動與沖擊提供參考;用動力學仿真結合模態(tài)分析,研究齒輪傳動過程中的輪齒變形,對比分析雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪的輪齒變形,既總結雙漸開線齒輪傳動變形特點,也為齒輪傳動變形誤差優(yōu)化設計提供參考。

1 剛柔耦合動力學理論

1.1 廣義坐標的選擇

動力學方程的求解速度很大程度上基于廣義坐標的選擇。

研究剛體在慣性空間的運動時,一般用其質心笛卡爾坐標和反映剛體方位的歐拉角作為廣義坐標,即:

(1)

式中：qi—剛體的廣義坐標矩陣；x,y,z—剛體的笛卡爾坐標；σ,θ,φ—x,y,z軸的角位移；q—多體系統(tǒng)的廣義坐標矩陣。

由于采用了不獨立的廣義坐標,系統(tǒng)動力學方程雖然是最大數量,但卻是高度稀疏耦合的代數方程,應采用稀疏矩陣的方法進行高效求解。

1.2 柔性體理論

柔性體系統(tǒng)中的坐標系,即柔性體變形模型如圖1所示。

圖1 柔性體變形模型

圖1中，包括慣性坐標系oxyz和浮動坐標系o′y′x′z′，建立在柔性體上的浮動坐標系用來描述柔性體的運動；浮動坐標系可以相對慣性坐標系進行有限的移動和轉動；浮動坐標系在慣性坐標系中的坐標(移動、轉動)稱為參考坐標。

在分析柔性體的運動時，尤其是在小變形的情況下，可以將其運動過程近似地分解為剛性移動、剛性轉動、變形運動的合成運動。

圖1中，柔性體上任意點P的位置向量為：

rp=Ro′+Au′=Ro′+A(uo′+uf)

(2)

式中：rp—P點在慣性坐標系中的向量；Ro′—浮動坐標系原點在慣性坐標系中的向量；A—浮動坐標系對慣性坐標系的旋轉變換矩陣；u′—變形后在浮動坐標系中的向量；uo′—柔性體未變形時P點在浮動坐標系的位置向量；uf—相對變形引起的位置向量。

式(2)中，對時間取一階和二階導數，可得到柔性體上任一點的速度向量及加速度向量[14-18]為：

(3)

(4)

2 雙漸開線齒輪動力學模型的建立

2.1 剛體齒輪動力學模型

研究其柔性體齒輪動力學特性,是評價雙漸開線齒輪傳動動態(tài)特性的重要依據。

雙漸開線齒輪端面齒廓如圖2所示。

圖2 雙漸開線齒輪端面齒廓

雙漸開線齒輪的基本參數如表1所示。

表1 雙漸開線齒輪基本參數

利用SolidWorks,筆者根據表1齒輪參數建立齒輪三維模型,并結合多體學仿真軟件ADAMS,按照實際的傳動關系,對主動輪與從動輪施加約束,具體的步驟如下:

(1)主動輪與從動輪分別與大地坐標系設置旋轉副,共兩對;

(2)在主動輪與從動輪之間設置接觸力;

(3)在主動輪上設置向下,即Y方向的重力;

(4)在主動輪上設置驅動轉速;

(5)在從動輪上設置負載轉矩。

生成的雙漸開線齒輪剛體剛體動力學模型如圖3所示。

圖3 雙漸開線齒輪剛體動力學模型

2.2 接觸力參數的設定

在仿真過程中,筆者應用ADAMS中的Impact函數計算接觸力,其函數表達式[5]2-3為:

(5)

撞擊時的接觸法向力F為：

F-impact=

(6)

根據Hertz彈性接觸理論，有：

(7)

式中：δ—變形量。

由上式可得撞擊時接觸法向力F與變形量δ的關系為：

F=Kδ3/2

(8)

(9)

式中：R—齒輪副接觸處的綜合曲率半徑。

其中，剛度系數K的大小受到不同材料屬性與碰撞接觸表面幾何形狀的影響。

雙漸開線齒輪的綜合曲率半徑為[13]151-152:

(10)

該處所用材料為45號鋼，其彈性模量可通過下式計算得到：

(11)

