史禾慕 曾曉輝 ,* 吳 晗

* (中國科學院力學研究所流固耦合系統(tǒng)力學重點實驗室,北京 100190)

? (中國科學院大學工程科學學院,北京 100049)

** (大連理工大學海岸和近海工程國家重點實驗室,遼寧大連 116024)

引言

鐵路車輛蛇行動力學響應特性是列車設計和運營中的關鍵問題,國內(nèi)外學者對此進行了大量研究.關于整車系統(tǒng)動力學的分析大都采用數(shù)值方法.Schupp[1]將基于路徑跟蹤法的分岔分析軟件和Simpack 多體動力仿真軟件相結(jié)合研究系統(tǒng)的分岔特性,計算了車輛系統(tǒng)的極限環(huán).Cheng 等[2-3]研究了車輛系統(tǒng)的不同參數(shù)對于臨界速度的影響規(guī)律.文獻[4-5]等研究了車輛系統(tǒng)的分岔特性,計算了車輛系統(tǒng)的分岔圖和極限環(huán)等.文獻[6]分別采用路徑跟隨(path-following)方法和蠻力(brute-force)方法研究了鐵路客車的分岔和蛇行運動特性.True[7]對于幾種求解車輛系統(tǒng)非線性臨界速度的方法進行了分析,并給出了求解非線性速度的正確方法.Iwnicki等[8]總結(jié)了鐵路貨車的發(fā)展歷史,研究了幾種常見鐵路貨車的動力學特性.翟婉明[9]提出了車輛-軌道耦合動力學理論,使得理論研究更能反應鐵路輪軌系統(tǒng)實際情況,對于軌道類型對車輛系統(tǒng)的臨界速度影響進行了廣泛研究.曾京[10]采用QR 算法和黃金分割法計算了17 自由度經(jīng)典客車模型的線性臨界速度,采用打靶法計算了其鄰域的極限環(huán).羅仁和曾京[11]的研究表明,在研究列車系統(tǒng)蛇行運動穩(wěn)定性時,采用單節(jié)車模型計算得到的臨界速度與多編組列車的臨界速度相差很小.高學軍等[12-13]采用延續(xù)算法計算了車輛系統(tǒng)的周期解,研究了車輛系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象.Zeng 等[14-19]綜合考慮了氣動載荷對車輛動力學系統(tǒng)固有特性的影響以及強迫激勵的作用,給出了氣動載荷作用下車輛系統(tǒng)動力學響應特性分析方法,分析了相關參數(shù)的影響規(guī)律.

上述對整車動力學系統(tǒng)進行研究更接近實際情況,也搞清楚了一些作用機理.盡管如此,目前仍然有一些問題的內(nèi)在機制不很清楚.部分原因是,整車系統(tǒng)自由度較多、可變參數(shù)也多,各參數(shù)對蛇行穩(wěn)定性影響的效應交織在一起,不易分清各種因素的貢獻大小,也就不容易更深刻理解為什么會有這樣的影響規(guī)律.這種狀況并不利于高效地改進工程設計.

輪對系統(tǒng)保留了影響車輛系統(tǒng)動力學性能的幾個關鍵的要素:輪軌幾何非線性約束、輪軌接觸蠕滑關系、懸掛系統(tǒng)等.從蛇行穩(wěn)定性問題的角度來說,輪對系統(tǒng)也是能從相當程度上代表整車系統(tǒng)蛇行穩(wěn)定性特性的典型子系統(tǒng).而且,輪對系統(tǒng)自由度少、參數(shù)少,可以采用解析方法進行分析,便于更深入地認識車輛動力響應特性及內(nèi)在機理.目前國內(nèi)外學者針對輪對系統(tǒng)也開展了相關研究.

