秦進，黎熙瓊，楊康，徐光明，屈文萱

(中南大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙 410075)

由于高速鐵路的便利性和準時性等突出優(yōu)點，已經成為我國中長途客運的主要運輸方式。既有研究發(fā)現(xiàn)，高鐵客流在一天中也具有明顯的高峰期與平谷期[1-2]。但由于高鐵運輸都是按照固定的列車開行方案組織列車運行，導致一天中不同時段高鐵列車的上座率極不均衡，往往高峰期是“一票難求”，非高峰期列車運能虛靡?？推眱r格是影響旅客出行選擇的重要因素之一。發(fā)達國家在航空、鐵路和汽運等旅客運輸方式中，根據客流特征進行票價的市場化調整，實現(xiàn)了在增加企業(yè)效益的同時提高服務水平的目標。但我國高鐵客票定價方式的市場化程度仍較低，長期保持服務同OD 對的所有列車票價統(tǒng)一的單一定價模式，未能發(fā)揮出價格在調節(jié)市場需求方面的基本功能。國鐵集團從2016年就開始探索客運票價體制改革，以期在不再增加運力的前提下，提高高鐵客運的整體收益。先后在東南沿海高鐵、京滬高鐵以及京廣動臥等線路和產品上的市場化定價實踐，均已取得初步成效，也為后續(xù)的價格體制改革奠定了一定的理論和實踐基礎。差異化定價是指將具有相同功能的產品，針對不同的細分市場制定不同價格的一種定價策略[1]。差異化定價是在零售、酒店和銀行等領域得到廣泛應用并取得成功后，被逐步引入到交通運輸領域。鄭金子[1]在分析旅客出行選擇行為的基礎上，提出彈性需求下多列車差異化定價的雙層規(guī)劃方法；李麗輝[2]提出了考慮與其他交通方式競爭的差別定價方法；HETRAKUL 等[3]基于歷史客票數據，利用潛在類模型對旅客市場進行細分后，提出了鐵路客票定價和座席分配的聯(lián)合優(yōu)化方法；李博等[4-5]在對旅客分類的基礎上，提出高鐵差異化定價方法；李博[6]設計了基于旅客時間價值的高鐵非平行車次差別定價優(yōu)化模型；李雪梅等[7]將旅客分為價格敏感性和時間敏感性2類，提出了考慮競爭的高鐵差別定價方法；HU 等[8]研究了動態(tài)票價和席位分配的聯(lián)合優(yōu)化方法；蔡鑒明等[9]利用潛在類模型對旅客進行細分的基礎上，提出了高鐵動態(tài)差別定價方法；趙鵬等[10]提出了高鐵差別定價的雙層規(guī)劃方法；周文梁等[11]提出了彈性需求下的高鐵多類列車差異化定價與票額協(xié)同優(yōu)化方法。盡管差異化定價方法已在鐵路客運領域得到了一定的研究，但這些研究多是基于期望效用函數或Logit 選擇模型，對旅客出行選擇進行簡單的描述，在這個過程中對旅客的個體差異性往往考慮不足，尤其是缺乏對旅客在出行選擇行為中的有限理性特征的描述。本文在利用前景理論分析旅客出行選擇行為特征的基礎上，以客票收益最大化為目標，構建高鐵差異化定價模型，并基于模擬退火算法設計求解方法進行算例的計算與分析。

1 問題分析及變量定義

高鐵差異化定價，就是將提供相同運輸服務的高鐵列車視為同類產品，面向具有不同出行特征的旅客群體制定差異化的客票價格，以實現(xiàn)客票收入最大化的目標。因此，首先要確定高鐵旅客分類和合理描述旅客出行選擇行為。

旅客分類是指將呈現(xiàn)出相似出行選擇行為特征的旅客劃分為同一群體進行定價分析[12]。本文將根據既有研究成果進行旅客分類[4]，并基于歷史客票數據，統(tǒng)計在不同區(qū)間各類型旅客的占比。另外，既有研究往往將旅客視為完全理性人，假設其完全根據效用函數進行出行方式選擇。但實際上旅客由于信息不充分等原因，在出行選擇中總存在一定的非理性因素。前景理論可以描述人們在不確定條件下的決策特征和規(guī)律[13]。JOU 等[14-15]證實可使用前景理論進行交通系統(tǒng)中旅客出行行為決策的分析。因此，為更精準刻畫旅客在出行過程中的非理性特征，本文使用前景理論進行旅客出行選擇行為描述。