式中：μ1,μ2—兩齒輪的泊松比；E1,E2—兩雙漸開線齒輪材料的彈性模量。

動力學仿真參數如表2所示。

表2 動力學仿真基本參數

2.3 柔性體齒輪動力學模型的建立

筆者將ADAMS中的剛體齒輪動力學模型導入ANSYS中,對齒輪模型進行柔性化處理;并在ANSYS中完成其材料屬性及網格劃分的設置(其中,材料選擇45號鋼,網格劃分選擇六面體單元)。

經網格劃分后得到的雙漸開線齒輪模型,如圖4所示。

圖4 ANSYS網格劃分模型

筆者利用APDL指令進行模態(tài)分析,生成模態(tài)中性文件MNF文件,再利用ADAMS中的Flex模塊,將MNF文件導入到ADAMS中。

由于原有剛體齒輪動力學模型的約束會消失,此處需要重新進行設置。與之前不同的是,柔性體齒輪動力學模型中的接觸力設置,選擇的是柔性體與柔性體接觸,其他動力學仿真參數不變。

最后生成的柔性體齒輪動力學模型如圖5所示。

圖5 雙漸開線齒輪柔性體動力學模型

2.4 動力學模型準確性驗證

筆者對剛柔兩組動力學模型進行相同的轉速及負載設置，同時，為了防止啟動時轉速的突變，筆者采用STEP漸進函數施加驅動與負載。

STEP函數的表達式如下：

STEP(x,a,h0,b,h1)

(12)

式中：x—自變量。

STEP值域在h0與h1之間，即：

STEP=

(13)

主動輪輸入轉速為770 r/min(即80.6 rad/s)，負載為從動輪上輸出轉矩6 000 N·m。

筆者分析所施加的驅動函數表達式具體如下：

驅動：STEP(time,0,0,0.2,80.6)；

負載：STEP(time,0,0,0.2,6 000 000)；

仿真時間為1 s，仿真步數為2 000。

完成參數設置后，筆者運行動力學仿真，測量所設驅動與負載函數，如圖6所示。

圖6 主動輪轉速和從動輪轉矩示意圖

從圖6可以看出:在0～0.02 s,主動輪加速到80.6 rad/s后勻速轉動,負載轉矩也隨轉速不斷增加到6×106N·mm后保持恒定負載,兩組動力學模型均設置完成。

3 仿真及結果分析

3.1 齒輪振動角速度及角加速度分析

在對兩組模型進行仿真后,在ADAMS中的后處理模塊中,可以得到兩組齒輪從動輪振動角速度與角加速度的時域圖及頻譜圖。

從動輪振動角速度對比如圖7所示。

圖7 從動輪振動角速度對比

由圖7可知:剛體齒輪的振動角速度整體波動大、峰值高,最大值為30 000°/s;柔性體模型振動角速度波動小,加速階段達到900°/s后在一定范圍內波動且有明顯的周期性,最大值為1 600°/s,這是因為兩種齒輪在傳動過程中都會受到負載沖擊,產生一個周期性振動波動。

從動輪振動角速度理論與仿真值對比如表3所示。

表3 從動輪振動角速度理論與仿真值對比

由表3可知:從動輪振動角速度理論與仿真值對比,仿真值取平均值計算,可以看出柔性體齒輪的振動角速度誤差為0.36%,剛體齒輪誤差為56%。

由此可知,柔性體齒輪受到的波動影響較剛體齒輪受到的影響小,振動角速度的峰值小。

從動輪角加速度對比如圖8所示。

圖8 從動輪角加速度對比

由圖8可以看出:柔性體齒輪從動輪振動角加速度最大值為8.0×107°·s-2，剛體為8.0×1010°·s-2。剛體與柔性體從動齒輪振動角加速度整體均有波動,柔性體波動小,產生的傳動誤差小。