Wagner[20]計算了具有亞臨界霍普夫分岔的鐵路輪對系統(tǒng)的兩個穩(wěn)定解的吸引域,并給出兩個穩(wěn)定解出現(xiàn)的概率.Casanueva 等[21]建立了考慮輪對柔性的輪對動態(tài)穩(wěn)定性模型,分析了輪對參數(shù)對于臨界速度的影響規(guī)律.Antali 等[22-23]推導了圓錐車輪在圓柱軌道的精確非線性方程,研究了鐵路輪對的運動特性.Song 等[24]建立了1/5 輪對比例模型,通過實驗和數(shù)值研究了車輪踏面錐度對于橫向動力學特性的影響.Pascal 和Sany[25]建立了考慮輪軌共形接觸的獨立輪對動力學模型并研究了其動力學特性.文獻[26]研究了具有三次和五次非線性的輪對動力學方程的亞臨界霍普夫分岔和鞍結(jié)分岔,并通過實驗進行了驗證.文獻[27]研究了輪對系統(tǒng)在兩分岔參數(shù)下的分岔行為.Ge 等[28]建立了具有非線性等效錐度和輪軌力的修正鐵路輪對動力學模型,并對其失穩(wěn)機理進行了研究.Guo 等[29]建立了考慮輪軌接觸非線性的鐵路車輛輪對動力學模型,并對其分岔特性進行了研究.武世江等[30]對考慮陀螺效應的輪對系統(tǒng)的霍普夫分岔特性進行了研究,給出了線性臨界速度表達式,基于打靶法計算了輪對系統(tǒng)的分岔圖.

本文采用解析方法對輪對系統(tǒng)的蛇行運動穩(wěn)定性問題開展研究.推導出帶有小參數(shù)的兩自由度方程,并采用多尺度方法[31]進行解析求解;給出輪對系統(tǒng)極限環(huán)幅值的解析表達式并對其穩(wěn)定性進行判定;給出了輪對系統(tǒng)非線性臨界速度的解析表達式.將所獲得的解析解與數(shù)值結(jié)果進行對比,驗證了解析解的正確性.采用得到的解析解進行了參數(shù)影響分析.

1 輪對動力學建模

1.1 模型概述

輪對系統(tǒng)是鐵路車輛動力學系統(tǒng)中最關鍵的部分,它包含懸掛系統(tǒng)以及兩個通過車軸連在一起的車輪(稱為輪對).一系懸掛系統(tǒng)將輪對和轉(zhuǎn)向架構(gòu)架連接起來;輪對受鋼軌約束,在鋼軌上無跳躍地運動.輪對系統(tǒng)示意圖如圖1 所示.

圖1 輪對模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the wheelset model

在上述輪對系統(tǒng)中,轉(zhuǎn)向架構(gòu)架沿水平方向勻速前進,輪對沿著軌距不變、剛性路基的平直軌道運動.輪對和構(gòu)架之間由一系懸掛彈簧連接.車輪與鋼軌永保接觸,由此輪對的垂向和側(cè)滾位移與其橫擺和搖頭位移相關聯(lián),于是考慮模型有橫擺y和搖頭ψ兩個自由度,車輪和鋼軌間的蠕滑符合線性規(guī)律,不考慮自旋蠕滑的影響.系統(tǒng)的非線性來自于輪軌接觸非線性回復力.

1.2 輪對動力學方程

通過牛頓-歐拉法推導輪對動力學方程如下所示

式中,m是輪對的質(zhì)量,J是輪對相對于垂直軸的搖頭轉(zhuǎn)動慣量,FLx和FLy是左側(cè)車輪的縱向和橫向蠕滑力,FRx和FRy是右側(cè)車輪的縱向和橫向蠕滑力,Kx和Ky是一系懸掛縱向、橫向彈簧總剛度.Fc代表由軸重和輪軌幾何關系引起的橫向復原力,b是名義滾動圓距離之半,l是一系懸掛橫向距離之半.

本文中采用卡爾克(Kalker)線性蠕滑理論計算輪軌接觸蠕滑力[20,27-28,30,32-33],如下

式中,f11和f22是車輪的縱向、橫向蠕滑系數(shù),ξLx和ξLy是左側(cè)車輪的縱向、橫向蠕滑率,ξRx和ξRy是右側(cè)車輪的縱向、橫向蠕滑率,具體表達式如下

式中,λ是等效錐度,r0是名義滾動圓半徑,V是輪對運行速度.

車輛動力學中輪軌接觸恢復力通常由輪軌接觸幾何和輪對軸重決定,表達式如下

式中,W是軸重,δL和δR是左、右車輪接觸角,θ是輪對側(cè)滾角.對于LMA 型車輪踏面和CHN60 型鋼軌接觸配合,接觸幾何參數(shù)tan(δR-θ)-tan(δL+θ)隨輪對橫擺的變化關系可用多項式函數(shù)擬合,如圖2所示.