根據前景理論，旅客在進行出行選擇時，會預先設定一個心理預期值，即參照點，來權衡判斷各個選擇方案的優(yōu)劣[16]。參照點的確定，是假設旅客在了解不同列車票價、發(fā)車時刻和旅行時間后，結合歷史出行體驗，產生的預期心理價格。顯然，旅客對票價及時間的敏感程度會影響其參照點的取值。

定義變量如下：給定某高鐵線路，共有k個車站，其上運營的列車集合為H，列車h∈H的運輸能 力 為C(h)， OD 對(r,s) 的 集 合W={(r,s)|r=1,2,…,k-1,s=r+1,2,…,k}，服務于OD 對(r,s)的列車集為Hrs。對任意OD 對(r,s)和列車h：為列車h的執(zhí)行票價；為列車h的旅行時間；為第h列車的分配票額數；列車發(fā)車時刻為和Urs分別為列車h和總的選擇效用；qrs(Urs)和分別為系統(tǒng)和列車h關于效用的需求函數。

記旅客共I類，對第i(i=1,2,…,I)類旅客：為感知的歷史廣義出行費用；為單位時間價值；為偏好出行時間集合；為(r,s)上的時間敏感度系數；為旅客對期望出行成本的非客觀感性認知偏差；為選擇列車h而帶來的發(fā)車時刻偏離懲罰費用；為廣義出行費用，為旅客期望出行成本；為選擇列車h出行時實際出行成本與期望出行成本的偏離程度；為出行成本偏離對出行決策的影響程度。

為便于分析問題，做如下合理假設：

1)列車開行方案已給定且不會變化。

2)不考慮超售、改簽和退票的情況。

3) 不考慮全部列車席位等級區(qū)別(只考慮二等座)。

2 模型構建

對于任意OD對(r,s)，偏離懲罰費用是該列車發(fā)車時刻與旅客偏好出行時間的偏離程度的函數：

記第i類旅客的預計售票數為則服務于(r,s)間所有列車的平均票價、第i類旅客平均出行時間和對第i類旅客平均偏離懲罰費用，分別計算為：

因此，對第i類旅客而言，服務于(r,s)間所有列車的平均出行廣義費用為：

在廣義費用的基礎上，得到旅客期望出行成本為：

其中：ρ為權重系數。

以旅客期望出行成本作為參照點，OD 對(r,s)間的第i類旅客選擇列車h出行后，實際出行成本與期望出行成本的偏離程度為：

由于出行決策者對于收益的敏感往往低于對損失的敏感，構造決定出行成本偏離對出行決策影響程度的價值函數如下：

其中：α,β(0 ＜α≤1,0 ＜β≤1)越大，表示旅客對風險越敏感，λ(λ＞1)表示損失規(guī)避系數。

得到期望參照點條件下,旅客選擇列車h的效用及系統(tǒng)效用分別為：

當所有列車的效用之和為正時，高鐵吸引潛在旅客出行，使彈性客流增加；效用之和為負時，高鐵會流失部分客流。

由于相同OD 間的列車有很強的可替代性，因此高鐵出行的彈性需求，應采用服務于相同點對的所有高鐵旅客列車的彈性需求進行描述更為合理，記則(r,s)間的彈性需求可描述為：

對于服務于(r,s)的列車h∈Hrs，旅客選擇該列車的出行需求函數，可通過分解總的彈性需求qrs(Urs)獲得。借鑒既有研究成果，假設旅客的選擇遵循Multi-Nomial Logit (MNL)模型，則列車h∈Hrs上的彈性需求可表示為：

其中：ω為給定的系數參數。

由此，構建基于前景理論的高鐵差異化定價模型如下：

其中，式(15)是最大化客票總收入；式(16)是列車運能(座席數)約束，即對任一區(qū)間上的列車h，占用該區(qū)間的所有OD 需求之和不應超過列車定員；式(17)和式(18)分別是票價的上下限和不倒掛約束；式(19)和式(20)分別是需求非負和票價整數約束。