由此可知,齒輪柔性化后,減小了齒輪的振動角加速度振幅及傳動誤差,提高了傳動精度及傳動平穩(wěn)性。

3.2 齒輪動態(tài)嚙合力分析

接下來,筆者通過雙漸開線齒輪柔性多體動力學仿真,分析柔性齒輪對齒輪動態(tài)嚙合力仿真結果的影響。

柔性體與剛體雙漸開線齒輪的嚙合力時域圖如圖9所示。

圖9 動態(tài)嚙合力時域圖對比

柔性體與剛體雙漸開線齒輪的動態(tài)嚙合力頻譜圖如圖10所示。

在動態(tài)嚙合力時域圖中,取嚙合力平均值,經計算可得剛體與柔性體齒輪嚙合力的理論值與仿真值的誤差均在3%以下,相差不大;但從圖中嚙合力曲線變化范圍可以明顯看出:剛體齒輪中嚙合力的振幅要比柔性體齒輪大,峰值高,剛體齒輪最大嚙合力為4×105N，柔性體齒輪最大嚙合力為2.4×105N。

動態(tài)嚙合力頻譜圖中,在其各自的基頻和倍頻處,柔性體齒輪動態(tài)嚙合力的幅值小于剛體齒輪。由于齒輪系統(tǒng)內部由于嚙合接觸產生嚙合力的變化引起的振動和沖擊較大,柔性體接觸受力后產生彈性變形,減小了兩輪齒的嚙合沖擊[19，20]。

3.3 齒輪傳動變形分析

模態(tài)分析是結構動態(tài)設計的重要方法,是反映模型變形的重要因素。

考慮到齒輪在實際傳動過程中會產生彈性變形及振動[9]203-205,筆者借助ANSYS的模態(tài)分析法,分別生成雙漸開線與普通漸開線齒輪的柔性體齒輪模型,并選取輪齒上一個marker點,研究齒輪傳動過程中,柔性體雙漸開線與普通漸開線的角變形量與平移變形量。

角變形量對比如圖11所示。

圖11 柔性齒輪角變形對比

平移變形量對比如圖12所示。

圖12 柔性齒輪平移變形對比

根據圖(11,12),分析動力學仿真結果可知:

(1)兩種齒輪輪齒角變形量與平移變形量隨著齒輪嚙入、嚙出產生較大的峰值并呈周期性變化,未產生塑性變形;

(2)傳動過程中,雙漸開線齒輪角變形量波動小、振幅穩(wěn)定,最大角變形量為0.001 1°;普通漸開線齒輪最大角變形量為0.029°,二者均出現(xiàn)在0.8 s附近;

(3)雙漸開線齒輪在非嚙入、嚙出時的平移變形量大于普通漸開線齒輪,但在嚙入、嚙出時平移變形量小于普通漸開線齒輪[20],普通漸開線齒輪的平移變形量幅值波動大,整體峰值水平更高,最大平移變形量為8.17×10-5mm，雙漸開線齒輪最大平移變形量為3.98×10-5mm。

3 結束語

筆者建立了柔性體雙漸開線齒輪模型,分析了齒輪的振動角速度、角加速度、齒輪動態(tài)嚙合力的頻幅大小及傳動誤差,基于模態(tài)分析和動力學分析,研究了齒輪傳動過程中,柔性體雙漸開線齒輪與普通漸開線的角變形和平移變形,得出以下結論:

(1)齒輪柔性化后,在一定程度上有助于減小從動輪的振動角速度及角加速度,降低了齒輪傳動過程中的振動波動;

(2)齒輪柔性化后,降低了齒輪在其基頻及倍頻處的峰值,對齒輪嚙入與嚙出時的載荷沖擊有一定緩沖作用,保證了齒輪運動的平穩(wěn)性;

(3)齒輪柔性化后,雙漸開線齒輪與普通漸開線齒輪的變形量均呈周期性變化,雙漸開線齒輪的傳動角變形量與平移變形量在其嚙入與嚙出時整體波動小,相對穩(wěn)定且均小于普通漸開線齒輪。

筆者在后續(xù)的研究方向為:(1)在柔性多體動力學的基礎上,進一步研究不同工況下,雙漸開線齒輪和普通漸開線齒輪的點蝕、安裝中心距誤差等的動力學特性;(2)進行基于柔性多體動力學的雙漸開線齒輪溫度場研究。