深圳市龍華區(qū)教育科學(xué)研究院附屬外國語學(xué)校(518109) 鐘文體

文[1]用較長的篇幅證明了圓錐曲線的如下三個定值性質(zhì)(表述略作改動):

命題1 設(shè)G為平面有限點(diǎn)集Ω ={A1,A2,··· ,An}的重心, 則以G為中心的橢圓(雙曲線) 上任意一點(diǎn)到A1,A2,··· ,An距離的平方和與該點(diǎn)到橢圓的兩焦點(diǎn)距離的乘積的n倍之和(差)為定值.

命題2 設(shè)G為平面有限點(diǎn)集Ω={A1,A2,··· ,An}的重心,則以G為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)到A1,A2,··· ,An距離的平方和與該點(diǎn)到其準(zhǔn)線距離的平方的n倍之差為定值.

以上性質(zhì)是圓的相應(yīng)定值性質(zhì)的推廣. 本文將用較簡單的方法證明上述性質(zhì)并對結(jié)論作一些拓展.

一、問題簡證

方法二 設(shè)橢圓離心率為e,橢圓上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則

二、逆命題

本節(jié)證明上述各命題的逆命題. 為此,先證明以下引理.

引理3 (三角形中線長公式)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為D,則AB2+AC2=2AD2+2BD2.

證明 用向量法可簡潔地證明此引理. 如圖1,

圖1

引理4 設(shè)F1和F2為平面上不同兩點(diǎn),O為F1F2的中點(diǎn). 動點(diǎn)P(不在線段F1F2上)到點(diǎn)O距離的平方與該點(diǎn)到點(diǎn)F1和F2距離的乘積之和為定值K,則點(diǎn)P的軌跡是以F1和F2為焦點(diǎn)的橢圓.

證明 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 直線F1F2為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),P(x,y). 由條件可知PO2+PF1·PF2=K,則

引理5 設(shè)F1和F2為平面上不同兩點(diǎn),O為F1F2的中點(diǎn). 動點(diǎn)P(不在線段F1F2的垂直平分線上,也不在從直線F1F2挖去線段F1F2得到的兩條射線上)到點(diǎn)O距離的平方與該點(diǎn)到點(diǎn)F1和F2距離的乘積之差為定值K,則點(diǎn)P的軌跡是以F1和F2為焦點(diǎn)的雙曲線.

證明 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn), 直線F1F2為x軸建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),P(x,y). 由條件可知PO2-PF1·PF2=K,則

命題5 設(shè)G為平面有限點(diǎn)集Ω ={A1,A2,··· ,An}的重心,線段F1F2的中點(diǎn)為G. 動點(diǎn)P(不在線段F1F2的垂直平分線上,也不在直線F1F2挖去線段F1F2得到的兩條射線上)到A1,A2,··· ,An距離的平方和與該點(diǎn)到F1和F2距離的乘積的n倍之差為定值K,則點(diǎn)P的軌跡是以F1和F2為焦點(diǎn)的雙曲線.

以下考慮命題2 和命題3 的逆命題.

引理6 給定直線l和直線外一點(diǎn)O. 動點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離的平方與該點(diǎn)到直線l的距離的平方的λ(λ ＞0)倍之差為定值K. 則點(diǎn)P的軌跡是圓錐曲線. 當(dāng)λ ＜1 時(shí),軌跡為橢圓;當(dāng)λ= 1 時(shí),軌跡為拋物線;當(dāng)λ ＞1 時(shí),軌跡為雙曲線.

證明 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系, 使得直線l與x軸垂直. 設(shè)直線l的方程為x=m, 點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y), 則x2+y2-λ(x-m)2=K, 化簡得(1-λ)x2+y2+2λmx=K+λm2,故引理成立.

命題6 設(shè)G為平面有限點(diǎn)集Ω ={A1,A2,··· ,An}的重心,l是不經(jīng)過G的定直線. 動點(diǎn)P到A1,A2,··· ,An距離的平方和與該點(diǎn)到直線l的距離的平方的nλ(λ ＞0)倍之差為定值K. 則點(diǎn)P的軌跡是圓錐曲線. 當(dāng)λ ＜1 時(shí),軌跡為橢圓;當(dāng)λ= 1 時(shí),軌跡為拋物線;當(dāng)λ ＞1 時(shí),軌跡為雙曲線.