3 求解算法

由于高鐵線路車站多、運營列車數量多且高鐵列車能力大，前面所提出的優(yōu)化模型計算復雜度很高，很難使用精確算法進行求解。模擬退火算法(Simulated Annealing, SA)是一種基于Mente-Carlo 迭代求解策略的尋優(yōu)算法，它能概率性跳出局部最優(yōu)得到趨于全局最優(yōu)的解[17]。SA 算法還具有使用靈活、較少受初始解限制等優(yōu)點，因此選用SA進行求解。

SA 算法需基于初始解展開迭代優(yōu)化搜索。原問題的初始解，可在票價上下限范圍內，隨機生成相鄰車站所構成區(qū)間的票價，進一步組合形成任意OD對的票價，由此得到初始票價集p。在此基礎上，根據式(1)～(13)得到各OD 的彈性客流，利用式(14)進行配流后，判斷各列車是否滿足能力約束，若不滿足，將該列車多余客流按比例加載到其他列車，直至全部滿足能力約束。

對于算法的鄰域構造，在當前解p中，隨機選擇某OD 對(r,s)，對于其票價令Δp=min從(-Δp,Δp)隨機產生數值η≠0，由此，令構成原問題票價解的鄰域解。

SA 算法的實現(xiàn)，還需對退火計劃表進行設置，包括初始溫度、溫度下降規(guī)則、同溫度下迭代次數和算法終止規(guī)則[18]。初始溫度可直接設置為初始解的目標函數值，溫度下降規(guī)則是按比例(降溫系數)下降，同一溫度下的迭代次數使用最大迭代次數進行控制，算法終止規(guī)則是當前溫度低于給定的終止溫度時算法終止。

由此，SA算法的詳細步驟如下。

Step 1：初始化。生成問題初始解，即初始票價集合p。設置初始溫度T0，給定溫度下降比例α，終止溫度tf，同溫度下最大迭代次數L。令當前溫度t=T0，當前迭代次數K=1，記當前全局最優(yōu)解

Step 2：鄰域解構造?；谠鈖生成鄰域解p'。檢查p'的可行性，若不可行，則重復上述鄰域解生成操作，直至得到滿足約束的鄰域解。

Step 3：比 較 判 斷。若R(p′)≥R()，令p==p′，轉Step 5，否則轉Step 4。

Step 4：Metropolis 準則檢驗。記ΔR=R(p)-R(p′)，則較劣解的接受概率為P(A)=exp(-ΔR/t)；從區(qū)間(0,1)中產生一個隨機數μ，若μ≥P(A)，則令p=p'，否則不接受該較劣解為當前解。

Step 5：K=K+1，若K≥L，則轉Step 6，否則返回Step 2。

Step 6：t=t·α，若t≤tf，算法終止，輸出最優(yōu)解否則，K=1，返回Step 2。

4 實例分析

以京滬高鐵為例，選擇G2，G4，G6，G8，G12，G14，G16 和G18 共8 趟列車為研究對象，各車次的停站方案如圖1 所示，共產生15 個OD對。各站發(fā)車時刻如表1所示。

表1 各列車發(fā)車時刻表Table 1 Train timetable

圖1 列車停站方案Fig.1 Train stop scheme

所有列車的定員(運能)均為1 005 人。以節(jié)假日(2018年5月20日，高峰期)和非節(jié)假日(2018年5月23日，非高峰期)2個時段的客流分別進行分析。

根據既有成果[16]，將高鐵旅客分為3 種類型，如表2 所示。其他參數取值為：α=β=0.88，λ=2.25，γ=0.61；對任意OD 對(r,s)所有旅客類的時間敏感度系數統(tǒng)一設為和=1.2；由于經濟型旅客會占總旅客80%以上，可設置=1.333；旅客初始心理價格為完全理性期望價格，即=0。

表2 高鐵旅客分類Table 2 Classification of the high-speed rail passenger

旅客歷史出行經驗對出行選擇的影響由參數ρ體現(xiàn)，如圖2 所示。隨著ρ的增加，由于高峰期票價提高，旅客受歷史出行經驗的影響，高票價往往會抑制他們購票的欲望，使客票收入下降。但在非高峰期，客票收入的增加，是由于票價下降刺激了旅客的出行欲望。但總體而言，總客票收入幾乎始終持平。