圖2 tan(δR-θ)-tan(δL+θ)隨輪對橫擺變化關系Fig.2 tan(δR-θ)-tan(δL+θ)varies with the lateral displacement of wheelset

具體的擬合公式如下

將式(5)代入式(4)有

式中δ0,δ1和δ2是關于輪軌接觸橫向復原力的多項式擬合函數(shù)的系數(shù).

將式(2)～式(6)代入式(1),重寫輪對動力學表達式如下

方程(7)中各符號參數(shù)的取值參見附錄A 中的表A1.

由于方程(7)帶有三次和五次非線性,很難得到其精確解,于是考慮采用攝動法求解其近似解析解.

為采用多尺度方法求解如式(7)所示的非線性方程,首先選擇合適的特征量對動力學方程進行無量綱化,把式(7)變?yōu)閹в行?shù)的無量綱方程,如式(8)所示

式中

對于目前常用的輪軌外形(LMA 型車輪踏面和CHN60 型鋼軌)和剛度[20,28]等參數(shù)進行計算,式(8)中非線性項的系數(shù)ε約0.1,此時無量綱化的動力學方程(8)可以采用多尺度方法進行求解.

2 多尺度法求解輪對動力學方程

本節(jié)給出基于多尺度方法的方程(8)的一階解析解.

設方程(8)的解的形式

式中Tn=εnτ(n=0,1,2,···),于是對時間的微分可表示為如下形式

將式(10)和式(11)代入方程(8),并令兩端ε0和ε1的系數(shù)分別相等,得到

方程(12)的解可寫成如下形式

式中An(n=1,2)為待定復函數(shù),cc表示左邊各項的共軛復數(shù).

將式(14)代入方程(13)有

式中橫線代表該函數(shù)的共軛復數(shù).為避免久期項的存在,函數(shù)An(n=1,2)需滿足以下方程

在上式中將An(n=1,2)寫成指數(shù)形式

式中an和θn(n=1,2)都是實數(shù),將式(17)代入式(16),并分離實部和虛部,得到

式中,一撇代表對T1求導數(shù).對上式積分可以得到

眾所周知,鐵路輪對動力系統(tǒng)是一個自激振動系統(tǒng),當運行速度超過臨界速度后,系統(tǒng)會出現(xiàn)蛇行失穩(wěn)導致蛇行運動振幅不再衰減,此時蛇行運動的振幅和頻率與運行速度相關.工程實際中,式(19)中參數(shù)α1和α3總是正數(shù),因此無論速度如何變化,隨著時間的增加,系統(tǒng)蛇行運動幅值a1和a2總是趨近于零.這顯然與實際情況不符.實際上在這里需要考慮系統(tǒng)的內(nèi)共振的影響.由于輪對的蛇行運動是輪對的橫擺和搖頭相耦合的運動,通過內(nèi)共振可以將輪對的橫擺和搖頭運動結(jié)合起來,這一點也是符合實際意義的.下面給出考慮內(nèi)共振時方程的解.

對于系統(tǒng)的內(nèi)共振情況,引入解諧參數(shù)σ1來表示頻率ω1和ω2的接近程度，即

將上式代入式(15),為避免久期項的存在,函數(shù)An(n=1,2)需滿足以下方程

將式(17)代入上式,分離實部和虛部有

可見,系統(tǒng)總有零解,當系統(tǒng)的幅值(a1,a2)不為零時,引入

利用上式將式(22)化為自治形式

由方程組(25)中前兩式可得

在這里考慮穩(wěn)態(tài)幅值均為正,由式(26)可得

將上式代入方程組(25)中第二式有

利用三角恒等式 cos2γ+sin2γ=1,有

將上式和式(27)代入方程組(25)中第三式,化簡有

由于 Γ1＜0,需要分情況討論

(1)Δ±≥0,Γ2±≥0

(2)Γ2±＜0

(3)Δ±＜0,系統(tǒng)無非零穩(wěn)態(tài)解,此時系統(tǒng)只有零解.

根據(jù)穩(wěn)態(tài)解幅值表達式(33)和式(34)可知,穩(wěn)態(tài)解幅值是隨速度變化的函數(shù).Δ±和 Γ2±也是隨速度變化的函數(shù),于是不同的運行速度下,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的數(shù)目可能也不相同.通常情況下,系統(tǒng)的非線性臨界速度Vn對應系統(tǒng)發(fā)生分岔時的速度,于是,通過求解系統(tǒng)發(fā)生分岔時的運行速度來判定系統(tǒng)的Vn.結(jié)合式(33)和式(34)可知,此時系統(tǒng)可能有多個分岔點,每一個分岔點對應的速度可能并不相同,即系統(tǒng)在不同的速度下均有可能發(fā)生分岔,通常系統(tǒng)發(fā)生分岔時的最小速度對應系統(tǒng)的Vn.基于此,下面對系統(tǒng)可能發(fā)生分岔的情況逐一討論.

(1)當 Δ±=0 時,系統(tǒng)發(fā)生分岔,此時對應系統(tǒng)的一個分岔速度,稱為第一分岔速度

(2)當 Γ2±=0 時,系統(tǒng)發(fā)生分岔,此時也對應系統(tǒng)的一個分岔速度,稱為第二分岔速度

(3)當 Δ+=Δ-,并且系統(tǒng)滿足 Δ±＞0 時,此時對應系統(tǒng)的一個分岔速度,稱為第三分岔速度

此時系統(tǒng)還需滿足

綜合上述分析,可判定系統(tǒng)的Vn為

當求得系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)幅值a1后,代入式(27)～式(29)可求得a2,γ.對于求得的穩(wěn)態(tài)解穩(wěn)定性判定,可采用文獻[31]中的方法,為此設

式中a10,a20,γ0是系統(tǒng)的一組穩(wěn)態(tài)解,它對應方程組(24)的奇點,即滿足式(25).δa1,δa2,δγ是疊加的小的攝動量.將式(42)代入方程組(24),并對δa1,δa2,δγ進行泰勒展開保留一次項,得到

此時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運動的穩(wěn)定性依賴于式(43)右端的系數(shù)矩陣的特征值,右邊系數(shù)矩陣如下

式中

此時特征方程

對上式展開有

式中

對于方程(47),采用卡爾達諾(Cardano)公式求解如下

式中

當式(49)～式(51)所對應所有特征值λi(i=1,2,3)的實部均為負數(shù)時,對應的穩(wěn)態(tài)運動是穩(wěn)定的,否則穩(wěn)態(tài)運動不穩(wěn)定.

將式(14)和式(17)代入式(10),結(jié)合式(23),可以得到穩(wěn)態(tài)解的一次近似為

式中，a1,a2,γ均是常數(shù),此時無量綱x1和x2以同一種頻率振動,當系統(tǒng)存在穩(wěn)定的周期解時,系統(tǒng)的蛇行運動頻率fh

3 結(jié)果和討論

3.1 驗證

重新計算文獻[20]給出的輪對橫擺分岔圖的算例,并將本文結(jié)果與該文獻的結(jié)果進行了對比,如圖3所示.

圖3 中紅色三角符號代表文獻[20]中輪對橫擺幅值結(jié)果,藍色曲線是自編程序的計算結(jié)果,二者吻合很好.此外,在之前的研究[14-19]中,將自編程序計算結(jié)果和與已有文獻中的實驗結(jié)果和數(shù)值結(jié)果也進行了許多對比驗證.

圖3 本研究結(jié)果與文獻[20]結(jié)果對比Fig.3 Comparison of results between this paper and Ref.[20]

接下來將數(shù)值計算結(jié)果和多尺度法的分析結(jié)果對比.數(shù)值計算采用四階變步長榮格-庫塔(Runge-Kutta,RK)法直接對方程(8)進行數(shù)值積分,略去瞬態(tài)部分得到x1和x2的時間歷程曲線如圖4(a)所示,圖4(b)是相軌跡在相平面上的投影.

由圖4 可知,此時x1和x2作周期運動,對其時間歷程曲線進行快速傅里葉變換(FFT)得到x1和x2的頻譜圖,如圖5 所示.

圖4 時間歷程曲線與相平面內(nèi)相軌跡Fig.4 Time-history curves and phase trajectories in the phase plane

圖5 x1 和x2 的頻譜圖Fig.5 Frequency spectra of x1 and x2

由頻譜分析結(jié)合圖5 可知,此時x1和x2的頻率組成由基頻fh及fh的奇數(shù)倍頻組成.fh所對應的諧波分量幅值遠大于其他諧波分量幅值.x1和x2以相同的頻率fh作周期運動.此時數(shù)值計算得到的系統(tǒng)的蛇行運動頻率fh為0.152 00,而由本文解析公式(式(54))計算得到的fh為0.151 89,相對誤差僅0.07%.我們對x1和x2的時間歷程曲線進行濾波處理,得到相應的僅包含基頻fh的時間曲線如圖6 所示.