圖2 旅客歷史出行權重系數對客票收益的影響Fig.2 Ⅰnfluence of historical travel weight on revenue

最優(yōu)的差異化票價方案如表3所示。高峰期除G18 外的其他列車票價均有所增長，但差異明顯，其中G12 的上?！本﹨^(qū)段票價相比初始票價增幅最高，達18.9%(658 元)。同樣的，在非高峰期，除G6 外的其他列車票價都有所降低，從而吸引了更多旅客出行。其中，G14的上海—北京區(qū)段票價降幅最大，達16.4%(463元)。

表3 高峰期/非高峰期列車票價情況Table 3 Ticket prices of trains in peak/off-peak hours

高峰期和非高峰期的客流情況如表4所示。其中，由于僅G12在常州和徐州停車，因此這2個車站的需求可視為剛需，客流一直保持穩(wěn)定。其他OD，在非高峰期時初始客流較小，各列車降價會使客流增長，客流的增長不僅彌補了降低票價的損失，還使總客票收入增長10.41%；高峰期票價提高后，列車仍幾乎全部滿員，總客票收入相對增加了7.98%。

表4 非高峰期和高峰期的客流變化情況Table 4 Changes in passenger flow during off-peak and peak periods

高峰期各OD 間彈性客流和初始客流的變化情況如圖3 所示。各OD 間的客流高峰時段并不相同，但對同一OD，彈性客流與初始客流的高峰時刻較為一致。對于距離最長的上?！本﹨^(qū)段，票價提高對客流量的影響最小，相對而言，提高票價后，南京—濟南、濟南—北京的客流變化較大，這是因為其距離較近，與高鐵競爭的交通方式多，價格提高后旅客會有更多的選擇。但是總體而言，高峰時段的高鐵票價上漲，對旅客的選擇影響并不突出。

圖3 高峰期各OD客流變化情況Fig.3 Changes of OD passenger flow in peak period

與高峰期相比，非高峰期票價的變化會導致客流更顯著變化，如圖4所示。

以上海—北京和南京—北京2 個距離最長的OD 為例，由于票價降低，吸引大量價格敏感的旅客，客流增長幅度最大。相對而言，上?！暇┯捎诰嚯x短，初始票價不高，因此盡管票價降低，但幅度有限，客流并無明顯變化。對于其他OD，總體客流都有小幅度的增長?？偟膩碚f，降低票價對增加非高峰客流增加有積極的影響。

旅客期望出行成本受多種因素的影響，除歷史出行成本、期望出行時間等確定性因素外，還包括服務體驗和運輸企業(yè)形象等不確定感性認知變量。若旅客對高鐵感性認知表現(xiàn)出積極作用，即式(7)中ξ i rs＞0，其值越大，旅客出行選擇時的票價期望參照點也就越高，也就愿意支付更高成本選擇高鐵出行。

從表5 可發(fā)現(xiàn)，旅客感性認知值每增長10%，帶來的非高峰期和高峰期總客票收入增幅，分別超過9%和3%，這說明提高旅客對高鐵出行的感性認知，對高鐵收益管理具有重要意義。建議高鐵企業(yè)可通過塑造企業(yè)正面形象、提升服務質量等方式，提高旅客對高鐵的正面感知，從而實現(xiàn)高鐵可持續(xù)發(fā)展。

表5 旅客感性認知對客票收益的影響Table 5 Ⅰnfluence of passengers’ perceptual cognition on ticket revenue

5 結論

1) 基于前景理論，將旅客期望出行成本作為決策參照點，以總客票收入最大化為目標，考慮列車運能、票價區(qū)間和票價不倒掛等約束，建立高速鐵路差異化定價決策模型，并利用模擬退火算法進行求解。

2) 以京滬高鐵為例的計算分析表明，合理的高鐵差異化定價策略，可以通過在高峰期提價調節(jié)客流和非高峰期降價吸引客流，分別實現(xiàn)客票總收入增長7.98%和10.41%，實現(xiàn)了平衡客流和提高收益的雙重目標。

3) 旅客對高鐵的主觀感性認知每增加10%，分別可以將非高峰期和高峰期的總客票收入的增幅再提高9%和3%以上。這表明旅客對高鐵出行感性認知的正面作用，可以通過提高旅客的忠誠度和服務期望價格，促進客票收益顯著增加。