圖6 fh 對應的時間歷程曲線Fig.6 Time-history curves corresponding to fh

圖7 攝動解與數(shù)值積分結(jié)果對比Fig.7 Comparison between perturbation solution and numerical integration

圖8 給出了由本文解析式(27)、式(33)和式(34)計算的輪對橫擺和搖頭角分岔圖和數(shù)值結(jié)果的對比.圖8 中,實線代表穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)運動的幅值,虛線代表不穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)運動的幅值,數(shù)值積分不能求解出不穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)周期幅值.結(jié)合圖8 可以看出,由本文解析解(式(35)～式(38))計算的分岔速度中的線性臨界速度Vc約為204.7 m/s,由線性化系統(tǒng)系數(shù)矩陣特征值計算的Vc為207.1 m/s,相對誤差1.16%.因此,本文推導的解析解也能給出關于線性臨界速度的一個很好的近似.由本文解析式(35)～式(41)計算的非線性臨界速度Vn約為191.0 m/s,由降速法計算的Vn約為191.2 m/s,相對誤差約0.1%.系統(tǒng)的穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)周期幅值相對誤差不超過10%.

圖8 攝動解計算分岔圖和數(shù)值積分結(jié)果對比Fig.8 Comparison of bifurcation diagrams calculated by perturbation solution and numerical integration

通過以上解析公式的計算結(jié)果與數(shù)值結(jié)果的詳細對比,我們驗證了第2 章中基于多尺度法給出的一階解析解的正確性.

采用數(shù)值法計算輪對系統(tǒng)的非線性臨界速度通常需要大量的計算,例如,當采用降速法時:基于路徑跟蹤策略,首先通過增加運行速度使系統(tǒng)經(jīng)過擾動后處于穩(wěn)定的周期運動的狀態(tài),即系統(tǒng)有穩(wěn)定的極限環(huán)幅值,隨后逐步降低運行速度,在每一步中,當前速度下系統(tǒng)的最終穩(wěn)態(tài)解對應的運動狀態(tài)作為后續(xù)下一個運行速度的初始值從而繼續(xù)計算,當初值問題的暫態(tài)解最終趨于平凡解時,計算結(jié)束.此時對應系統(tǒng)的一個分岔速度,通常為非線性臨界速度.計算的非線性臨界速度的精度取決速度離散化的步長,要獲得更加準確的臨界速度值,需要細化離散化的步長,導致時間成本增加.而通過非線性臨界速度的解析表達式,我們可以直接求解系統(tǒng)的非線性臨界速度,更重要的是,我們可以更加方便直接的進行參數(shù)對于系統(tǒng)非線性臨界速度的影響規(guī)律研究.

3.2 參數(shù)影響規(guī)律

根據(jù)非線性臨界速度的解析表達式(35)～式(41),很明顯,系統(tǒng)的V1,V2,V3與等效錐度λ的平方根成反比,從而系統(tǒng)的非線性臨界速度Vn與λ的平方根成反比.圖9 給出了由式(35)～式(41)確定的Vn隨λ的變化曲線.隨著λ的增加,Vn的減小速率逐漸減小.文獻[34]中給出,系統(tǒng)的線性臨界速度Vc與λ的平方根近似成反比,這說明λ對于Vc和Vn具有相同的影響規(guī)律.工程應用中,為提高車輛的運動穩(wěn)定性,我們應該盡可能提高系統(tǒng)的Vc和Vn.于是在滿足其他設計要求的情況下,我們應該盡可能減小車輪踏面的等效錐度.

圖9 Vn 與λ 的關系曲線Fig.9 Relationship between the Vn with λ

接下來我們研究Vn隨一系縱向剛度Kx這一單一因素的變化規(guī)律,其他參數(shù)保持不變,如圖10 所示.

圖10 Vn 與Kx 的關系曲線Fig.10 Relationship between the Vn with Kx

當 σ1+=0 時,對應有

式中c1,c2,c3,c4均是常數(shù).

式(56)中,當Kx＞=3.832 6 MN/m 時,Vn與Kx的四次方根成正比,是隨Kx增加而緩慢單調(diào)增的函數(shù);而當Kx＜=3.832 6 MN/m 時,從上面表達式可以看出,Kx的四次方根之前的因子不再是常量,而是Kx的非線性函數(shù),因而該式是一個具有極值的函數(shù),我們可以求出其極值.在我們所關注的參數(shù)范圍內(nèi),求Vn解析表達式關于Kx的導數(shù)并令其等于零,化簡有

圖11 和12 給出由本文解析式(27)、式(33)和式(34)計算的無量綱橫擺和搖頭角分岔圖.

圖11 中,分別計算了一系縱向剛度Kx取2.9 MN/m,3.0 MN/m 和3.1 MN/m 時系統(tǒng)無量綱橫擺和搖頭角幅值隨速度V的變化曲線.結(jié)果表明,同一Kx值對應系統(tǒng)穩(wěn)定的極限環(huán)幅值隨著V的增加而逐漸增大,當V越大,極限環(huán)幅值的增大速率越慢.同一V值,系統(tǒng)穩(wěn)定的極限環(huán)幅值隨著Kx的增大而增大.

圖11 不同Kx 值對應系統(tǒng)的分岔圖Fig.11 Bifurcation diagram of the system with different Kx

圖12 中,分別計算了車輪踏面等效錐度λ取0.04,0.05 和0.06 時系統(tǒng)無量綱橫擺和搖頭角幅值隨速度V的變化曲線.結(jié)果表明,同一λ值對應系統(tǒng)穩(wěn)定的極限環(huán)幅值隨著V的增加而逐漸增大,當V越大,極限環(huán)幅值的增大速率越慢.同一V值,系統(tǒng)穩(wěn)定的極限環(huán)幅值隨著λ的增大而增大.

圖12 不同λ 值對應系統(tǒng)的分岔圖Fig.12 Bifurcation diagram of the system with different λ

一般情況下,根據(jù)Vn的表達式(35)～式(41),系統(tǒng)的許多其他參數(shù)均會對Vn有所影響,因此在設計轉(zhuǎn)向架參數(shù)時,應該對各種不同的參數(shù)組合方案進行比較,以期獲得最佳的參數(shù)匹配范圍.本文推導的解析表達式可以對系統(tǒng)參數(shù)的初期設計提供一定參考.在進行參數(shù)優(yōu)化設計時,不需要采用數(shù)值方法對每一個參數(shù)組合進行大量微分方程組的積分計算,采用本文給出的解析表達式(35)～式(41)可以很快計算出每個參數(shù)組合對應的動力學性能指標,從而快速獲得最優(yōu)參數(shù)組合.

4 結(jié)論

本文采用多尺度方法對車輛輪對系統(tǒng)動力學特性進行了解析求解.主要工作和結(jié)論如下.

(1)給出了系統(tǒng)的極限環(huán)幅值和非線性臨界速度的解析表達式.相比于數(shù)值解法,通過解析公式,我們可以直接給出系統(tǒng)的非線性臨界速度,更加方便地研究系統(tǒng)參數(shù)對于非線性臨界速度的影響規(guī)律.給出了一系縱向懸掛剛度和車輪踏面等效錐度對于系統(tǒng)分岔圖和非線性臨界速度的影響規(guī)律.

(2)在滿足其他設計要求的情況下,一系懸掛剛度對臨界速度影響較為復雜.在我們所研究的參數(shù)范圍內(nèi),系統(tǒng)非線性臨界速度隨一系縱向剛度的變化存在一個極小值.在剛度較低(極小值左側(cè))時,臨界速度隨剛度減小而有較明顯增加,而當剛度較高(極小值右側(cè))時,臨界速度會隨剛度增加緩慢增加.適當減小車輪踏面等效錐度有助于提升車輛系統(tǒng)的線性和非線性臨界速度,從而提升車輛運動穩(wěn)定性.車輛系統(tǒng)發(fā)生蛇行失穩(wěn)時的極限環(huán)幅值隨著一系縱向懸掛剛度和車輪踏面等效錐度的增加而有所增加.

(3)在轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)設計與參數(shù)優(yōu)化過程中,通過本文給出的解析表達式,可以很方便地計算出系統(tǒng)不同參數(shù)組合下的極限環(huán)幅值和非線性臨界速度,便于快速比較不同參數(shù)組合下的多種方案,從而篩選出最佳的參數(shù)匹配關系,為轉(zhuǎn)向架結(jié)構(gòu)設計與參數(shù)優(yōu)化提供參考.

附錄

附表 A1 輪對參數(shù)Table A1 Wheelset parameters